LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Postulati di euclide 1

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Postulati di euclide 1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una sola retta. 2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente. 3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

Il V postulato versione semplificata di Playfair • “ per un punto P esterno a una retta passa una e una sola parallela alla retta data”

Numerosi matematici cercarono di dimostrare l’assioma delle parallele senza mai riuscirvi. Il tentativo più ingegnoso fu compiuto nel settecento da un gesuita italiano, Gerolamo Saccheri, il quale pensò di dimostrare il V postulato a contrariis: pose come punto di partenza due ipotesi negative al V postulato con l’idea di arrivare a incongruenze logiche avrebbero dimostrato la sua tesi. Ipotizzò che 1. per un punto esterno a una retta data non passa nessuna parallela 2. per un punto esterno a una retta data passano infinite parallele e dimostrò come assumendo queste ipotesi si pervenisse ad una contraddizione. Tuttavia l’incoerenza con l’impianto della geometria euclidea, non implicava la loro falsità dal punto di vista logico.

Questo suggerì ai matematici dell’ 800 che potevano esistere geometrie in cui il V postulato veniva sostituito da un diverso assioma altrettanto valido : stava nascendo una parte nuova della matematica : Le geometrie non euclidee: Geometria iperbolica Geometria ellittica 4 postulati di Euclide 4 postulati di Euclide + + Postulato iperbolico assioma di Riemann (Infinite parallele) ( nessuna parallela) Modello di Klein Modello sferico

GEOMETRIA IPERBOLICA Ai piedi dei monti Urali, isolato e lontano dai centri matematici e di interesse, il russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij sviluppa, attorno al 1800, una teoria completa, ardita e incomprensibile ai contemporanei che, negando il postulato delle parallele, conduce a rivedere numerosi risultati ormai universalmente accettati. Contemporaneamente e indipendentemente da Lobacevski anche l’ungherese Jànos Bolyai nel 1823 partendo dalle stesse ipotesi giunge alle medesime conseguenze.

Postulato di Lobacevskij o postulato iperbolico : In un piano, data una retta r ed un punto P fuori di essa, esistono almeno due rette per P che non intersecano r.

GEOMETRIA IPERBOLICA: MODELLO DI KLEIN Piano: parte di piano euclideo costituito dai punti interni della circonferenza B (esclusi i punti della circonferenza stessa) S A R Retta: qualunque corda AB priva di estremi P Punto: qualunque punto interno a C Segmento: parte della retta AB : RS

MODELLO DI KLEIN • Postulato iperbolico : data una retta r e un punto P P esterno ad essa esistono infinite » rette per P che non intersecano r » ULTRAPARALLELE » Rette limite: PARALLELE A B » Rette SECANTI Si può perciò notare che le parallele ad r passanti per P sono infinite, da qui appunto il termine iperbolico

Il primo a costruire un modello per la geometria iperbolica è Eugenio Beltrami realizza una superficie in carta del diametro di 1, 04 m. detta la pseudosfera iperbolica. All'epoca un giornale definì il modello in carta la Cuffia della Nonna, nome che tuttora ritorna nella descrizione del modello all'Università di Pavia, dove è conservato, ossia Cuffia di Beltrami. In questo modello i punti sono i punti che stanno sulla superficie della pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la geodetica, cioè la linea di minima distanza congiungente i due punti: si può ben osservare che:

GEOMETRIA IPERBOLICA E EUCLIDEA A CONFRONTO COSA NON E’ PIU’ VALIDO Qualsiasi enunciato di geometria euclidea la cui dimostrazione implichi l’uso dell’Assioma di Parallelismo risulta automaticamente falso in geometria iperbolica. Ciò significa che risultano falsi tutti i teoremi a partire dal n° 29 in avanti.

Geometria eucllidea Geometria iperbolica Teorema : La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto Teorema: La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180° Teorema : Se due rette sono parallele ad una terza , allora sono tra loro parallele Teorema : Se due rette sono parallele ad una terza, non sono tra loro parallele 3 Criteri di congruenza Criteri di similitudine Area di un trangolo : A=bh/2 4 criteri di congruenza: i 3 della geometria euclidea + Teorema: Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti Non esiste la similitudine perché (Teorema) Quanto è più grande l’area di un triangolo iperbolico, tanto minore è la somma dei suoi angoli. Area di un triangolo: se considero il triangolo ABC e le sue tre altezze e provo a calcolare l’area usando la formula euclidea, ottengo 3 risultati diversi.

