Circunferncia o conjunto dos pontos equidistantes de um

Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro Diâmetro Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Raio Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência O diâmetro é a maior das cordas O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências Matemática – 9. º ano Corda

Circunferência ngulo ao Centro e Arco de Circunferência A c Um ângulo formado por dois raios designa-se ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide com o centro da circunferência) B Qualquer porção da circunferência determinada por dois dos seus pontos, que são os extremos do arco designa-se Arco de circunferência. Nota – Quando falamos em arco, sem nada acrescentar referimo-nos ao arco menor Matemática – 9. º ano

Circunferência v Ao ângulo ao centro ACB corresponde a corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa. v Numa circunferência, qualquer ângulo que não seja ao centro diz-se excêntrico Pág. 12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura: a) Identifica quatro ângulos ao centro. b) Indica dois pares de ângulos ao centro geometricamente iguais. c) Classifica quanto aos lados o triângulo [EOD]. Triângulo isósceles Matemática – 9. º ano

Circunferência A Numa circunferência: C - a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa - A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais D B - A ângulos ao centro iguais E F G correspondem arcos e cordas iguais - A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais - A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente Matemática – 9. º ano H C I

Circunferência Pág. 13 – exercício 3 Observa a figura onde [MT] [EA]. Prova que Resposta: Esta afirmação é verdadeira porque se trata dos comprimentos dos lados de um quadrado, pois como [MT] e [EA] são diâmetros da circunferência, representam as diagonais de um quadrado, por serem iguais. Matemática – 9. º ano

Circunferência Pág. 13 – exercício 4 Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de centro O, é a bissectriz do ângulo BOD. a) Calcula b) Que podemos concluir em relação a Porquê? A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º. c) E em relação a Porquê? Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais d) Supondo que , calcula o comprimento do arco AB. Matemática – 9. º ano

Circunferência Pág. 23 – exercício 1 a) e c) Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y. a) ngulos verticalmente opostos x y c) x+30º 2 x - 10º Matemática – 9. º ano

Circunferência ngulo inscrito F Um ângulo formado por duas cordas designase c E ângulo inscrito (o vértice do ângulo coincide com um ponto da circunferência) D 80º A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º). Matemática – 9. º ano

Circunferência Pág. 15 – exercício 6 Observa a figura e indica: a) Um ângulo ao centro; b) Um ângulo inscrito; c) Um arco de circunferência; d) Um raio de circunferência; e) Uma corda da circunferência. Matemática – 9. º ano

Circunferência Pág. 15 – exercício 7 Considera a circunferência de centro O. a) [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê? Porque são cordas que passam pelo centro. b) Se , calcula: b 1 ) b 2 ) b 3 ) b 4 ) b 5 ) Matemática – 9. º ano

Circunferência Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por: q traçar uma recta (com 2 pontos); q desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); q marcar os pontos A e B; q marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; q marcar a corda DB; q verificar todos os resultados. Matemática – 9. º ano

Circunferência ngulo inscrito Propriedades: v Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometricamente iguais. v Qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é recto. Matemática – 9. º ano

Circunferência Pág. 17 – exercício 12 O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus três vértices pertencem à circunferência. Sabendo que calcula e que. Matemática – 9. º ano

Circunferência Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por: q traçar uma recta com dois pontos; q desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); q marcar os pontos M e R; q traçar o ângulo MRA de 30º; q marcar o ponto A e a corda [MA]; q verificar que o ângulo MAR é 90º; q traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; q verificar todos os resultados. Matemática – 9. º ano

Circunferência Eixo de simetria de uma circunferência Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência é eixo de simetria da circunferência. Matemática – 9. º ano

Circunferência Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência divide ao meio as cordas que lhe são perpendiculares, assim como os ângulos ao centro e os arcos correspondentes. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais. Matemática – 9. º ano

Circunferência tangente A tangente a uma circunferência é perpendicular à recta que 90º passa pelo centro e pelo ponto de tangência. Pág. 21 a) ex. 16 b) Matemática – 9. º ano ponto de tangência

Circunferência Pág. 21 a) ex. 17 b) Matemática – 9. º ano c)

Circunferência Polígonos Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades. Polígono Não Polígono Os polígonos podem ser côncavos ou convexos. Côncavo Matemática – 9. º ano Convexo

Circunferência Polígonos Polígono regular Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes características: todos os seus lados têm a mesma medida (são congruentes); todos os seus ângulos internos têm a mesma amplitude (são congruentes). Diagonal de um Polígono Diagonal de um polígono é qualquer segmento de recta cujos extremos são vértices não consecutivos do polígono. Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Regulares Polígono N. º Lados ngulo ao Centro ngulo Interno Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 60º 120º . . . . N 360º/N = 180 - ngulo ao centro Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Concluímos que: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono (convexo) de n lados é igual a (n-2) 180º triângulo Si = (3 - 2) 180º = = 180º Hexágono Pentágono Si = (5 - 2) 180º = = 3 180º = = 540º Si = (6 - 2) 180º = = 4 180º = = 720º Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Concluímos que: Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma dos ângulos externos é sempre 360º Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos inscritos numa circunferência Polígono N. º lados N. º triângulos Soma dos ângulos internos Triângulo 3 1 180º Quadrilátero 4 2 2 × 180º = 360º Pentágono 5 3 3 × 180º = 540º Hexágono 6 4 4 × 180º = 720º Heptágono 7 ? ? Octagono 8 ? ? Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Concluímos que: Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os seus vértices. A circunferência diz-se circunscrita ao polígono. A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um polígono regular de n lados é Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Regulares Polígono N. º Lados ngulo ao Centro (Ac) ngulo Interno (Ai) Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 60º 120º . . . . N Ac = 360º/N Ai = 180 - Ac Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Página 31 – ex. 2 a) Página 31 – ex. 3 Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Página 31 – ex. 6 Página 31 – ex. 7 Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer? [ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência. Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais. Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados. h o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo. Matemática – 9. º ano

Circunferência Polígonos A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono. ap l lado do pentágono. Matemática – 9. º ano

Polígonos Circunferência representa o perímetro do pentágono De modo análogo prova-se que: P = perímetro do polígono ap = apótema de um polígono Matemática – 9. º ano

Polígonos Circunferência Página 33 ex. 24 ex. 25 Apótema ex. 26 Matemática – 9. º ano

Circunferência Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos -Translação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo como referência um vector -Reflexão Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria -Rotação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação Matemática – 9. º ano

Circunferência Simetria Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia, quando nos referimos por exemplo: • uma roda dentada de uma máquina; • aos ponteiros de um relógio; • à roda de um veículo; • à hélice de um avião; • ao movimento de rotação que a Terra torno de si mesmo; Matemática – 9. º ano faz em

Circunferência Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo. Sentido positivo Sentido negativo ângulo orientado +90º ângulo orientado -90º Matemática – 9. º ano

Circunferência A figura [A’B’C’D’E’] resulta da rotação de centro O e amplitude 90º da figura [ABCDE]. Por seu lado, [ABCDE] resulta da rotação de centro O e amplitude -90º da figura [A’B’C’D’E’] Matemática – 9. º ano

Circunferência O que é uma Rotação? Uma Rotação de centro O e amplitude R(O, ) é a aplicação que ao ponto O faz corresponder o próprio O e a cada ponto A da figura original faz corresponder um ponto A’, tal que No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º Matemática – 9. º ano

Circunferência Matemática – 9. º ano

Circunferência Matemática – 9. º ano