CHAPITRE 7 Fonctions numriques usuelles Le plan du

CHAPITRE 7 Fonctions numériques usuelles

Le plan du chapitre • • • La fonction exponentielle La fonction logarithme Les fonctions puissances Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions Arcos et Arsin La fonction tangente et la fonction Arctan Quelques relations importantes Les fonctions trigonométriques sinh et cosh Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh La fonction tanh et son inverse

La fonction exponentielle lim (ex/xn) = + l’infini en +l’infini k=n k x k=0 k ! exp (x) lim (ex xn) = 0 en - l’infini exp (x 1+x 2) = exp (x 1) x exp (x 2)

La méthode d’Euler exp ’ = exp Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x) u 0 = 1 Dérivée « discrète » un+1 -un = un 1/N (1+ x/N)N ---> exp (x) lorsque N tend vers + l’infini

La fonction logarithme (1) x R et y = exp (x) y et x = log (y) lim 0 (|y| log |y|) =0 lim+infini (log y /y) =0 log (y 1 y 2) = log (y 1) + log (y 2)

La fonction logarithme (2) • log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } • (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R {a} : (y-a)n+1 [ ]’ =[ y ---> (y-a)n] n+1

Les fonctions puissance x R ax : = exp (x log a) • (ax ) x = a x x • ax +x =ax ax • (ab)x = ax bx • a-x = (1/a)x 1 1 2 2 1 x 2 x [ x ax]’ = [x log(a) x ax] a > 0

La fonction cosinus x R k=n (-1)k k=0 cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 2 k x (2 k) ! cos s’annule en au moins un point de [0, 2] cos (x) (suites adjacentes) : = 2 inf{x>0, cos x=0}

La fonction sinus k=n k=0 (-1)k x R 2 k+1 x sin (x) (2 k+1) ! (suites adjacentes)

Relations entre fonctions trigonométriques • • cos (x 1 + x 2) = cos (x 1) cos (x 2) – sin (x 1) sin (x 2) sin (x 1+ x 2) = cos (x 1) sin (x 2) + sin (x 1) cos (x 2) cos’ = - sin sin’ = cos 2 x + sin 2 x =1 cos (x+ 2 )=cos x sin (x+2 ) = sin x (cos (x), sin (x)) ( pour x [0, paramétrage bijectif du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1

Fonctions trigonométriques inverses • Arcos : [-1, 1] --- > [0, ] • Arcsin : [-1, 1] --- > [- /2 , /2] • sur ]-1, 1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1 -y 2)-1/2] • sur ]-1, 1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1 -y 2)-1/2] Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y [-1, 1]

La fonction tangente tan x : = sin (x) / cos (x) tan’ = 1 + tan 2

La fonction Arctan (Arc-tangente) x ]- /2 , /2[ et y =tan (x) y R et x= Arctan (y) 1 1 Arctan’(y) = ------------ = -----1 + tan 2 (Arctan y) 1 + y 2

Quelques relations importantes • cos (t) = 2 cos 2 (t/2) -1 = (1 -u 2)/(1+u 2) • sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2 u/(1+u 2) t ]- , [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

1 -u 2 2 u ----- , ------1+u 2 (-1, 0) (0, 0) 1 n paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

Les fonctions hyperboliques • cosh x : = (ex+e-x)/2 , x R • sinh x : = (ex – e-x)/2 , x R cosh 2 x – sinh 2 x = 1 cosh’ = sinh sinh’ = cosh

ntersection d’un plan et d’un cône : Intersection hyperbole, ellipse ou parabole hyperbole (2 branches) ellipse les Coniques

Le paramétrage de la demi-hyperbole x = cosh t , t R x 2 – y 2=1 , x>0 y = sinh t , t R

La fonction argsinh : R R x R et y = sinh x y R et x=argsinh y variable auxiliaire argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y 2)-1/2 sinh x = y { X = ex X 2 – 2 y X - 1 =0 x = argsinh y = log [y + (1+y 2)1/2]

La fonction argcosh : {y ; y 1} {x ; x 0} x 0 et y = cosh x y 1 et x=argcosh y variable auxiliaire argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y 2 -1)-1/2 , y > 1 cosh x = y { X = ex x 0 (donc X 1) X 2 – 2 y X +1 =0 x = argcosh y = log [y + (y 2 -1)1/2]

La fonction tangente hyperbolique • tanh : x R tanh x : = sinh x / cosh x • tanh’ : x R 1 – tanh 2 x = (cosh x)-2 x R et y = tanh x y ]-1, 1[ et x= argtanh y argtanh’ y = 1/(1 -y 2) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y ]-1, 1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 , y ]1, 1[

Fin du chapitre 7