Kousek symetrie Libor mejkal Kvantov fyzika atomrnch soustav
Kousek symetrie Libor Šmejkal Kvantová fyzika atomárních soustav
Kde navazujeme - Vibrace víceatomových molekul
Ukázka z M Symetrické polynomy Vietovy vztahy!
Co je více symetrické? Ukázka z F Led Voda
Přehled Zkoumání symetrie p Teorie grup p n n Matematika Fyzika Aplikace - příklady p Shrnutí p
Matematický pohled + *
Grupa Grupou nazveme množinu G spolu s binární operací splňující: Uzavřenost p Neutrální prvek p Inverzní prvek p Asociativita p
Příklad Cyklická grupa s generátorem i p Multiplikativní tabulka p 1 1 e ai -1 b -i c ai ai -1 b -i c 1 e ai -i c 1 e ai -1 b
Jiný příklad - reprezentace Reprezentace relevantní grupy může být nalezena obecnou matematickou metodou, výsledek je vlastní symetrii a nezávislý na detailech fyzikálního systému
Grupoid p základní algebraická struktura s jednou operací. množina A, na které je definována jedna binární operace • . n p tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A. Příklady n n p Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, (N; +) - operace sčítání na množině přirozených čísel. (N; ·) - operace násobení na množině přirozených čísel. Protipříklady n n (N; -) - operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená. (N; : ) - operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená.
Variety p Abstraktní prostor lokálně podobný Euklidovskému. Např. Země n n n Minkovského ČP 4 D Obr. Penrose Teorie strun – svinuté dimenze p Např. : HE, 10 D, grupová symetrie E 8 x. E 8
Lieovy grupy p Reálná Lieova grupa je grupa, která je konečně dimensionální reálná hladká varieta, ve které je grupová operace násobení hladké zobrazení. p Kružnice se středem v počátku gaussovy komplexní roviny je Liovou grupou s komplexním násobením
Příklady p 2× 2 reálné invertibilní matice, násobení, GL 2(R): p Rotační matice tvoří podgrupu GL 2(R), značíme SO 2(R). Sčítání úhlů odpovídá násobení prvků SO 2(R),
Fyzikální pohled Operace symetrie p INVARIANCE p Diskrétní/bodové - krystalografie … Spojité grupy p p Permutační Gaugeho invariance a zachování náboje Grupy v částicové fyzice
Zákony zachování 1918 – Emma Noetherová Každé spojité lokální symetrii, vůči které jsou invariantní rovnice popisující fyzikální systém, přísluší veličina, která se zachovává p p p Homogenita prostoru p Izotropie prostoru L Homogenita času nejužitečnější skalární veličina E Souřadnicová inverze Časová inverze prostorová parita časová parita
Spojité Posunutí v prostrou a čase p Rotace v 3 D prostoru p Lorentzova transformace p
Diskrétní p Prostorová inverze (Parity transformation) x -x n n Reflexe v rovině Většina interakcí obsahuje, ale slabá NE Časová inverze t -t p Translační transformace v mřížce p Rotační p
Př. Částice v 1 D mřížce p H je invariantní vůči operacím symetrie, H komutuje se všemi grupovými symetrickými operátory, vlastní stavy H jsou také bázovými reprezentatnty symetrické grupy Fyzikální interpretace výsledku GT vede k cenným informacím o energiových spektrech
Příklad p 5 – 14 - 52
Bravais mřížky
Bravais mřížky
Proč 14? !
Shrnutí Přirozenost, geometrie p Nástroj k hádání výsledku – sem tam může pomoci p Trošičku hloubější přiblížení porozumění fundamentálním principům p Užitečnost - zkoumání časoprostorových symetrií vedlo např. k vybudování OTR (placatá – kulatá) p
Na závěr Klasická hudba – Bach používal koncept symetrie permutace a invariance. p PW Anderson 1972 p
Literatura, doporučená četba Landau. Lifshitz: Course of theoretical physics, Vol. 4: Quantum mechanics p Sternberg: Group theory and physics p Tung: Group theory in physics p Rosický: Algebra p Motl&Zahradník: Pěstujeme LA p http: //en. wikipedia. org/wiki/Lie_group p http: //www. math. harvard. edu/people/Ster nberg. Shlomo. html p
Děkuji za pozornost p Diskuze!
Class Invariance Conserved quantity Proper orthochronous Lorentz symmetry translation in time (homogeneity) energy translation in space (homogeneity) linear momentum rotation in space (isotropy) angular momentum P, coordinate inversion spatial parity C, charge conjugation charge parity T, time reversal time parity CPT product of parities U(1) gauge transformation electric charge U(1) gauge transformation lepton generation number U(1) gauge transformation hypercharge U(1)Y gauge transformation weak hypercharge U(2) [U(1)x. SU(2)] electroweak force SU(2) gauge transformation isospin SU(2)L gauge transformation weak isospin Px. SU(2) G-parity SU(3) "winding number" baryon number SU(3) gauge transformation quark color SU(3) (approximate) quark flavor S((U 2)x. U(3)) [ U(1)x. SU(2)x. SU(3)] Standard Model Apendix 1. Discrete symmetry Internal symmetry (independent of spacetime coordinates)
Malé oscilace a teorie grup
- Slides: 28