AUTOVALORES AUTOVETORES TRANSFORMAES LINEARES E ANLISE MODAL Ettore

AUTO-VALORES, AUTO-VETORES TRANSFORMAÇÕES LINEARES E ANÁLISE MODAL Ettore A. de Barros

1. INTRODUÇÃO a-ESTADO ESTRUTURA MATEMÁTICA QUE REPRESENTA O COMPORTAMENTO DO SISTEMA DIN MICO. É COMPOSTO POR UM CONJUNTO DE VARIÁVEIS, TAL QUE SEU CONHECIMENTO NO INSTANTE t=t 0, E O CONHECIMENTO DA EXCITAÇÃO, NESTE MESMO INSTANTE, DETERMINA COMPLETAMENTE O COMPORTAMENTO DO SISTEMA. EXISTE UM CONJUNTO MÍNIMO DE VARIÁVEIS DE ESTADO QUE SE TORNA NECESÁRIO PARA REPRESENTAR O SISTEMA DE MODO PRECISO.

b- EQUAÇÃO DE ESTADOS c-ESPAÇO DE ESTADOS ESPAÇO n-DIMENSIONAL, CUJOS EIXOS CORRESPONDEM A

ANALISEMOS ALGUMAS PROPRIEDADES DA MATRIZ “A” E SUAS RELAÇÕES COM A RESPOSTA NATURAL DO SISTEMA DIN MICO E SUA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

2 - ANÁLISE DA EQUAÇÃO DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES DA MATRIZ “A”

CADA RAIZ DA EQUAÇÃO POLINOMIAL É UM AUTO-VALOR. PARA CADA VALOR DISTINTO, TEM-SE 1 AUTO-VETOR. O CONJUNTO DE AUTO-VETORES ASSIM FORMADO É LINEARMENTE INDEPENDENTE. SUPONHA O CASO DE A (nxn) COM “n” AUTO-VALORES DISTINTOS ENTRE SÍ. QUALQUER VETOR “X”, PODE SER EXPRESSO POR:

NA FORMA MATRICIAL, TEMOS: APLICANDO A EQUAÇÃO DE AUTO-VALORES, TEMOS: PASSANDO À FORMA MATRICIAL E APLICANDO 1), VEM:

DA EXPRESSÃO ANTERIOR, VEM:

3. APLICAÇÃO NA RESPOSTA NATURAL SABEMOS QUE DE 4), TEMOS:

APLICANDO 7) EM 6), VEM:

4. MODOS DO SISTEMA CHAMAMOS DE MODOS DO SISTEMA ÀS FUNÇÕES TEMPORAIS QUE FORMAM A SOLUÇÃO DE TEMOS OS SEGUINTES MODOS POSSÍVEIS

OS AUTO-VETORES RELACIONAM OS MODOS DO SISTEMA , QUE SÃO AS CARACTERÍSTICAS DE RESPOSTAS, COM A TRAJETÓRIA NO ESPAÇO DE ESTADOS. CONFORME SE APROXIMAM DA ORIGEM, AS TRAJETÓRIAS PASSAM A SER TANGENTES ÀS DIREÇÕES DOS AUTOVETORES. O MOVIMENTO NO ESPAÇO DE ESTADOS, AO LONGO DOS AUTO-VETORES, OCORRE COM INTENSIDADES DITADAS PELOS MODOS CORRESPONDENTES

EXEMPLO

SEJAM SENDO ASSIM, A MATRIZ M É DADA POR

APLICAÇÃO À EXPRESSÃO DA RESPOSTA NATURAL:

PARA

X(t)= PARA

EXEMPLOS DE TRAJETÓRIAS NO ESPAÇO DE ESTADOS FONTE: REFERÊNCIA [2]

EXEMPLOS DE TRAJETÓRIAS NO ESPAÇO DE ESTADOS FONTE: REFERÊNCIA [2]

EXEMPLOS DE TRAJETÓRIAS NO ESPAÇO DE ESTADOS FONTE: REFERÊNCIA [2]

5. APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA A DIAGONALIZAÇÃO DA MATRIZ “A” LEMBRANDO QUALQUER VETOR “X”, PODE SER EXPRESSO EM FUNÇÃO DA BASE CONSITUÍDA PELOS AUTO-VETORES. OU SEJA, NA FORMA MATRICIAL, FICA:

PORTANTO X=MZ APLICANDO NA EQUAÇÃO DE ESTADOS , VEM: SENDO ASSIM, OBTIVEMOS UMA NOVA REPRESENTAÇÃO DO MESMO SISTEMA DIN MICO:

M

ESSA É CONHECIDA COMO UMA TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE ESSE TIPO DE TRANSFORMAÇÃO É UTILIZADO PARA TRANSFORMAR A MATRIZ “A” NUMA FORMA CONVENIENTE PARA A ANÁLISE E PROCESSAMENTO DO SISTEMA. NOTE QUE “P” PRECISA SER INVERTÍVEL, ENTRADA E SAÍDA NÃO SÃO ALTERADAS E UM NOVO CONJUNTO DE VARIÁVEIS DE ESTADO SURGE

APLICAÇÃO CASO 1:

SISTEMA TRANSFORMADO: CASO 2: O PRIMEIRO MODO NÃO É NÃO “OBSERVÁVEL”

CASO 3:

SISTEMA TRANSFORMADO: O SEGUNDO MODO NÃO É “CONTROLÁVEL”

CASO DE AUTO-VALORES COM MULTIPLICIDADE • SE ISSO CORRE, OS AUTO-VETORES PODEM NÃO SER L. I. *, O QUE IMPLICARIA NA IMPOSSIBILIDADE DE SE DIAGONALIZAR “A” • O MAIS PRÓXIMO QUE CONSEGUIRÍAMOS DE UMA MATRIZ DIAGONAL, NESSE CASO, É A “FORMA CANÔNICA DE JORDAN”

*HÁ CASOS EM QUE, MESMO COM AUTO-VALORES EM MULTIPLICIDADE, A MATRIZ PODE SER DIAGONALIZÁVEL. OU SEJA, A MATRIZ, MESMO ASSIM, POSSUI UM CONJUNTO DE AUTO-VETORES L. I. PARA O AUTO-VALOR IGUAL A “ 2”, O AUTO-VETOR PODE SER TOMADO COMO SENDO PARA O SEGUNDO AUTO-VALOR, A SOLUÇÃO GERAL PARA O AUTO-VETOR CORRESPONDENTE É DADA POR:

A MATRIZ TEM DETERMINANTE DIFERENTE DE ZERO. PORTANTO, A PODE SER TRANSFORMADA COMO SEGUE:

O QUE ACONTECE COM OS MODOS DO SISTEMA? EXEMPLO:

ANALISEMOS A SITUAÇÃO EM QUE “b” TENDE A “a”: MAIORES MULTIPLICIDADES DE “a” PRODUZEM

PODE-SE PRODUZIR A TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE QUE LEVA A MATRIZ “A” À SUA FORMA CANÔNICA DE JORDAN. HÁ ALGORITMOS QUE FAZEM ESSA TAREFA: [V, J]=Jordan(A) (Matlab)

REFERÊNCIAS 1. Livro Texto 2. Control and Dynamic Systems. Y. Takahashi, D. M. Auslander, M. J. Rabins, D. M. 1972. Addison-Wesley. 3. Linear Systems. T. Kailath. Prentice-Hall. 1980. 4. Engenharia de Controle Moderno. 2ª. Edição. Prentice-Hall. 1990.