lgebra Linear Autovalores e Autovetores Prof Paulo Salgado

Álgebra Linear Autovalores e Autovetores Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1

Sumário • Autovalores e Autovetores • Polinômio característico 2

Autovalores e Autovetores • Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T: V→V, gostaríamos de saber que vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação • Isto é, dada T: V→V, quais os vetores v V tais que T(v) = v? • v é chamado de vetor fixo • Obviamente, a condição é válida para v igual ao vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, vamos desconsiderá-lo 3

Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Ø Quais os vetores v V tais que T(v) = v? Ø I: R 2 → R 2 Transformação Identidade Ø (x, y) → (x, y) Ø Neste caso, todo R 2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y) R 2 4

Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Ø Quais os vetores v V tais que T(v) = v? Ø r. X: R 2 → R 2 Reflexão no Eixo-x Ø (x, y) → (x, -y) Ø Ou w r x x 1 0 → y 0 -1 y X → r. X(w) Ø Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é mantido fixo pela transformação rx. De fato: 1 0 x = x 0 0 -1 0 Ou seja rx(x, 0) = (x, 0) 5

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Reflexão no Eixo-x Ø Ainda mais, esses vetores são únicos com essa propriedade já que: 1 0 x = x y 0 -1 y x + 0 y = x 0 x – y = y x=x y = -y y = 0 6

Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: Ø N: R 2 → R 2 Ø (x, y) → (0, 0) Transformada nula Ø Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0) 7

Autovalores e Autovetores • Considere o seguinte problema: dada uma transformação linear de um espaço vetorial T: V→V, estamos interessados em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmos; isto é, procuramos um vetor v V e um escalar λ R tal que: Ø T(v) = λ. v • Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção que v Ø Na mesma reta suporte 8

Autovalores e Autovetores • Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, estamos interessados em v 0 • O escalar λ é chamado de autovalor ou valor característico de T • O vetor v é chamado de autovetor ou vetor característico de T • Chamaremos de Operador Linear à transformação T: V→V Ø Transformação de um espaço vetorial nele mesmo 9

Autovalores e Autovetores • Definição: Seja T: V→V um operador linear. Se existirem v V, v 0 e λ R tais que Tv = λv, λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado a λ • Observe que λ pode ser zero enquanto v não pode ser o vetor nulo 10

Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Ø Encontre o autovalor e autovetor da transformação. Ø T: R 2 → R 2 Ø v → 2 v x → 2 y 0 0 2 x 2 x x = = 2 y 2 y y Ø Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y) (0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2 11

Autovalores e Autovetores • Observe que T(v) é sempre um vetor de mesma direção que v. Então, se: Ø λ < 0, T inverte o sentido do vetor; Ø |λ| > 1, T dilata o vetor; Ø |λ| < 1, T contrai o vetor; Ø λ = 1, T é a identidade; 12

Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Reflexão no eixo x Ø rx: R 2 → R 2 Ø (x, y) → (x, -y) x x 1 0 → y 0 -1 y Encontre um autovetor e o autovalor correspondente E para os vetores (x, 0) quem é o autovalor? Ø Os vetores da forma 0 são tais que: y 1 0 0 = -1 0 -y y 0 -1 y Assim, todo vetor (0, y), y 0, é autovetor de rx com autovalor λ=-1 13

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Reflexão no eixo x Ø Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por essa transformação • rx (x, 0) = 1. (x, 0) Ø Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1, com x 0 Ø Assim, existem dois autovalores para essa transformação com um autovetor associado a cada autovalor

Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem Ø rx: R 2 → R 2 Ø (x, y) → (-y, x) x x -y 0 -1 → = y y x 1 0 Ø Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num múltiplo de si mesmo Ø Logo, T não tem autovalores (consequentemente, também não tem autovetores) 15

Autovalores e Autovetores • Exemplo 4: 2 2 0 1 x A. = 2 y 0 Ø Seja A = Ø Então 2 1 x 2 x + 2 y y = y Ø e TA(x, y) = (2 x + 2 y, y) Ø Para procurar os autovalores e autovetores de TA resolvemos a equação TA(v) = λv Ø Ou seja. . 16

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 4: 2 x + 2 y = λ. x = λx y λy y 2 x + 2 y = λx y = λy (1) (2) Ø i) Se y 0, de (2) temos λ = 1 2 x + 2 y = x y = -½x autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x 0 Ø ii) Se y = 0 x 0 (senão, o autovetor seria o vetor nulo). De (1), 2 x + 0 = λx λ = 2. Logo, o outro autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x 0 Ø Assim, para essa transformação T temos autovetores (x, -½x), x 0, associados ao autovalor 1 e os autovetores (x, 0), x 0, associados ao autovalor 2 17

Autovalores e Autovetores • Teorema: Dada uma transformação T: V→V e um autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer vetor w = v ( 0) também é autovetor de T associado a λ • Definição: O subespaço Vλ = {v V: T(v) = λv} é chamado de subespaço associado ao autovalor λ 18

Polinômio Característico • Exemplo: Seja A= 4 -1 0 2 1 1 0 0 2 Ø Procuramos vetores v R 3 e escalares λ R, tais que A. v = λ. v (T(v) = λ. v) Ø Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, então a equação acima pode ser escrita na forma • Av=(λI)v, • ou ainda (A – λI)v = 0 Ø Explicitamente. . . 19

Polinômio Característico Cont. • Exemplo: 4 -1 0 2 1 1 0 0 2 4 -λ -1 0 — λ 0 0 2 0 1 -λ 0 1 2 -λ 0 x y z 0 0 λ x y z 0 = 0 0 20

