Teoria della relativit1 4 dicembre 2014 Postulati della

Teoria della relatività-1 4 dicembre 2014 Postulati della teoria Sincronizzazione degli orologi Relatività della simultaneità (approccio qualitativo) Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse Spazio-tempo, quadri-vettori

Fondamenti • La teoria della relatività si fonda su due postulati • Il principio di relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali • La costanza della velocità della luce nel vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente dalla direzione di propagazione o dalla velocità della sorgente 2

Fondamenti • Il secondo postulato significa che esiste una velocità limite massima per la trasmissione di segnali • Esso distingue la fisica classica, in cui non esiste un limite massimo alla velocità, da quella relativistica • Ha come conseguenza la relatività della simultaneità per sistemi inerziali in moto relativo 3

Sincronizzazione degli orologi • Per poter eseguire misure di grandezze fisiche in un sistema di riferimento (inerziale) è indispensabile che gli orologi di osservatori posti in luoghi diversi del sistema siano tra loro sincronizzati • Bisogna quindi trovare una procedura di sincronizzazione adeguata 4

Sincronizzazione degli orologi • Consideriamo due punti P 1 e P 2 del sistema S • Per sincronizzare gli orologi si può procedere come segue • Si misura la distanza L tra i due punti • Si invia un segnale luminoso, ad es. da P 1 verso P 2 convenendo che al momento dell’invio da P 1 il tempo dell’orologio in P 1 sia posto uguale a zero e che al momento della ricezione in P 2 il tempo dell’orologio in P 2 sia posto uguale a 5

Sincronizzazione degli orologi • Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un segnale da un punto differente P di S, distante L da O • Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza • E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O 6

Sincronizzazione degli orologi • Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi punti del sistema S O P • La sincronizzazione è indispensabile per poter definire la simultaneità di due eventi che avvengono in punti differenti dello spazio 7

Misure di lunghezza • La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di lunghezza di oggetti in movimento • Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la posizione degli estremi sia misurata simultaneamente v x 1 x 2 x • Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno risultati diversi 8

Relatività della simultaneità • È conseguenza della finitezza della velocità limite • Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v • In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto S S’ v 9

Relatività della simultaneità descrizione in S • Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O • Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’) • A e B siano equidistanti da O A A’ A’ O B B’ B’ S S’ v 10

Relatività della simultaneità descrizione in S • Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante • Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’ e B’ i due eventi non sono simultanei A O B A’ O’ B’ S S’ 11

Relatività della simultaneità descrizione in S • Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B A O B O’ A O B S S’ O t 1 S’ B O’ v S O’ A t 0 v t 2 S S’ v 12

Relatività della simultaneità descrizione in S • L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’ • Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’ • È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da DX che da SX, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’ A O B A’ O’ B’ S S’ v 13

Trasformazione di coordinate • Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x, y, z, t) e S’ (x’, y’, z’, t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’ y y’ x z v x’ z’ 14

Trasformazioni di Galileo • In fisica classica le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo • L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento 15

Trasformazioni di Lorentz • In relatività, come in fisica classica, si postula che il tempo sia omogeneo e lo spazio sia omogeneo e isotropo, il che implica che le equazioni di trasformazione siano lineari • Inoltre, aggiungendo i due postulati specifici della teoria della relatività, si deduce l’insieme di trasformazioni di coordinate spazio-temporali di Lorentz Le aij possono essere, in generale, funzioni della velocità relativa v: aij(v) 16

Determinazione di a 11, a 14 • Al piano x’=0, in moto con velocita` v rispetto a S lungo l’asse x, corrisponde x=vt per ogni y, z • viceversa a x’=0, corrisponde x’=-vt’ per ogni y’, z’ • Quindi dev’essere • Usando il principio di relativita` si puo` dimostrare che 17

Determinazione dei coefficienti • Con considerazioni relative alla coincidenza degli altri due piani coordinati si puo` dimostrare che y’ dipende solo da y e z’ solo da z: • Vediamo ora come usando il principio di relativita` si possa dimostrare che i coefficienti a 22, a 33 valgono 1: 18

Determinazione di a 22 Trasformazione diretta Trasformazione inversa • Supponiamo infatti di disporre nel sistema S un regolo di lunghezza unitaria lungo l’asse y: • In S’ la misura della lunghezza di questo regolo sarà • Scambiamo i ruoli dei due sistemi, se ora un regolo unitario è posto in S’ lungo l’asse y’: • in S la misura della lunghezza di questo regolo sarà 19

Determinazione di a 22 Trasformazione diretta Trasformazione inversa • Siccome la trasformazione inversa si può anche scrivere • Avremo che • Confrontiamo ora le misure ottenute nei due sistemi, occorre che sia • altrimenti i due sistemi non soddisfarrebbero il principio di relatività • Questo significa che e di conseguenza 20

Determinazione di a 41, a 44 • Dalle relazioni • Possiamo ricavare le trasformazioni per il tempo 21

Determinazione del coefficiente g • Usando il postulato della costanza della velocita` della luce possiamo determinare l’ultima incognita g • Immaginiamo un’onda luminosa sferica che si propaga dall’origine delle coordinate • Nel sistema S, al tempo t, la superficie sferica avra` raggio • Similmente nel sistema S’ avremo 22

Determinazione del coefficiente g • Sottraendo membro a membro e riordinando, otteniamo • Sostituendo le espressioni di x’, t’ in funzione di x, t, otteniamo • Da questa identità, segue che i coefficienti dei termini corrispondenti devono essere uguali 23

Determinazione del coefficiente g • In particolare il coefficiente del termine misto dev’essere nullo • Da cui segue • Posto gamma si puo` riscrivere 24

Trasformazioni di Lorentz • Le trasformazioni di Lorentz (Td. L) sono dunque 25

Trasformazioni di Lorentz • Le trasformazioni inverse per passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente • Si possono anche ottenere più semplicemente usando il principio di relativita` e osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’ 26

Trasformazioni di Lorentz • Queste eqq. diventano più simmetriche se si introduce la variabile x 0=ct, nel qual caso, dette x 1=x, x 2=y, x 3=z, abbiamo • E in forma matriciale • Ove L è la matrice associata alla Td. L 27

Spazio-tempo • Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la quaterna (x 0, x 1, x 2, x 3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4 -vettore) • Le Td. L trasformano le componenti di questo vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo 28