Geometria analitica dello spazio Lezione n 3 Equazione

Geometria analitica dello spazio Lezione n. 3

Equazione della sfera Siano C( , , ) un punto dello spazio ed R un numero reale positivo. La superficie sferica (o sfera) di centro C e raggio R è il luogo dei punti P(x, y, z) dello spazio la cui distanza da C è uguale al raggio R: d(P, C)=R. Elevando al quadrato la relazione precedente si ha: (1) La (1) si dice equazione cartesiana della sfera di centro C e raggio R.

Equazione della sfera Svolgendo i calcoli si ha: (2) È un’equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con le seguenti caratteristiche: - i coefficienti di x 2, y 2, z 2 sono uguali a 1; - mancano i termini misti in xy, xz, yz.

Esempio Trovare la sfera di centro C(1, 1, -2) e passante per P(2, 1, 1). Soluzione. La distanza del centro da P e uguale al raggio L’equazione della sfera cercata è

Un’equazione del tipo (2) rappresenta sempre una sfera? Ogni equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y, z con coefficienti di x 2, y 2, z 2 uguali a 1 e priva di termini misti rappresenta sempre una sfera? Consideriamo l’equazione che si può riscrivere utilizzando il metodo del “completamento dei quadrati”:

Centro e raggio di una sfera Se in questo caso il centro ed il raggio della sfera sono: Se R=0 la sfera ha un solo punto reale il centro. Se la sfera non ha punti reali e si chiama sfera immaginaria.

Esercizio 1 Si stabilisca se l’equazione rappresenta una sfera. In caso affermativo se ne trovino centro e raggio. Soluzione. Dividendo per 2 e utilizzando il metodo del completamento dei quadrati si ha: che è l’equazione di una sfera di centro C(0, -1, 2) e raggio

Esercizio 3 Si studi per quale valore del parametro k l’equazione: Rappresenta una sfera. Soluzione Il raggio è reale qualunque sia k quindi l’equazione rappresenta sempre una sfera.

Intersezioni tra un piano ed una sfera Sia S: la sfera di centro C( , , ) e raggio R, e sia il piano di equazione ax+by+cz+d=0. I punti comuni ad S e sono quelli le cui coordinate soddisfano il sistema di II grado Si possono presentare 3 casi 1) d(C, )=R la sfera è tangente al piano 2) d(C, )<R la sfera è secante 3) d(C, )>R la sfera è esterna

Circonferenza nello spazio Ricerca del centro e del raggio Nel caso in cui il piano è secante alla sfera le equazioni precedenti rappresentano le equazioni cartesiane della circonferenza . OSSERVAZIONE Una circonferenza nello spazio si rappresenta con un sistema di due equazioni: quella del piano che la contiene, e quella di una qualunque sfera che la contiene. Sia = S . Il centro C’ della circonferenza è la proiezione ortogonale di C di S su , ossia l’intersezione della retta per C ortogonale a con stesso. Il raggio di si ottiene applicando il teorema di Pitagora

Piano tangente ad una sfera in un suo punto l

Esempio Sia = S S ha centro Quindi

Continuazione dell’esempio è una circonferenza di raggio Inoltre la retta per C ortogonale a è: E interseca nel punto che è il centro di .

Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto Sia = S la circonferenza intersezione della sfera S con il piano , e sia P 0 un punto di . La retta tangente a in P 0 è l’intersezione del piano con col piano tangente ad S in P 0.

Quadriche Consideriamo una funzione f(x, y, z) delle tre variabili x, y, z e la corrispondente equazione f(x, y, z)=0 (1). Alle soluzioni (x, y, z) dell’equazione (1) corrispondono punti dello spazio a 3 dimensioni riferito ad un sistema di coordinate x, y, z, il cui insieme costituisce il diagramma della superficie di cui la (1) è l’equazione. Una superficie si dirà algebrica se f è un polinomio nelle variabili x, y, e z. Il grado del polinomio è l’ordine della superficie algebrica. Definizione Una quadrica è una superficie algebrica del II ordine.

Equazione di una quadrica Quando il I membro dell’equazione è uguale al prodotto di due polinomi di I grado, la quadrica si dice riducibile e risulta composta da due piani rappresentati uguagliando a zero i polinomi di I grado. Nel caso opposto la quadrica si dice irriducibile. Ovviamente la sfera è un caso particolare di quadrica. Le quadriche dipendono da 9 parametri essenziali in quanto nell’equazione completa di una quadrica compaiono 10 coefficienti definiti a meno di un fattore di proporzionalità, quindi le quadriche dello spazio sono 9.

