F 4110 Kvantov fyzika atomrnch soustav letn semestr

F 4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 2008 - 2009 II. Tepelné fluktuace: Brownův pohyb KOTLÁŘSKÁ 25. ÚNORA 2008

Úvodem • Dnes: Důležitá otázka bez Planckovy konstanty • Přímé pozorování molekulárního chaosu • Jedna třetina Einsteinova zázračného roku 1905 • Odvoláme se na kinetickou teorii ideálního plynu a zobecníme trochu • Ne jen rovnovážné vlastnosti, ale také jejich fluktuace a stochastická dynamika 2

Makrosvět, mesosvět, mikrosvět Na přelomu 19. a 20 století bylo ještě běžné mluvit o „atomové hypotéze“ Atomy a molekuly platily za nepozorovatelné. Teprve začátkem 20. století bylo toto cliché prolomeno několika experimenty s mesoskopickými objekty. Ty vedly k Nobelovým cenám. 3

Mesoskopický prostředník odráží vlastnosti mikrosvěta – až do atomární úrovně 4

Logaritmická škála velikosti objektů přirozená délka (sáh) makrosvět rozlišovací mez prostého oka opt. mikroskop mesosvět vidět atomy mikrosvět 5

Vidět atomy – dnešní možnosti Z o k t í ř ě ské m D lid AFM (Atomic Force Microscope) ké atomá so e m rních ic kop s rozmě rů 6

Vidět atomy – dnešní možnosti Z o k t í ř ě ské m D lid AFM (Atomic Force Microscope) ideje íka í t i ž pou ostředn í n r e mod ckého pr pi o k s o mes ké atomá so e m rních ic kop s rozmě rů 7

Vidět atomy – dnešní možnosti Z o k t í ř ě ské m D lid é ick p sko ení o r k z ma obra z ideje íka í t i ž pou ostředn í n r e mod ckého pr pi o k s o mes AFM (Atomic Force Microscope) é atomá pohyb rních roz ick p ko tí s o u s me prohn měrů 8

Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice přirozená délka (sáh) makrosvět "blechy blech" rozlišovacínení mez zmenšenina prostého oka Mikrosvět makrosvěta planetární model atomu opt. mikroskop je spíše metafora mesosvět (1) molekulární chaos (2) kvantové úkazy mikrosvět 9

Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice přirozená délka (sáh) makrosvět "blechy blech" rozlišovacínení mez zmenšenina prostého oka Mikrosvět makrosvěta planetární model atomu opt. mikroskop je spíše metafora mesosvět (1) molekulární chaos (2) kvantové úkazy mikrosvět 10

Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice přirozená délka (sáh) makrosvět "blechy blech" rozlišovacínení mez zmenšenina prostého oka Mikrosvět makrosvěta planetární model atomu opt. mikroskop je spíše metafora mesosvět (1) molekulární chaos (2) kvantové úkazy mikrosvět 11

Souběh stupnic termodynamika ? ? kvantový svět molekulární chaos makrosvět klasický svět přirozená délka (sáh) "blechy blech" rozlišovacínení mez zmenšenina prostého oka Mikrosvět makrosvěta planetární model atomu opt. mikroskop je spíše metafora mesosvět (1) molekulární chaos (2) kvantové úkazy mikrosvět 12

Mesoskopický objekt -- prostředník Základní myšlenka: prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován • některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT Dva případy použití 1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné 2. J. Perrin měřil Avogadrovu konstantu: pozoroval koloidní suspense. Koloidní částice byly viditelné mikroskopem, ale podléhaly vlivu molekulárního chaosu. • Barometrická formule • Brownův pohyb 2 D Myšlenka byla ale Einsteinova. 13

Mesoskopický objekt -- prostředník Základní myšlenka: prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován • některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT Dva výchozí případy použití 1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné 14

Mesoskopický objekt -- prostředník Základní myšlenka: prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován • některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT Dva výchozí případy použití 1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné 2. J. Perrin měřil Avogadrovu konstantu: pozoroval koloidní suspense. Koloidní částice byly viditelné mikroskopem, ale podléhaly vlivu molekulárního chaosu. Dvojí pokusy zviditelnily termický pohyb ("atomy") • Barometrická formule pro koloidní roztoky • Brownův pohyb 2 D Myšlenka byla ale Einsteinova. 15