Cont. Polinômio Característico • Exemplo: Ø Para solução do sistema, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a solução única será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo) Ø Como estamos procurando autovetores v 0, para satisfazer a condição acima precisamos ter: det 4 -λ -1 0 2 0 1 -λ 0 = 0 1 2 -λ 21

Cont. Polinômio Característico • Exemplo: (4 – λ). (1 – λ). (2 – λ) + 2. (2 – λ) = 0 Polinômio Característico -λ 3 + 7λ 2 - 16λ + 12 = 0 (λ – 2)2(λ - 3) = 0 Ø Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio característico de A e, portanto, os autovalores da matriz A são 2 e 3 Ø Conhecendo os autovalores, podemos buscar os autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada autovalor 22

Polinômio Característico Cont. • Exemplo: Ø λ = 2: 4 -1 0 2 1 1 4 x + 2 y = 2 x -x + y = 2 y y + 2 z = 2 z 0 0 2 x x y = 2 y z z x = -y y=0 x=0 Ø Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço [(0, 0, 1)] 23

Polinômio Característico Cont. • Exemplo: Ø λ = 3: 4 -1 0 2 1 1 4 x + 2 y = 3 x -x + y = 3 y y + 2 z = 3 z 0 0 2 x x y = 3 y z z x = -2 y y=z Ø Logo, os autovetores são do tipo (-2 y, y, y) para o autovalor λ = 3. Ou seja, pertencem ao subespaço [(-2, 1, 1)] 24

Polinômio Característico • De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A são aqueles que satisfazem det(A – λI) = 0 • P(λ) = det(A – λI) é um polinômio de grau n e é o polinômio característico da matriz A 25

Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Seja: A = -3 -1 4 det(A – λI) = det -3 -λ -1 2 4 2 -λ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ 2 + λ – 2 = P(λ) = 0 λ 2 + λ – 2 = 0 (λ - 1)(λ + 2) = 0 λ = 1 ou λ = -2 26

Autovalores e Autovetores Cont. • Exemplo 1: Autovetores: Ø i) Para λ = 1 -3 -1 4 2 x x y = 1. y -3 x + 4 y = x -x + 2 y = y x=y v = (x, x), x 0 27

Autovalores e Autovetores Cont. • Exemplo 1: Autovetores: Ø ii) Para λ = -2 -3 -1 4 2 x x y = -2. y -3 x + 4 y = -2 x -x + 2 y = -2 y x = 4 y v = (4 y, y), y 0 28

Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) Encontre a transf. linear T: R 2 → R 2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 associados autovetores (3 y, y) e (-2 y, y) respectivamente. • Solução: Ø De maneira geral, temos: a c b d x y x = . y ax + by = x cx + dy = y ax + by = cx + dy x y x(a - ) + by = 0 cx + y(d - ) = 0 29

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) Ø i) = -2 x(a + 2) + by = 0 cx + y(d + 2) = 0 Ø Mas, para = -2, temos o autovetor (3 y, y) ou seja x = 3 y: 3 y(a + 2) + by = 0 3 a + b = -6 3 cy + y(d + 2) = 0 3 c + d = -2 (I) 30

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) Ø i) = 3 x(a - 3) + by = 0 cx + y(d - 3) = 0 Ø Mas, para = 3, temos o autovetor (-2 y, y) ou seja x = -2 y: -2 y(a - 3) + by = 0 -2 a + b = -6 -2 cy + y(d - 3) = 0 -2 c + d = 3 (II) De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1 31

Autovalores e Autovetores Cont. • Exemplo 2: (Questão 8) Ø Logo: a T= c b 0 d = -1 -6 1 32

Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) Ache os autovalores e autovetores da transformação T: R 3 → R 3 tal que (x, y, z) → (x + y, x – y + 2 z, 2 x + y – z). • Solução: x+y x Use x – y +2 z = y 2 x + y - z z det(A – λI) = 0 1 1 2 1 -1 1 0 2 -1 x y z = x y z 33

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: 1 - det 1 2 1 0 -1 - 2 =0 1 -1 - (1 – )(-1 – )2 + 4 – 1. (-1 – ) – 2. (1 – )= 0 (1 – )(-1 – )2 + 4 + 1 + – 2 + 2 = 0 (1 – )(-1 – )2 + 3 = 0 (1 – )(1 + )2 + 3(1 + ) = 0 (1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0 34

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: (1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0 (1 + )[1 – 2 + 3] = 0 (1 + )(4 – 2) = 0 (1 + )(2 – )(2 + ) = 0 Autovalores: 1 = -1, 2 = 2, 3 = -2 35

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Autovetores (de forma geral): x+y x + y = x x – y +2 z x – y + 2 z = y 2 x + y - z 2 x + y – z = x y z 36

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Autovetor associado a 1 = -1: x + y = -1 x x – y + 2 z = -1 y 2 x + y – z = -1 z y = -2 x z = -x/2 Logo, o autovetor associado ao autovalor 1 é: v 1 (x, -2 x, -x/2) [(1, -2, -1/2)] 37

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Autovetor associado a 2 = 2: x + y = 2 x x – y + 2 z = 2 y 2 x + y – z = 2 z y=x z=x Logo, o autovetor associado ao autovalor 2 é: v 2 (x, x, x) [(1, 1, 1)] 38

Cont. Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Autovetor associado a 3 = -2: x + y = -2 x x – y + 2 z = -2 y 2 x + y – z = -2 z y = -3 x z=x Logo, o autovetor associado ao autovalor 3 é: v 3 (x, -3 x, x) [(1, -3, 1)] 39

Hoje vimos. . . • Autovalores e Autovetores • Polinômio característico 40

Exercícios Sugeridos • • • 2 3 4 7 a 18 22 41

A Seguir. . . Di ag o na liz aç ão de O pe ra d or es 42