Lezione 13 Equazione di KleinGordon Equazione di Dirac
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Lezione 13 • Equazione di Klein-Gordon • Equazione di Dirac (prima parte) equazione di continuità hamiltoniana di Dirac matrici alpha, beta 1
Equazioni d’onda relativistiche L’equazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione d’onda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. L’equazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nell’equazione classica per una particella libera: E = p 2 / (2 m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori: Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire un’equazione relativistica per una particella libera di spin zero. 2
Equazione di Klein-Gordon Klein e Gordon nel 1926 costruirono un’equazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso: E 2 = p 2 + m 2 nella quale, come nel caso dell’equazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti: ħ=c=1 EQUAZIONE DI KLEIN GORDON ( + m 2 )Φ = 0 (1) PARTICELLA RELATIVISTICA LIBERA D’ALAMBERTIANO L’equazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni) 3
Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon 1) La relazione relativistica tra energia e impulso: prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso: Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico. 2) Se tentiamo di derivare dall’equazione di K. -G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per l’equazione di Schrödinger che dava luogo all’equazione: ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare come una densità di probabilità. Vediamo perchè. . . 4
Equazione di continuità dall’eq. di K. -G. Prendiamo l’equazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata: Moltiplichiamo la prima per * e la seconda per : Quindi sottraiamole membro a membro: (2) 5
Definiamo le seguenti grandezze: DENSITA’ DI PROBABILITÀ ? ? DENSITA’ DI CORRENTE DI PROBABILITÀ ? ? Con queste definizioni l'equazione (2) diventa: cioè assume la tipica forma di un’equazione di continuità, tuttavia la quantità non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare come una densità di probabilità. 6
Osservazioni sull’ eq. K. -G. 1) Gli autovalori dell’energia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici. 2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K. -G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E i / t) e l'impulso al secondo (p 2 - 2/2 m), mentre l'equazione di K. -G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E - 2/ t 2 e p 2 - 2/2 m). Questo impedisce di usare l’equazione di K. -G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale l’equazione di K. -G. è l’equazione che descrive non la funzione d’onda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso. 7
Equazione di Dirac Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall’ eq. di K. -G. . L’equazione deve avere le seguenti caratteristiche: • Da essa deve conseguire un’equazione di continuità ∂m jm =0 • La densità di probabilità deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: l’equazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo • L’equazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione) • L’equazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione d’onda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac) • Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E 2 = p 2 + m 2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a un’equazione di K. -G. 8
L’ EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: • Uno spinore a N componenti • Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale • Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata) • Termine senza derivata dove le a 1, a 2, a 3 e la b sono delle matrici di dimensione N N. Indicando con a un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici ai: possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta: (2) EQUAZIONE DI DIRAC 9
In forma matriciale: In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore : 10
Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di è 4, in componenti scriveremo: 11
L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore ): 12
Equazione di continuità dall’eq. di Dirac Prendiamo l’equazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata: i ∂0 + i ak∂k – mb = 0 – i∂0 † –i ∂k † (ak)†–m † b† = 0 Moltiplichiamo la prima a sinistra per † e la seconda a destra per i †∂0 + i † ak∂k –m †b = 0 –i(∂0 †) –i (∂k †)(ak)† –m †b† = 0 Quindi sottraiamole membro a membro: i ( †∂0 + (∂0 †) ) + i ( † ak ∂k + (∂k †)(ak)† ) – m ( † b – † b† ) = 0 derivata del prodotto y† y potrebbe essere la derivata del prodotto y† ak y se fosse (ak)†=ak potrebbe annullarsi se fosse (b)†=b Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici a 1, a 2, a 3 e b siano hermitiane: (ak)† = ak e b† = b 13
In tal modo infatti l' equazione diventa: i ∂0 ( † ) + i ( † ak ∂k + (∂k †) ak ) – (m † b - m † b ) = 0 (3) i ∂0 ( † ) + ∂k( † ak ) = 0 Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità: † DEFINITA POSITIVA † 14
Hamiltoniana di Dirac Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente: Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è: N. B. La condizione che le matrici ai e b debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana. 15
RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO Richiederemo ora che le singole componenti di soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso: EQ. DI DIRAC EQ. DI KLEINGORDON Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K. -G. a partire da quella di Dirac: 16
Dato che le matrici ai e b sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali: 17
(3) Ma l'equazione di K. -G. è: o anche: (4) Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici ai e b le seguenti regole: cioè le matrici ai e b anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità. 18
ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICI ai E b 1) Dal momento che le matrici ai e b anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata. 2) Le matrici ai e b hanno traccia nulla. Infatti: (proprietà delle tracce) Ma poichè le matrici a e le b anticommutano, si avrà: 3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti: 19
4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4. Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice b è diagonale: dove le sk sono le matrici di Pauli e pertanto: 20
PARTICELLE A MASSA NULLA Notiamo che l'equazione di Dirac: per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a: Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti ai (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere: Indicando con s il vettore composto dalle tre matrici: s = (s 1, s 2, s 3), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore L (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato): 21
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