Matrice associata ad una quadrica Le quadriche riducibili sono quante le coppie di piani quindi 6. La matrice di ordine 4 simmetrica associata alla quadrica è: L’equazione matriciale di una quadrica è

Classificazione affine delle quadriche l

Rappresentazione parametrica di una curva Una curva nello spazio si rappresenta parametricamente con un sistema del tipo: Dove x(t), y(t), z(t) sono tre funzioni reali della variabile t definite in un intervallo I di R.

Esempio Le equazioni: rappresentano una curva C in forma parametrica. I punti di C si ottengono assegnando a t tutti i possibili valori reali. L’origine appartiene a C mentre (4, -2, 2) non appartiene a C perché non si ottiene per alcun valore di t.

Rappresentazione parametrica di una superficie Una superficie S si rappresenta parametricamente con un sistema di due parametri Mentre in forma cartesiana si rappresenta con un’equazione f(x, y, z)=0.

Rappresentazione cartesiana di una curva Una curva C si può rappresentare in forma cartesiana con un sistema del tipo Ad esempio una retta nello spazio si può scrivere come intersezione di due piani.

Cilindri Si chiama superficie cilindrica (o cilindro) una superficie S che è unione di rette tutte parallele ad una stessa retta. Tali rette si chiamano generatrici del cilindro. Una curva C contenuta in S e che incontra tutte le generatrici del cilindro si chiama direttrice di S.

Osservazione In generale un’equazione del tipo f(x, y)=0 (in cui manca la variabile z) nello spazio rappresenta un cilindro avente le generatrici parallele all’asse z. Una direttrice di tale cilindro è ad esempio la curva di equazioni f(x, y)=z=0. Analogamente le equazioni del tipo f(x, z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse y e le equazioni del tipo f(y, z)=0 rappresentano un cilindro parallelo all’asse x.

Rappresentazione parametrica di un cilindro Se (l, m, n) sono i parametri direttori della generica generatrice g mentre sono le equazioni parametriche della curva direttrice C allora l’equazione del cilindro associato alla coppia (g, C) si ottiene eliminando il parametro reale t tra le due equazioni della generica generatrice condotta per il punto P(x(t), y(t), z(t)) sulla curva C. Occorre eliminare t tra le due equazioni Con la convenzione che se il denominatore è nullo allora il numeratore è nullo.

Esempio Determinare l’equazione del cilindro avente come direttrice la curva C di equazioni: e generatrici parallele al vettore v(1, 2, 1) Soluzione:

Continuazione dell’esempio Eliminando t dalle due equazioni

Rappresentazione parametrica di un cilindro Sia r una retta con parametri direttori (l, m, n) e sia L una curva di equazioni parametriche Il cilindro S avente le generatrici parallele ad r e come direttrice L è il luogo delle rette di equazioni parametriche

Esempio Il cilindro con direttrice L: (x, y, z)=(-t, 3 t, sen t) e generatrici parallele al vettore (0, 1, -1) ha equazioni parametriche (x, y, z)=(-t, 3 t+s, sen t-s). l Viceversa la superficie di equazioni parametriche (x, y, z)=(2 t+s, -t-5 s, cos t) rappresenta un cilindro avente per direttrice L: (x, y, z)=(2 t, -t, cos t) e generatrici parallele al vettore v( 1, -5, 0). l

Coni Una superficie conica o cono è una superficie costituita dall’unione di rette passanti per un punto fisso V. Le rette considerate sono dette generatrici del cono, il punto V si chiama vertice, ogni curva che incontra tutte le generatrici in qualche punto diverso dal vertice si chiama direttrice del cono. Se (x 0, y 0, z 0) sono le coordinate del vertice V, mentre Le equazioni parametriche della curva direttrice L, allora l’equazione del cono associato alla coppia (V, L) si ottiene eliminando il parametro t tra le due equazioni:

Coni Equazioni che rappresentano la generica generatrice VP del cono con vertice del cono V(x 0, y 0, z 0) e P(x(t), y(t), z(t)) punto mobile su L.

Esempio l Determinare il cono avente per direttrice la parabola di equazione e vertice V(-1, 0, 2). Soluzione: E si ottiene (2 x+z)2 +2 y(z-2)=0.

Equazioni parametriche del cono Un cono di vertice V(x 0, y 0, z 0) e direttrice L: (x, y, z)=(x(t), y(t), z(t)) ha equazioni parametriche: l Ad esempio il cono di vertice V(1, 0, -1) e direttrice (x, y, z)=(t, -t, 3 t) ha equazioni: (x, y, z)=(1+s(t-1), s(-t), -1+s(3 t+1)).

Bibliografia 1. 2. 3. 4. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, 100 pagine di…Geometria Analitica dello spazio, Levrotto & Bella S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, vol II, Levrotto & Bella TORINO M. Stoka, V. Pipitone, Esercizi e Problemi di Geometria CEDAM M. Rosati, Lezioni di Geometria, Cortina.