Koloidy a jejich kinetika Koloidní částice mají často správnou velikost, aby stály právě na pomezí makrosvěta a mikrosvěta 16

Co jsou koloidy (dvousložkové) dispersní soustavy částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky 1 nm atomy, molekuly roztoky velikost makromolekuly 1 m částic koloidní částice k o l o i d n í makroskop. částice s o u s t a v y hrubé disperse PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV prostředí plyn č á st kapalina i c pevná e plyn kapalina pevná látka pěna vroucí voda pěnová guma mlha kumulus emulze mléko aerosol sol/gel vlhká půda sol rubínové 17

Co jsou koloidy (dvousložkové) dispersní soustavy částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky 1 nm atomy, molekuly roztoky velikost makromolekuly 1 m částic koloidní částice k o l o i d n í makroskop. částice s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV prostředí plyn č á st kapalina i c pevná e plyn kapalina pevná látka pěna vroucí voda pěnová guma mlha kumulus emulze mléko aerosol sol/gel vlhká půda sol rubínové 18

Co jsou koloidy (dvousložkové) dispersní soustavy částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky 1 nm atomy, molekuly roztoky velikost makromolekuly 1 m částic koloidní částice k o l o i d n í makroskop. částice s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV p r o s t ř e d í plyn č á st i c e plyn kapalina pevná látka pěna vroucí voda pěnová guma mlha kumulus emulze mléko aerosol sol/gel vlhká půda sol rubínové 19

Co jsou koloidy (dvousložkové) dispersní soustavy částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky 1 nm atomy, molekuly velikost makromolekuly roztoky 1 m částic koloidní částice k o l o i d n í makroskop. částice s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV Perrinův systém č á st i c e p r o s t ř e d í plyn kapalina pevná látka pěna vroucí voda pěnová guma mlha kumulus emulze mléko aerosol sol/gel vlhká půda sol rubínové 20

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže 1 m neznámá!!! 21

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže … o tom za chvíli mnohem více 1 m neznámá!!! 22

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže 1 m neznámá!!! 23

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže 1 m 24

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže 1 m neznámá!!! 25

Barometrická formule Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže 1 m neznámá!!! 26

Barometrická formule – jiné použití 1. Únik vodíku ze Zemské atmosféry 2. Řídká atmosféra Martova 3. Sedimentace těžkých komponent (zlata, platiny, . . . ) v roztavených slitinách 4. Hmotnost koloidních částic velká, proto rozdělení nerovnoměrné již na 0, 1 mm výšky 27

Brownův pohyb Jev, který byl pokládán spíše za kuriositu, ale který byl nakonec jedním z pilířů "nové" fysiky před 100 lety 28

Brownův pohyb Známé obrázky pocházejí také až od Perrina Polohy částic zaznamenány vždy po 30 sec. Spojnice jsou jen vodítko pro oko 29

Brownův pohyb Známé obrázky pocházejí také až od Perrina Polohy částic zaznamenány vždy po 30 sec. Spojnice jsou jen vodítko pro oko Skutečné trajektorie mají "fraktální" podobu a nejsou diferencovatelné. Proto předmětem zkoumání není rychlost, ale poloha Brownovy částice 30

Brownův pohyb Známé obrázky pocházejí také až od Perrina KVIZ V čem je zásadní rozdíl mezi barometricko u formulí a Brownovým pohybem ? ? ? Polohy částic zaznamenány vždy po 30 sec. Spojnice jsou jen vodítko pro oko 31

Brownův pohyb Známé obrázky pocházejí také až od Perrina barometrická formule se týká středních hodnot Polohy částic zaznamenány vždy po 30 sec. Spojnice jsou jen vodítko pro oko Brownův pohyb fluktuací, tedy odchylek od středních hodnot 32

Robert Brown (1773 – 1858) Významný britský botanik – probádal floru Australie 1805 Pozoroval jev později nazvaný Brownův molekulární pohyb 1827 Zavedl pojem buněčného jádra 1831 Oblíbené bludy Brown byl objevitel (Jan Ingenhousz 1765) Brown pozoroval pohyby pylových zrn (pohybovaly se částice uvnitř vakuol) Brown svým mikroskopem nemohl nic vidět (pokusy byly opakovány) 33

