Geometria analitica dello spazio Lezione n 4 Quadriche

Geometria analitica dello spazio Lezione n. 4

Quadriche Si chiama quadrica una superficie di equazione f(x, y, z)=0, dove f(x, y, z) è un polinomio reale di secondo grado. Si può dimostrare che con un opportuno cambiamento di coordinate Oxyz O’XYZ è sempre possibile trasformare l’equazione generale di una quadrica in una delle due forme seguenti, dette forme canoniche:

Classificazione delle quadriche Una quadrica si dice non degenere se nella sua forma canonica, sia essa del tipo (1) o (2), tutti i coefficienti sono diversi da zero. In tal caso con semplici passaggi, la (1) e la (2) si possono trasformare in una delle seguenti forme:

Classificazione delle quadriche

Metodi generali per lo studio di una quadrica Per studiare una quadrica possiamo studiare: a) le intersezioni della quadrica con famiglie di piani, in particolare con i piani paralleli ai piani coordinati; b) le eventuali simmetrie della quadrica rispetto ai piani coordinati, agli assi coordinati e rispetto all’origine.

Simmetrie Ricordiamo che una figura L si dice simmetrica rispetto ad un piano coordinato (rispettivamente: rispetto ad un asse, rispetto all’origine) se tutte le volte che un punto P appartiene alla figura L, anche il simmetrico di P rispetto al piano coordinato (rispettivamente: rispetto ad un asse, rispetto all’origine) appartiene ad L. Una figura simmetrica rispetto a tutti e tre i piani coordinati è anche simmetrica rispetto agli assi coordinati e all’origine.

Ellissoide Ha equazione canonica Risulta che l’ellissoide è simmetrico rispetto ai tre piani coordinati, ai tre assi coordinati e all’origine, perché x, y, z compaiono solo al quadrato; per ogni punto dell’ellissoide risulta: e quindi l’ellissoide è contenuto nel parallelepipedo definito dai piani

Intersezione dell’ellissoide con piani paralleli ai piani coordinati L’intersezione dell’ellissoide con i piani del tipo: z=k è data da: e quindi è un’ellisse se –c<k<c, un punto se k= c, mentre per k<-c e k>c non ci sono punti di intersezione. Quando –c<k<c l’equazione dell’ellisse precedente si può scrivere:

Ellissoide Analoga situazione si trova intersecando l’ellissoide con i piani paralleli agli altri piani coordinati. I punti ( a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) si dicono vertici dell’ellissoide; a, b, c si chiamano semiassi e O(0, 0, 0) si chiama centro. Se a=b=c si ha la sfera di raggio a; se sono uguali due dei tre semiassi (ad esempio a=b), l’ellissoide si può ottenere facendo ruotare un’ellisse attorno ad uno dei suoi assi di simmetria.

Iperboloide ad una falda Ha equazione canonica Tale superficie è simmetrica rispetto ai piani coordinati, agli assi coordinati, all’origine. I piani z=k intersecano l’iperboloide nell’ellisse di equazioni: che crescono al crescere del valore assoluto di k e hanno valore minimo per k=0.

Iperboloide ad una falda I piani x=k e y=k intersecano l’iperboloide ad una falda in iperboli per ogni valore di k reale. Il punto O(0, 0, 0) si chiama centro dell’iperboloide ad una falda, a, b, c si chiamano semiassi. Se a=b, la quadrica è di rotazione attorno all’asse z, e si può ottenere ad esempio facendo ruotare intorno all’asse z l’iperbole

L’iperboloide a due falde Ha equazione canonica È una superficie simmetrica rispetto ai piani coordinati, agli assi coordinati e all’origine. Per ogni punto (x, y, z) di questa superficie risulta: e quindi I punti dell’iperboloide sono tutti esterni alla regione di spazio compresa tra i due piani paralleli x=a e x=-a.

Iperboloide a due falde I piani x=k con Tagliano l’iperboloide nelle ellissi di equazioni i cui semiassi crescono al crescere del valore assoluto di k.

Iperboloide a due falde I piani y=k e z=k intersecano la quadrica in iperboli. I punti ( a, 0, 0) si dicono vertici dell’iperboloide a due falde, il punto O(0, 0, 0) si chiama centro, a, b, c si chiamano semiassi. Se b=c, la quadrica è di rotazione attorno all’asse x, e si può ottenere ad esempio facendo ruotare intorno all’asse z l’iperbole

Paraboloide ellittico Ha equazione canonica con a>0, b>0. I piani x=0 e y=0 sono piani di simmetria, l’asse z è asse di simmetria, mentre non esiste un centro di simmetria. Per ogni punto di questa quadrica risulta z 0, quindi essa si trova tutta al di sopra del piano z=0, tranne il punto O. I piani z=k con k>0 tagliano il paraboloide ellittico nelle ellissi di equazioni:

Paraboloide ellittico i cui semiassi crescono al crescere di k. I piani x=k e y=k tagliano la quadrica in parabole con asse parallelo all’asse z. Il punto O(0, 0, 0) si chiama vertice del paraboloide ellittico, a, b si chiamano semiassi. Se a=b , la quadrica è di rotazione attorno all’asse z, e si può ottenere ad esempio facendo ruotare intorno all’asse z la parabola

Paraboloide iperbolico o a sella Ha equazione con a>0, b>0. I piani x=0 e y=0 sono piani di simmmetria e l’asse z è asse di simmetria, non ha centro di simmetria.

Paraboloide iperbolico- Intersezioni con i piani Le intersezioni con x=h e y=k sono parabole con asse parallelo all’asse z. Le intersezioni con i piani z=t sono iperboli con assi di simmetria paralleli agli assi x ed y. Il punto O(0, 0, 0) si chiama vertice del paraboloide iperbolico. Il paraboloide iperbolico non è mai una superficie di rotazione e per la sua forma particolare si chiama paraboloide a sella.

Quadriche traslate L’equazione di una quadrica non in forma canonica, ma senza termini misti, può essere trasformata in forma canonica utilizzando il metodo del completamento dei quadrati usato per le coniche. Quindi utilizzando una traslazione ad esempio l’equazione dell’ellissoide si può scrivere:

Piano tangente ad una quadrica in un suo punto La quadrica di equazione matriciale Ha piano tangente in P 0(x 0, y 0, z 0) di equazione: dove L’equazione del piano tangente nell’origine (che deve appartenere alla quadrica) si ottiene uguagliando a zero i termini di I grado.

Bibliografia 1. 2. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, 100 pagine di…Geometria Analitica dello spazio, Levrotto & Bella S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, vol II, Levrotto & Bella TORINO