La geometria Analitica dalle origini alle prime applicazioni

La geometria Analitica: dalle origini alle prime applicazioni Cristina Camici, Cristina Ghezzi, Carla Michelini, Maria Grazia Marcheselli ITC F. SEVERI

TEST N. 1 Rispondi , in base alle tue conoscenze, alle seguenti domande: Ø Che cos’è la geometria ? Di cosa si occupa ? Ø Che cos’è la geometria cartesiana? occupa ? Ø Formalizzare il seguente ragionamento : “ Prolungare un segmento AB = a di un tratto x e costruire un rettangolo di diagonale AH, che sia composto da un rettangolo di dimensioni a e x e di un quadrato di lato x in modo che il grande rettangolo sia equivalente ad un quadrato di lato b “ Di cosa si

TEST N. 2 Rispondi, in base alle tue conoscenze, ai seguenti quesiti: Ø Prima del fischio di inizio partita i calciatori della squadra di calcio CARTESIO devono occupare la metà-campo assegnata loro dall’arbitro. Costruisci uno schema iniziale per schierare gli 11 calciatori nella propria posizione tenendo conto che il numero dei difensori è compreso tra 3 e 5, al centro campo il numero dei mediani è compreso tra 3 e 6 e il numero degli attaccanti è compreso tra 1 e 3. Il loro numero totale è 10, oltre a questi è presente il portiere. Di cosa hai bisogno per costruire lo schema? Ø In una battaglia navale posiziona la tua flotta composta da 4 navi semplici, 3 navi di dimensione doppia delle semplici, 2 navi di dimensione tripla delle semplici e una nave di dimensione quadrupla delle semplici. Di cosa hai bisogno per rappresentare le posizioni?

ESITI DEL TEST 1 I TEST SONO STATI SOMMINISTRATI A 82 STUDENTI Alla prima domanda hanno risposto tutti : ü La maggioranza degli studenti ha risposto dicendo che la geometria è una scienza che si occupa dello studio delle forme e delle figure. ü Pochissimi hanno risposto dicendo che la geometria è una scienza che si occupa dello studio delle misure degli oggetti. Alla seconda domanda hanno risposto tutti: ü La maggioranza degli studenti hanno risposto dicendo che la geometria cartesiana si occupa dello studio delle figure nel piano cartesiano.

ESITI DEL TEST 1 Ci sono state poi alcune risposte “fantasiose”: ü “La geometria cartesiana si occupa dello studio delle figure nel piano cartesiano utilizzando delle formule. ” ü “La geometria cartesiana” l’ha inventata Cartesio per costruire grafici. ü “La geometria cartesiana si occupa anche di rappresentare equazioni nel piano. ” ü “La geometria cartesiana” si occupa della misura delle figure nel piano cartesiano. ü “La geometria cartesiana” si occupa dello studio delle forme nel piano cartesiano. Alla terza domanda non tutti hanno risposto: ü Solo alcuni studenti hanno costruito correttamente la figura ü Un solo studente delle 4 classi ha formalizzato il ragionamento.

ESITI DEL TEST 2 Alla prima domanda hanno risposto tutti : ü Molti studenti hanno risposto disegnando un campo di calcio con i calciatori posizionati nei vari ruoli. Alla domanda hanno risposto nei modi più strani: occorrono il campo di calcio, i calciatori l’allenatore…. . la matita, la stecca, la gomma…. ü Un alunno ha risposto dicendo di aver bisogno di conoscere la matematica (non si sa mai… conoscere un po’ di matematica serve sempre !!!!) ü Una alunna ha scritto di aver bisogno di un piano per rappresentare la metà campo e dei punti per rappresentare i calciatori.

ESITI DEL TEST 2 Alla seconda domanda non tutti hanno risposto: ü La maggioranza degli studenti ha risposto dicendo che serviva un piano cartesiano in cui rappresentare le navi e lo hanno rappresentato tenendo conto delle diverse dimensioni delle navi ü 4 studenti hanno rappresentato solo un reticolato ü 2 studenti hanno risposto dicendo di non conoscere la battaglia navale. ü 1 studente ha risposto dicendo che occorreva unità di misura per rappresentare le navi di diversa dimensione.

