Turunan 3 Kania Evita Dewi Turunan Tingkat Tinggi

Turunan 3 Kania Evita Dewi

Turunan Tingkat Tinggi • Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n 1) • Turunan pertama • Turunan kedua • Turunan ke-n

Contoh Tentukan turunan kedua dari

Turunan Fungsi Implisit • Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila x dan y dituliskan dalam ruas yang sama, maka dikatakan y fungsi implisit dari x. • contoh

Contoh • Tentukan turunan dari bentuk implisit berikut

Diferensial • Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan andaikan bahwa dx, diferensial dari variabel bebas x menyatakan pertambahan sebarang dari x. Diferensial yang bersesuaian dengan dy dari variabel tak bebas y didefinisikan oleh

Contoh diferensial • Tentukan diferensial dari fungsi berikut

Aproksimasi • Aproksimasi Contoh • Tentukan nilai dari

Penggunaan Turunan Menggambar Grafik Canggih

Maksimum-Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: • f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Contoh Maks-Min • Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi yang diberikan (jika ada)

Titik Kritis • (Titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu: • Titik ujung dari I • Titik stasioner dari f (f’(c) = 0); • Titik singular dari f ( f’(c) tidak ada).

Kemonotonan • Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa: • f adalah naik pada I jika untuk setiap bilangan x 1 dan x 2 dalam I. x 1 < x 2 → f(x 1) < f(x 2) • f adalah turun pada I jika untuk setiap bilangan x 1 dan x 2 dalam I. x 1 < x 2 → f(x 1) > f(x 2) • f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I. • Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I • Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Contoh • Tentukan selang kemonotonan, titik kritis dan ekstrim fungsi berikut:

Kecekungan Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas di sana; jika f’ turun pada I, cekung ke bawah pada I.

Teorema Kecekungan • Andaikan f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka (a, b) • Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b). • Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke bawah pada (a, b).

Titik Balik • Andaikan f kontinu di c. Misal (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Titik-titik di mana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak ada merupakan calon-calon untuk titik balik.

Contoh kecekungan dan titik belok • Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut:

Asimtot • Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi • Ada 3 jenis asimtot fungsi, yakni: 1. Asimtot tegak: Garis x =c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika 2. Asimtot Datar: Garis y = b disebut asimtot datar dari y =f(x) jika 3. Asimtot miring: garis y =ax + b disebut asimtot miring jika

Contoh • Tentukan semua simtot dari

Menggambar grafik canggih • Diketahui 1. Tentukan apakah fungsi f(x) genap atau ganjil 2. Tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y 3. Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi 4. Tentukan selang kecekungan 5. Tentukan asimtot jika ada