4 5 FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE cours 27

4. 5 FONCTION EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE cours 27

Au dernier cours, nous avons vu

Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques

Calculons la dérivée de ces fonctions Si cette limite existe, c’est une constante. Reste à savoir ce que vaut cette limite.

Malheureusement, nous n’avons pas les outils pour évaluer cette limite Nous allons au moins tenter une approche numérique.

Naturellement cette démarche ne démontre absolument rien. Tout ce qu’elle fait est de laisser entendre que l’égalité suivante est peut-être vrai. Dans le cas particulier où la base est le nombre Exemple :

Approche alternative Historiquement les fonctions exponentielle et logarithmique ont été étudier indépendamment. On peut commencer par définir l’exponentielle et définir le logarithme comme sa fonction inverse. Ou bien on commence par définir le logarithme et on défini l’exponentielle comme sa fonction inverse.

Historiquement le logarithme est apparue pour transformer les produits en sommes.

On peut définir le logarithme comme la fonction qui donne l’aire sous la courbe de 1 à x de la fonction On défini tel que l’aire = 1

À l’aide de cette dérivée, on trouve Si Si Donc la fonction qu’on a nommée ln possède bien la propriété voulue.

Essayons de comprendre la fonction réciproque. Par définition Car pour

Donc on a bien que

Similairement on peut trouver la dérivée de Une constante

Exemple :

Faites les exercices suivants # 24 et 25

Exemple :

Exemple :

Exemple Faire l’analyse complète de : pt. cr. :

Exemple :

Faites les exercices suivants # 26

Aujourd’hui, nous avons vu

Devoir: #24 à 30