EQUAZIONE DELLA RETTA Ø Dopo aver discusso con i nostri studenti campione degli esiti dei loro test, e dopo essere arrivati alla conclusione dell’importanza e del significato del sistema di riferimento, abbiamo chiesto di pensare al tipo di legame che esiste (se esiste) tra le seguenti coppie di punti A (2, 4) B(4, 8)……… La maggioranza degli studenti è riuscita a scrivere la seguente relazione : y=2 x

Ø La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio della geometria attraverso il sistema di coordinate oggi dette cartesiane, ma già studiate nel Medio Evo da Nicola d'Oresme. Ø Ogni punto del piano cartesiano o dello spazio è determinato dalle sue coordinate, che determinano un vettore rispettivamente del tipo (x, y) oppure (x, y, z). Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi.

Nella geometria antica non sembrano esserci esempi in cui sia stabilito a priori un sistema di coordinate come sistema di riferimento per la rappresentazione grafica di un'equazione o di una relazione

L’uso delle coordinate risale alla più remota antichità. Ø Gli architetti egiziani, per riportare in più grande scala un disegno su una parete, lo riferivano ad un reticolato a maglie quadrate. Ø Gli agrimensori egizi o "tenditori di corde", dopo le periodiche inondazioni del Nilo, ricostruivano sul terreno i limiti dei poderi usando mappe di tipo catastale.

Ø I primi astronomi determinavano la posizione di una stella sulla sfera celeste, mediante due numeri (ascensione retta e declinazione); inoltre, l’astronomo greco Ipparco introdusse coordinate geografiche per determinare la posizione di un punto sulla superficie terrestre. Ø I romani, fondando una città, usavano segnare sul posto due solchi tra loro perpendicolari, ai quali riferivano la posizione futura di case, piazze, strade. Lo stesso metodo era usato nella preparazione dei piani di guerra. Inoltre furono i Romani ad usare per primi le ascisse curvilinee con l’uso delle pietre militari.

I geometri greci ricavarono sempre le equazioni dalle curve, attraverso lo studio delle loro proprietà, e mai le curve dalle equazioni. Le equazioni stesse non avevano il significato algebrico astratto che noi oggi attribuiamo loro, ma erano sempre trasposizioni simboliche o verbali di relazioni fra elementi della curva geometrica.

E’ necessario premettere che i matematici greci dividevano le curve in tre categorie: Ø i luoghi piani, formati da tutte le rette e da tutti i cerchi; Ø i luoghi solidi, formati da tutte le sezioni solide; Ø i luoghi lineari, che comprendevano indistintamente tutte le altre curve.

Il fatto stesso che Apollonio, il più grande studioso di geometria dell’antichità, non sia giunto a sviluppare una geometria analitica, era probabilmente dovuto più ad una povertà di curve che non ad una povertà di pensiero. Qualcosa di più vicino al concetto di coordinate nella moderna accezione si trova in un disegno d'ignoto del X o XI secolo d. C. che studia le traiettorie dei pianeti riportandone latitudine e longitudine rispettivamente come ordinata e ascissa.

La nascita della Geometria analitica (come risoluzione geometrica di problemi algebrici o, viceversa, come risoluzione algebrica di problemi geometrici) è principalmente dovuta ai matematici francesi René Descartes (15961650) e Pierre De Fermat (1601 -1665). Cartesio e Fermat fondarono la geometria analitica contemporaneamente, ma separatamente, spinti entrambi, anche se per motivazioni diverse, da un desiderio di ritorno al passato, all’età d’oro della geometria, ai problemi classici dei matematici greci.

René Descartes introdusse le basi della geometria analitica nel 1637 nel saggio intitolato La Géométrie incluso nel suo libro Discorso sul metodo. Questo lavoro scritto in francese e i suoi principi filosofici, fornirono le fondamenta per il calcolo differenziale, che sarà successivamente introdotto da Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, in maniera autonoma fra loro.

Cartesio prende le mosse dalla constatazione della gran diversità dei procedimenti in uso nelle ricerche scientifiche. Ebbene, egli pensa che per porre fine a questo stato caotico non vi è che un mezzo: scoprire un fondamento assoluto, superiore a qualsiasi dubbio, da cui siano derivabili tutte le verità della scienza. La geometria analitica riuscirebbe, per l’appunto, a risolvere il problema ora accennato, per lo meno nell’ambito della matematica.