GEOMETRIA ELLITTICA Verso la metà dell’ 800 il matematico tedesco Bernhard Riemann, costruì un altro tipo di geometria egualmente rigorosa e coerente, che , mantenendo come l’iperbolica tutti gli assiomi e i primi 4 postulati della geometria euclidea, sostituiva il V con la sua negazione : dato un punto e una retta non passante per esso, non esiste alcuna retta per il punto dato e parallela alla retta data. Questo assioma detto di Riemann si può enunciare così: “ Tutte le coppie di rette si intersecano” oppure “ Non esistono rette parallele”

MODELLO SFERICO PER LA GEOMETRIA ELLITTICA Piano insieme di punti di una superficie sferica dello spazio euclideo Punto punto della superficie sferica Retta cerchio massimo della superficie sferica ( si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera) Punti Antipodali punti diametralmente opposti della superficie sferica

GEOMETRIA SFERICA ED EUCLIDEA A CONFRONTO SULLA NOZIONE DI RETTA PIANO EUCLIDEO PIANO ELLITTICO Esistono rette parallele Non esistono rette parallele Vale il I postulato di Euclide vale il I postulato di Euclide ma: Le linee rette che congiungono due punti sono i cerchi massimi come i meridiani, l’equatore, ma non i paralleli. I paralleli non sono la strada più breve per congiungere due punti e, in corrispondenza dei poli, divengono puntiformi

SULLA NOZIONE DI RETTA PIANO EUCLIDEO Vale il II postulato di Euclide PIANO ELLITTICO Cade il II postulato di Euclide: le rette sono linee chiuse e hanno lunghezza definita Due rette euclidee hanno al più le rette ellittiche hanno 2 punti in un punto in comune Valgono gli assiomi di ordinamento Cadono gli assiomi di ordinamento dati tre punti su una retta non è vero che uno dei tre sta sempre tra gli altri due. Infatti nessuno dei tre punti A, B, e C della retta r sta fra gli altri due, nel senso che, partendo da uno qualsiasi di essi, si può raggiungere uno degli altri due restando sulla retta e senza passare per il terzo punto.

SULLA NOZIONE DI RETTA PIANO EUCLIDEO PIANO ELLITTICO Il rapporto fra circonferenza e raggio è π Il rapporto fra circonferenza e raggio è minore di π. Infatti in ( fig. 17) la circonferenza di diametro AB non ha centro in C ma in N, perché siamo sulla superficie di una sfera, e l’arco AN è maggiore del segmento AC. Quindi il rapporto fra circonferenza AB e raggio AN è minore di pigreco

SULLA NOZIONE DI TRIANGOLO Un altro concetto fondamentale in geometria è quello di triangolo. Come sono i triangoli sulla superficie di una sfera? Sono oggetti che appaiono… gonfiati!! TRIANGOLI SFERICI Nel piano euclideo tre punti non allineati individuano uno e un solo triangolo. Sulla sfera, invece, due punti non antipodali possono essere collegati da due segmenti, consideriamo allora solo archi minori. Tre archi minori individuano due regioni di piano sulla sfera. Chiamiamo triangolo sferico quella regione delle due che ha area minore. ( fig 18)

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO SFERICO Proviamo ad osservare il triangolo sferico NAB dove N e S indicano i due poli geografici ed e è l’equatore In questo triangolo i due angoli di vertici A e B sono retti; quindi la somma degli angoli del triangolo NAB è sicuramente maggiore di un angolo piatto. Cade così il teorema euclideo sulla somma degli angoli di un triangolo

Ma c’è di più: mentre la somma degli angoli è costante per il triangoli euclidei, per i triangoli sferici tale somma varia al variare del triangolo. Ce ne rendiamo conto guardando la figura 20 : A è un polo per la retta s AB e AP sono segmenti perpendicolari a s I triangoli APB che vengono a formarsi al variare di P su s hanno tutti due angoli retti, mentre quello in A è variabile. E’ quindi variabile anche la somma degli angoli.

CONCLUSIONI Dopo questa trattazione sommaria di quanto accade per le geometrie non euclidee sorge spontanea la domanda: ma servono a qualcosa le geometrie non euclidee? E la geometria studiata a scuola non vale più? La geometria studiata a scuola vale, la usano fisici, ingegneri, architetti. Ma se allarghiamo la visuale e consideriamo distanze di migliaia di chilometri sulla Terra, allora la sfericità del pianeta comincia a farsi notare, e la geometria ellittica diventa importante. I piloti degli aerei sanno benissimo che la rotta più breve fra due località si trova su un arco di cerchio massimo: è anche per questo che, per volare fra due aeroporti alla stessa latitudine, gli aerei non seguono la linea immaginaria dei paralleli, ma descrivono un arco di cerchio massimo!! Einstein quando concepì la teoria della relatività generale ipotizzò che la gravità fosse un effetto geometrico dello spazio: la geometria giusta per descrivere questo fatto è quella iperbolica.