Comportamento de Sistemas Nolineares Prof Marcus V Americano

Comportamento de Sistemas Não-lineares Prof. Marcus V. Americano da Costa Fº marcus. americano@ufba. br Universidade Federal da Bahia – UFBA Eng. de Controle e Automação 2017 1

1. Sistemas Não-Lineares • Sistemas Lineares 1 único Equilíbrio (estável ou instável) • Sistemas Não Lineares - Múltiplos Equilíbrios - Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos (“caóticos”) 2

1. Sistemas Não-Lineares • Pêndulo simples L Diagrama de Espaço de Estados θ equilíbrios 3

1. Sistemas Não-Lineares • Controle Pneumático do pêndulo simples invertido

1. Sistemas Não-Lineares • Controle com Rotação do pêndulo simples invertido

1. Sistemas Não-Lineares • Oscilador de Van der Pol Equilíbrio (foco instável) Ciclo limite Estável 6

1. Sistemas Não-Lineares • Atrator de Rossler 7

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Exemplo: Equação logística 1) Equilíbrios 2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação) Para X(t) 1 0 t 8

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos • Linearização: se df(x)/dx ≠ 0 então as soluções do sistema não linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desenvolvimento serie de Taylor Desprezar termos de ordem superior Aproximação linear válida 9

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos • Exemplo Para Solução Como x Equilíbrio 0 t 0=1/x 0 t Não podemos estudar o equilíbrio a partir do sistema linearizado 10

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos • Exemplo Equilíbrios Matriz da linearização (Jacobiano) Não posso concluir nada Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável) 11

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos • Caso Geral Sistema linearizado • Jacobiano 12

2. Teorema de Hartman-Grobman Na vizinhança de um ponto de equilíbrio hiperbólico, um sistema não linear de dimensão ‘n’ apresenta um comportamento qualitativamente equivalente ao do sistema linear correspondente. A estabilidade de um ponto de equilíbrio hiperbólico é preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retrato de fases, na sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases do sistema linear associado. Dois retratos de fases são topologicamente orbitalmente equivalentes quando um é uma versão distorcida do outro. Se o ponto de equilíbrio é não-hiperbólico, então a linearização não permite predizer sua estabilidade. 13

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Tarefa 1: determinar os equilíbrios do seguinte sistema e classificálo segundo a sua estabilidade 14

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Tarefa 2: estudar a estabilidade da equação de Van der Pol 15