Il piano cartesiano permette di visualizzare funzioni di una variabile oppure equazioni di due variabili più complicate, come ad esempio le coniche. Ciò permette di visualizzare la "forma" di equazioni oppure risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.

Ø La geometria (La Géométrie) fu pubblicata da René Descartes nel 1637 come una delle tre appendici al Discorso sul metodo. Le altre due erano La Diottrica (La dioptrique) e Le Meteore (Les Météores). Descartes non ha mai chiarito se i tre saggi (appendici) fossero esempi di applicazione del metodo oppure se il metodo fosse una introduzione ad essi. Ø L'opera in particolare discusse la rappresentazione di un punto di un piano mediante una coppia di numeri reali e la rappresentazione di una curva per mezzo di un'equazione. In tal modo i problemi geometrici possono venire tradotti in problemi algebrici e risolti con le regole dell’algebra.

Spesso “La Géométrie” viene vista unicamente come applicazione dell’algebra alla geometria, ma lo scopo del suo metodo era duplice: Ø da un lato, di liberare la geometria dal ricorso alle figure, di evitare la dipendenza dalle differenze inessenziali tra figura e figura per raggiungere risultati di più ampia generalità; Ø dall’altro di dare un significato alle operazioni algebriche per mezzo di un’interpretazione geometrica.

La Géométrie è divisa in tre libri: Ø I. I problemi che si possono costruire solo con cerchi e linee rette Ø II. Sulla natura delle linee curve Ø III. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi.

Nel I libro, Descartes, dopo aver posto le basi del metodo delle coordinate e aver dato un’interpretazione delle operazioni algebriche in termini di segmenti, fornisce dettagliate istruzioni sul modo di risolvere equazioni di secondo grado per via geometrica, dando una interpretazione in tal senso anche per la loro soluzione.

Il II libro è forse quello che contiene i risultati più importanti e più vicini alla concezione moderna della geometria analitica. Descartes espone la scoperta che le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici.

Il III libro tratta della soluzione delle equazioni di grado superiore al secondo mediante intersezioni di curve. Descartes, partendo dal presupposto che bisogna sapere se l’equazione sia riducibile o meno, insegna come passare da un grado superiore a uno inferiore dell’equazione quando sia nota una radice e che possono darsi tante radici positive quante sono le variazioni di segno nel primo membro e tante radici negative quante volte i segni + e – si susseguono (regola dei segni di Cartesio).

Cartesio introduce l'uso sistematico degli assi coordinati (ancora oggi solitamente denominati “assi cartesiani”) che permettono di rappresentare i punti con coppie o terne di numeri e le relazioni geometriche fra punti con relazioni algebriche. Così i problemi geometrici possono venire tradotti in problemi algebrici e risolti con le regole in certo senso automatiche dell'algebra. Questa traduzione presenta due notevoli vantaggi: Ø da un lato, di rendere pressoché uniforme la trattazione di tutte le questioni geometriche; Ø dall'altro, di far scomparire d'un tratto le differenze inessenziali tra figura e figura, permettendo così di raggiungere risultati di amplissima generalità.

La geometria diviene, in tal modo, una scienza essenzialmente analitica nella quale ogni problema ben formulato diventa, se di grado non superiore al quarto, automaticamente risolubile.

Contributo di Fermat alla scoperta della geometria analitica Da una lettera del 1635 sappiamo che Fermat sapeva rappresentare curve matematiche tramite equazioni prima che Cartesio pubblicasse La Geometrie. Questa scoperta sta alla base della geometria analitica, che quindi Fermat aveva sviluppato per primo indipendentemente da Cartesio, al quale è di solito attribuita. Sappiamo però che i due guardavano alla loro scoperta in modo del tutto diverso: Cartesio infatti la considerava una rottura con la matematica antica, mentre Fermat la vedeva come una sorta di continuazione, e faceva notare che anche Apollonio nelle sue Coniche arrivava a concetti vicini alla geometria analitica.