Robert Brown (1773 – 1858) Významný britský botanik – probádal floru Australie 1805 Pozoroval jev později nazvaný Brownův molekulární pohyb 1827 Zavedl pojem buněčného jádra 1831 Oblíbené bludy Brown byl objevitel (Jan Ingenhousz 1765) Brown pozoroval pohyby pylových zrn (pohybovaly se částice uvnitř vakuol) Brown svým mikroskopem nemohl nic vidět (pokusy byly opakovány) 34

35

http: //www. fzu. cz/departments/theory/seminars/presentations/sem-present-051220. pdf 36

37

38

Brownův pohyb Od roku 1827 do začátku 20. století Brownův pohyb mnohokrát pozorovaná a popisovaná kuriosita bez vysvětlení. 39

Od Boltzmanna k Einsteinovi Kinetická teorie se postupně rodila od poloviny XIX. století a byla dovršena prací L. Boltzmanna. Nikoho však nenapadlo aplikovat ji na popis Brownova pohybu. Až A. Einsteina 40

od Boltzmanna k Einsteinovi 1896 41

od Boltzmanna k Einsteinovi NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA • molekulární chaos i v ideálním plynu • teplota ~ kinet. energie molekul 1896 NOVÉ OBJEVY • entropie a pravděpodobnost • nevratnost … růst entropie PROBLÉMY • Umkehreinwand Loschmidt • Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré • Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald 42

od Boltzmanna k Einsteinovi NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA • molekulární chaos i v ideálním plynu • teplota ~ kinet. energie molekul 1896 NOVÉ OBJEVY • entropie a pravděpodobnost • nevratnost … růst entropie PROBLÉMY • Umkehreinwand neuvážil roli Brownova pohybu Loschmidt • Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré • Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald 43

od Boltzmanna k Einsteinovi NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA • molekulární chaos i v ideálním plynu • teplota ~ kinet. energie molekul NOVÉ OBJEVY • entropie a pravděpodobnost • nevratnost … růst entropie PROBLÉMY • Umkehreinwand Loschmidt • Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré • Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald 1896 neuvážil roli Brownova pohybu Boltzmann měl správnou intuici o molekulárním chaosu, ale ve své době byl ojedinělý se svým názorem … kapituloval jen chvíli před vítězstvím svých idejí 44

od Boltzmanna k Einsteinovi 1896 Ann. Phys. 45

Einsteinova práce o Brownově pohybu Nyní společně prostudujeme podrobnosti Einsteinovy úvahy o podstatě Brownova pohybu 46

od Boltzmanna k Einsteinovi 1896 1905 Ann. Phys. 47

Úvod Einsteinova článku 1905 1 2 3 4 ZKRÁCENÝ PŘEKLAD Podle molekulárně kinetické teorie částice mikroskopem viditelné a suspendované v kapalině mohou vykonávat v důsledku termických pohybů molekul pohyby snadno prokazatelné pod mikroskopem Tyto pohyby by mohly být totožné s tzv. „Brownovým molekulárním pohybem“, ale pro definitivní úsdek má autor nedostatečné údaje. Kdyby se tyto pohyby a jejich očekávané zákonitosti skutečně daly pozorovat, pak termodynamika není přesně platná již v mikroskopické oblasti a přesné určení skutečné velikosti atomů je možné. Opačný výsledek by byl závažným argumentem proti kinetickému pojetí tepla. Ann. Phys. 48

K obsahu Einsteinovy práce ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika 49

K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika … Z termodynamického hlediska není důvod, aby koloidní částice působily koloidnim tlakem. …. 50

K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika … Z termodynamického hlediska není důvod, aby koloidní částice působily koloidnim tlakem. …. Z hlediska molekulárně kinetické teorie tepla docházíme však k jinému pojetí. Podle této teorie se odlišuje rozpuštěná molekula od suspendovaného tělíska právě jen velikostí, a nevidím, proč by určitému počtu suspendovaných tělísek neměl odpovídat týž osmotický tlak, jako stejnému počtu rozpuštěných molekul. … 51

K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika stavová rovnice rozpuštěné složky parciální … osmotický tlak množství látky v molech polopropustná membrána 52

K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty stavová rovnice rozpuštěné složky ANIMACE … dnes úloha do praktika stavová rovnice koloidní složky A parciální … osmotický tlak množství látky v molech počet částic A hustota částic Avogadrova konstanta polopropustná membrána 53

