Geometrie 6 Ebene Geometrie Ein Punkt ist was

Geometrie

6. Ebene Geometrie

Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Euklid (325 - 275) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1) – y(0) = (m 1 + c) – (m 0 + c) = m

Parallelen

Lot oder Normale 2 = 360° 1° = /180

Strahlensätze Thales von Milet (624 - 545)

Satz des Thales Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel. Thales von Milet (624 - 545)

Winkelsumme im Dreieck Leonhard Euler (1707 - 1783)

Satz des Pythagoras (570 - 500) c 2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a 2 + b 2 Sehet !

a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2 a b c

a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2

a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2

a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2

Projektive Geometrie Girard Desargues (1593 - 1662) Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

Trinity College, Cambridge

Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen (Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen Geometrie, begründet von Pierre de Fermat René Descartes (1601 - 1665) (1596 - 1650) Abszisse, Ordinate. Darstellung von Funktionen anhand ihrer Graphen.

7. Trigonometrie

Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen Kathete /2 = 90° Hypotenuse

8. Vektoren

8. 2 Skalarmultiplikation l. A = Al l(m. A) = (lm)A = lm. A l(A ± B) = l. A ± l. B (l ± m)A = l. A ± m. A |l. A| = |l

= /4 8. 2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

8. 3 Einheitsvektor A |A| koordinatenfreie Darstellung: X = l. Y l>0 X besitzt dieselbe Richtung wie Y

8. 4 Skalarprodukt (inneres Produkt) 3 3 A B C ist nicht definiert: (A B) C ≠ A (B C kein neutrales Element 1 mit A 1 = A kein Inverses A-1 mit A A-1 = 1 A / B ist nicht definiert. Aus C = A / B würde C B = A folgen.

A j A - B B Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ ein.

A·B = |A|·|B|·cosj

A B = 0 B A B = |A| |B| A B = -|A| |B| B B A

8. 5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

8. 5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3 3 3 Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x. . . bzw. 1 2 3 1. . .

A 0 = 0 A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A B = -(B A) A (B ± C) = (A B) ± (A C)

|A B| = |A| |B| sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

|A B| = |A| |B| sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

A 0 = 0 A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A B = -(B A) A (B ± C) = (A B) ± (A C) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

Das Spatprodukt (A B) C= (B C) A = A (B C) kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma.

8. 6 Parallelverschiebung

8. 6 Parallelverschiebung = 0

8. 7 Polarkoordinaten

9. 1 Geradengleichungen Jede Gerade besitzt zwei Richtungen. G(A 0) = { P 3 | P = l. A 0 mit l } Anstelle eines Einheitsvektors A 0 kann man eben so gut

G = { P | P = l. A + B mit l } Durch zwei Punkte des 3 verläuft genau eine Gerade. G' = { P | P = l(A - B) + B mit l }

P = l. A + B x = lax + bx y = lay + by z = laz + bz

9. 3 Ebenengleichungen Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A 0 und B 0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also l : A l. B. Die Ebene ist dann gegeben durch E(A, B) = { P | P = l. A + m. B mit l, m } Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C enthält: E(A, B, C) = { P | P = l(A - C) + m(B - C) + C mit m, l }