RUANG VEKTOR REAL Kania Evita Dewi Definisi Operasi

  • Slides: 34
Download presentation
RUANG VEKTOR REAL Kania Evita Dewi

RUANG VEKTOR REAL Kania Evita Dewi

Definisi �

Definisi �

Operasi vektor �

Operasi vektor �

Operasi Vektor 2 �

Operasi Vektor 2 �

Ruang Vektor �

Ruang Vektor �

LATIHAN 1. Misal V=R 2 adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut dengan penambahan

LATIHAN 1. Misal V=R 2 adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut dengan penambahan matriks dan perkalian skalar

SUBRUANG �

SUBRUANG �

LATIHAN Cek apakah himpunan berikut subruang. 1. Semua vektor yang berbentuk 2. Matriks 3.

LATIHAN Cek apakah himpunan berikut subruang. 1. Semua vektor yang berbentuk 2. Matriks 3. Semua vektor yang berbentuk

Definisi Kombinasi linier �

Definisi Kombinasi linier �

contoh Tentukanlah kombinasi linier dan

contoh Tentukanlah kombinasi linier dan

Definisi merentang Jika v 1, v 2, …, vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor

Definisi merentang Jika v 1, v 2, …, vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier v 1, v 2, …, vr maka dapat dikatakan vektor-vektor ini merentang.

contoh Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini merentang R 3.

contoh Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini merentang R 3.

Definisi Bebas linier �

Definisi Bebas linier �

teorema Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah a. Tak bebas linier jika

teorema Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah a. Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya. b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.

teorema a. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linier.

teorema a. Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linier. b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor adalah perkalian vektor lainnya dengan skalar.

contoh Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut pada R 3 berbentuk tak bebas linier?

contoh Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut pada R 3 berbentuk tak bebas linier?

Definisi BASIS � NB: Basis untuk setiap ruang vektor tidak tunggal

Definisi BASIS � NB: Basis untuk setiap ruang vektor tidak tunggal

contoh Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.

contoh Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.

Definisi dimensi Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor

Definisi dimensi Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Catatan: Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol

teorema a. Jika S = {v 1, v 2, …, vn} adalah sebuah himpunan

teorema a. Jika S = {v 1, v 2, …, vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linier pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V. b. Jika S = {v 1, v 2, …, vn} adalah sebuah himpunan n yang merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

contoh Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem berikut.

contoh Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem berikut.

Vektor Koordinat �

Vektor Koordinat �

Contoh Tentukan vektor koordinat terhadap basis

Contoh Tentukan vektor koordinat terhadap basis

Latihan vektor koordinat �

Latihan vektor koordinat �

Matriks transisi �

Matriks transisi �

Contoh �

Contoh �

Latihan matriks transisi �

Latihan matriks transisi �

Rank dan nulitas �

Rank dan nulitas �

Contoh Misal Tentukan vektor baris dan vektor kolom matr A

Contoh Misal Tentukan vektor baris dan vektor kolom matr A

Teorema 1. Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks 2. Vektor-vektor baris

Teorema 1. Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks 2. Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang kolom A. NB: untuk ruang baris transpose ruang kolom

Contoh Misal Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom

Contoh Misal Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom

Definisi Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan

Definisi Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank(A). Nulitas adalah dimensi dari ruang nol. Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks.

Contoh 1 Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada

Contoh 1 Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada

Contoh 2 Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut ini!

Contoh 2 Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut ini!