K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty stavová rovnice rozpuštěné složky ANIMACE … dnes úloha do praktika stavová rovnice koloidní složky A parciální … osmotický tlak množství látky v molech počet částic A hustota částic Avogadrova konstanta polopropustná typicky: buněčnémembrána membrány 54

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika Odvození probíhá ve třech krocích, které postupně propojí makroskopické vztahy s účinkem molekulárního chaosu 1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část síla na koloid. tělísko 55

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen objemových molekulárně-kinetický vzorec koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 1. rovnováha a povrchových silpro na elem. objem makroskopická část 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 2. rovnováha vs. difusní 4. Navržen toků novýPoiseuillův způsob stanovení Avogadrovy konstanty Stokesova formule mesoskopická … dnes úloha část do praktika Fickův zákon 56

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice ANIMACE 4. 2. rovnováha Navržen nový stanovení Avogadrovy konstanty toků způsob Poiseuillův vs. difusní Stokesova formule … dnes úloha do praktika mesoskopická část Fickův zákon 3. uzavřeno započtením molekulárního chaosu stavová rovnice koloidu A 57

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " sil na elem. objem 1. rovnováha objemových a povrchových makroskopická část Výsledky ANIMACE tlak (…"nezajímavé") 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický toků Poiseuillův vs. difusní mesoskopická část 2. 2. rovnováha Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Stokesova Formule pro evoluci Brownovy částice formule 4. Fickův zákon Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty 3. uzavřeno započtením molekulárního chaosu … dnes úloha do praktika stavová rovnice koloidu A VÝSLEDEK difusní konstanta k. B dynamická viskosita 58

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty ANIMACE … dnes úloha do praktika difusní konstanta Tři interpretace: k. B dynamická viskosita Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém ) Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty Most mezi třením a stochastickými silami … později 59

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika difusní konstanta Tři interpretace: pohyblivost Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém ) Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty Most mezi třením a stochastickými silami … později 60

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika difusní konstanta Tři interpretace: pohyblivost Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém ) Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty Most mezi třením a stochastickými silami … později 61

K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty difusní konstanta MĚŘENA … dnes úloha do praktika plynová konst. -- ZNÁMA Tři interpretace: pohyblivost -- ZNÁMA Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém ) Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty Most mezi třením a stochastickými silami … později 62

K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice ! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho Postup A. E. je "polofenomenologický " Výsledky 1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé") 2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah 3. Formule pro evoluci Brownovy částice 4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy interpretováno jako difuse Difusní rovnice. . . parciální diferenciální rovnice pro vývoj koncentrace částic Z ní lze odvodit (škálovací úvahou, bez explicitního řešení) formuli 63

K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice loid o k y u Difusní rovnice k rozt kap í n éká Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy interpretováno jako difuse Perrin se spolupracovníky provedl opětovaná měření a z anich Difuse chápe jako postupné vyměňování poloh solutu solventu díky vypočetl difusní konstantu. Pomocí Einsteinovy formule určil náhodným termálním pohybům My se tomu budeme věnovat pomocí Langevinovy rovnice Vztah v rámečku odpovídá rozměrové úvaze 64

K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice Difusní rovnice Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy interpretováno jako difuse Perrin se spolupracovníky provedl opětovaná měření a z nich vypočetl difusní konstantu. Pomocí Einsteinovy formule určil 65

Perrinovy pokusy mnoho trajektorií přesunutých do téhož počátku individuální trajektorie tří koloidních částic Dvě metody výpočtu střední hodnoty střední vlastnosti mnoha částic v plynu opakované pokusy s jediným objektem stavová rovnice, barometrická formule Brownovy částice středování pomocí distribuční funkce ensemblové středování 66

Obecnější pohled na termické fluktuace Termické fluktuace jsou universální. Má proto smysl podívat se na ně z obecného hlediska. Obecný nástroj při této práci je ekvipartiční zákon. Pak (příště) se zaměříme na Kapplerův pokus. Ten začal éru studia vlivu termických fluktuaci na přesnost mechanismů a měřicích přístrojů. 67

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace 68

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace 69

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace současnost: zároveň m šu e is no 70

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . nezávislých vnitřních systém mnoho mesoskopický stupňů volnosti interakce T -- S 71

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . nezávislých vnitřních systém mnoho mesoskopický stupňů volnosti interakce T -- S 72

