Fraktln geometrie Lewis Richardson dlka pobe ostrova Korsika

Fraktální geometrie

Lewis Richardson, délka pobřeží ostrova Korsika

Východní pobřeží 11 x 1 km 10 km

Východní pobřeží • Délka pobřeží k. n(k) • lim k→ 0 k. n(k) = D

Západní pobřeží

Západní pobřeží • lim k→ 0 k. n(k) =∞

Soběpodobnost

Kochova vločka Niels Fabian Helge von Koch (25. ledna 1870 Stockholm – 11. března 1924 Stockholm)

Délka Kochovy vločky 3 4/3 * 3 = 4 (4/3)n*3 →∞ 4/3*3 = 5, 33 (4/3) 3*3=7, 11

Sierpinského koberec

Plocha Sierpinskeho koberce Plocha děr 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Celkem 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Plocha zbytku (koberce) = 0

Mengerova houba

Mandelbrotova množina

Juliova množina

Přirozené fraktály

Soběpodobnost v přírodě

Matematická definice • Fraktál je útvar, jehož Hausdorfova dimenze je jiná než dimenze geometrická

U nefraktálních útvarů Zjemním měřítko s krát, počet naměřených úseků se změní s. D krát, D je geometrická dimenze

Dimenze Kochovy vločky • Kochova křivka – 3 x zjemnění => 4 x délka – s = 3 => N = 4 – D = log. N/logs = log 4/log 3 = 1. 261895

Další Hausdorfovy dimenze • • Sierpinskeho koberec 1, 58 Mengerova houba 2, 72 Peanova křivka 2 Mořské pobřeží 1, 02 – 1, 25

Polynomické fraktály Definován rekurzivní předpis Kn+1 = f(kn) Pokud pro počáteční hodnotu k 0 posloupnost konverguje, je hodnota k 0 prvkem fraktálu

Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina Část roviny komplexních čísel z 0 = 0, zn+1 = zn 2 + c Mandelbrotova množina je množina všech takových c, pro které posloupnost z nejde do nekonečna.

Příklady bodů C Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 0 + 0 i 0, 0 0, 0 1+0 i 0, 0 1, 0 2, 0 5, 0 26, 0 -1+0 i 0, 0 -1, 0 0, 0