Sobre Geoestatstica e Mapas Paulo M Barbosa Landim

Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim) Everson Mattos Santa Maria-RS, Julho/2013

Resumo 1 – O que é Geoestatística; 2 – Variáveis Regionalizadas; 3 – O Semivariograma; 4 – Krigagem Ordinária; 5 – Interpolação.

O que é Geoestatística? Geoestatística é uma área da estatística aplicada que trata dos fenômenos, que podem ser estudados usando a teoria das variáveis regionalizadas.

Variáveis Regionalizadas As variáveis regionalizadas são aquelas que apresentam duplo aspecto contraditório. Aleatório: apresenta irregularidade e variação imprevisível de um ponto para outro. Estrutural: apresenta relação existentes entre os pontos no espaço. (determinístico no espaço)

Semivariograma O grau de relação entre pontos numa certa direção pode ser expresso pela covariância. Covariância é uma medida de associação (relação) Embora existam correlação em todas as direções, pode-se estimar apenas em passos regularmente espaçados. Se o fenômeno for isotrópico não dependerá da direção, dependerá apenas de.

Semivariograma Espaçamento entre amostras 100 pés.

Semivariograma Para a direção Oeste-Leste (WE)

Semivariograma

Semivariograma Para a direção Norte-Sul (NS)

Semivariograma

Semivariograma Regra prática – número mínimos de pares entre 30 e 40; Maior distância entre pontos: (Leste – Oeste); e (Norte – Sul);

Semivariograma Anisotropia: • Geométrica – Quando o “a” varia e o “Sill” fica constante; • Zonal – Quando “Sill” varia e o “a” permanece constante; Efeito pepita – Erro de medida, ruído, ou amostras muito espaçadas;

Semivariograma Quando não se sabe se o fenômeno é isotrópico ou anisotrópico, usa-se as direções dos pontos cardeais e colaterais com ângulo de abertura de 45º. Quando descoberta uma direção de forte anisotropia deve-se investigar essa direção ângulo de abertura pequeno. Melhores estimativas são obtidas quando os modelos são baseados em Semivariogramas experimentais que apresentam a menor razão e maior alcance.

Semivariograma Validação cruzada, forma de verificar as estimativas; A melhor forma é a comparação com dados de campo; A média do erro = zero, indica apenas que o modelo escolhido é menos incorreto que outros; Cuidado na determinação do semivariograma, determina toda a análise geoestatística.

Semivariograma

Krigagem Ordinária Krigagem é um processo de estimativa de valores de variáveis distribuídas no espaço e/ou tempo. . . Estimativa por média móvel. “. . . O uso de semivariograma para a estimativa por kigragem não exige que os dados tenham distribuição normal, mas a presença de distribuição assimétrica, com muitos valores anômalos, deve ser considerada, pois a krigagem é um interpolador linear. ”(p. 27)

Krigagem Ordinária Problema: como estimar um ponto não amostrado A, conhecendo–se apenas os valores de algumas amostras (x 1, . . . xn)? Uma forma, muito comum é usar uma combinação linear dos dados existentes, ou seja: Toda estimação possui um erro associada a ela, nesse caso o erro é descrito como:

Krigagem Ordinária O estimador é dito de confiança se a média do erro de estimação for zero. Uma forma usual de medir a confiança de um estimador é utilizar o desvio padrão ou sua variância. Entretanto, nesse caso não se sabe o valor real, apenas a estimativa, logo não se sabe o erro e tampouco a variância. Então com o se faz?

Krigagem Ordinária A solução é utilizar o semivariograma para estimar a variância, logo: Sendo que a estimativa é: Assumindo que: Restrição necessária para encontrar a solução do sistema de equações lineares.

Krigagem Ordinária Considerando também que não haja tendência local dos valores, isto é: Caso isso ocorra o estimador é ótimo e não tendencioso, pois, dado um conjunto de pesos para cada valor a ser estimado ocorre a minimização das variâncias dos erros:

Krigagem Ordinária Assim para estimar o valor ‘A’, é necessário resolver um sistema de equações linear para ser resolvido com n equações. Como há uma restrição, , tem-se o aumento uma variável independente. Para resolver esse problema (Otimização com restrição), utiliza-se o multiplicador de Lagrange para que o sistema linear possa ter solução.

Krigagem Ordinária O sistema pode ser escrito como: Desejam-se os ponderadores:

Krigagem Ordinária O ponto a ser estimado pela krigagem é:

Interpolação com o Inverse Distance Weighting (IDW) Ponto X A 1 2 3 4 5 4150 4170 4200 4160 4150 4080 Y U 3 O 4 2340 372. 803 2332 400 2340 380 2370 450 2310 280 2340 320 Distâncias 1/Distância Pesos 0. 000 21. 541 50. 000 31. 623 30. 000 70. 000 0. 0464 0. 0200 0. 0316 0. 0333 0. 0143 0. 318701 0. 137301 0. 217092 0. 228835 0. 098072

Interpolação O mesmo problema agora usando krigagem ordinária

Interpolação

Interpolação O valor estimado com o interpolador do tipo IDW e a Krigagem são muito semelhantes! Pode-se com a krigagem avaliar o erro de estimação ou a faixa de valores, as quais o valor verdadeiro é mais provável.

Interpolação O valor verdadeiro do ponto A deve estar, com 95% de certeza, entre:

Mapa de localização de pontos de amostragem Modelo de variograma ajustado ao variograma experimental

Mapa estimado pelo método da krigagem ordinária Mapa de desvios-padrão da krigagem associados aos valores estimados

Mapa

Concluindo Pode-se estimar um valor não amostrado e vavaliar o erro dessa estimativa, conforme os mapas anteriores. Entretanto, segundo Landim, não há garantia que os dados interpolados mantenham o mesmo histograma e a mesma variância e o mesmo semivariograma dos dados originais. Alguns aplicativos que podem auxiliar no tratamento estatístico de dados: Surfer®, SPSS®, Estatística®

Obrigado! Centro Reginal Sul de Pesquisas Espaciais – CRS/INPE Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Pós-Gradução em Geografia e Geociências Santa Maria-RS, Out/2013