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . nezávislých vnitřních systém mnoho mesoskopický stupňů volnosti interakce T -- S "silné slabé" molekulární chaos 73

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA "silné slabé" molekulární chaos T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . systém mnoho mesoskopický nezávislých vnitřních stupňů volnosti interakce T -- S Interakce jsou natolik slabé, že zanedbáme jejich příspěvek k celkové energii Jejich účinek nahradíme hypotézou termické rovnováhy pro termostat 74

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . nezávislých vnitřních systém mnoho mesoskopický stupňů volnosti interakce T -- S mikroskopické globální stupně volnosti "silné slabé" molekulární chaos 75

Systematický popis termických fluktuací (klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace MAKROSKOPICKÁ APARATURA T S měřicí blok není součástí systému termostat makroskopický " nekonečný ". . nezávislých vnitřních systém mnoho mesoskopický stupňů volnosti interakce T -- S mikroskopické globální stupně volnosti molekulární chaos 76

Tři příklady mesoskopických systémů globální stupně volnosti • translační • rotační 1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb 2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV 77

Tři příklady mesoskopických systémů globální stupně volnosti • translační • rotační 1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb 2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV 78

Tři příklady mesoskopických systémů globální stupně volnosti • translační • rotační 1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb 2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV Hamiltoniány kvadratické v globálních kanonických proměnných 79

Termostat z ideálního plynu obecný tvar hamiltoniánu pro (téměř) ideální plyn srážky vedou k chaotisaci podmínky pro dobrý termostat ideálního plynu z 80

Termostat z ideálního plynu obecný tvar hamiltoniánu pro (téměř) ideální plyn srážky vedou k chaotisaci podmínky pro dobrý termostat ideálního plynu z DOBA chaotisace (srážková d. ) termalisace (relaxační d. ) charakt. doba systému 81

Termostat z ideálního plynu obecný tvar hamiltoniánu pro (téměř) ideální plyn srážky vedou k chaotisaci podmínky pro dobrý termostat ideálního plynu z DOBA chaotisace (srážková d. ) termalisace (relaxační d. ) ideální plyn charakt. doba systému termostat 82

Termostat z ideálního plynu obecný tvar hamiltoniánu pro (téměř) ideální plyn srážky vedou k chaotisaci podmínky pro dobrý termostat ideálního plynu z TERMOSTAT: definuje a fixuje teplotu je robustní, nedá se vychýlit DOBA chaotisace (srážková d. ) termalisace (relaxační d. ) ideální plyn charakt. doba systému termostat je rychlý při návratu do rovnováhy S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze 83

Termostat v rovnováze Chování termostatu v rovnováze … distribuční funkce pro každý nezávislý stupeň volnosti zvlášť hustota pravděpodobnosti tedy má význam pravděpodobnosti. Speciální případ. . . barometrická formule zobecňující Boltzmannovo rozdělení Potenciál stěn chaotisace tzv. biliárovým efektem vypuštěn. Stejné částice typu Q (se stejným hamiltoniánem) mají společnou distribuční funkci 84

Systém v rovnováze s termostatem Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie Předpokládáme totiž "N + 1" molekul Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Dvě cesty Prostřednictvím skrytých chaotisačních interakcí se termický chaos přenese z T i na dynamický systém S. Počítáme střední hodnoty proměnných systému s rozdělovací funkcí Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti. Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště) 85

Systém v rovnováze s termostatem Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie Předpokládáme totiž "N + 1" molekul Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Dvě cesty Prostřednictvím skrytých chaotisačních interakcí se termický chaos přenese z T i na dynamický systém S. Počítáme střední hodnoty proměnných systému s rozdělovací funkcí Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti. Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště) 86

Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů: 1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce) 2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu aditivní kvadratická funkce, typicky Ekvipartiční teorém Pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu) Podobně pro kinetickou energii nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!! 87

Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů: 1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce) 2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu aditivní kvadratická funkce, typicky Ekvipartiční teorém Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu) Podobně pro kinetickou energii nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!! 88

Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů: 1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce) 2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu aditivní kvadratická funkce, typicky Ekvipartiční teorém Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu) Podobně pro kinetickou energii nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!! 89

Kapplerův experiment první přesné stanovení 90

Příště dynamický popis Kapplerova zrcátka pomocí Langevinovy rovnice. . . stochastická diferenciální rovnice 91

The end 92