TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI Kelompok

TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI Kelompok 4: Iska Widia Asri 111070149 Diah Lutfiyatul H 111070270 Kelas 2 k

A. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x, y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x, y, z) = 0. Contoh: 1. z = 2 x + y 2. z = ln 3. z = 1 – 2 4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e = 0 6. ln = 0 7. arc tan - 2 z = 0

B. Turunan parsial Dua dan Tiga Peubah Andaikan f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalnya y = y 0, maka f (x, y 0) adalah fungsi dengan peubah tunggal x turunannya di x = x 0 disebut turunan parsial f terhadap x di (x 0, y 0) dan dinyatakan sebagai fx (x 0, y 0). Jadi, fx (x 0, y 0) =

Dengan cara yang serupa, turunan parsial f terhadap y di (x 0, y 0) dinyatakan dengan fy (x 0, y 0) dan dirumuskan dengan fy (x 0, y 0) = Dari pada menghitung fx (x 0, y 0) dan fy (x 0, y 0) secara langsung dari rumus di atas, biasanya kita dapat menentukan fx (x, y) dan fy (x, y) dengan menggunakan aturan-aturan standar turunan, kemudian kita mensubsititusikan x = x 0 dan y = y 0.

Contoh : Tentukan fx (1, 2) dan fy (1, 2), jika f (x, y)= x 2 y + 3 y 3 Penyelesaian:

Jika z = f (x, y), kita menggunakan notasi alternative berikut: fx (x, y) = = fx (x 0, y 0) = (x 0, y 0) fy (x, y) = = fy (x 0, y 0) = (x 0, y 0)

Misal z = F(x, y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah. 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Definisi : Misal z = F(x, y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan didefinisikan oleh = dan =

Contoh : Tentukan turunan parsial pertama dari a. z = Penyelesaian:

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x, y, z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh: = = =

Contoh: Jika f (x, y, z) = xy + 2 yz + 3 zx, tentukan fx, fy, fz. Penyelesaian:

C. Turunan Parsial Ordo Tinggi Turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n ≥ 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Jadi andaikan z = F(x, y) maka: Turunan parsial tingkat dua adalah

= zxx =. ( ) = fxx = zxy =. ( ) = fxy = zyy = . ( ) = fyy = zyx =. ( ) = fyx Bila Z dan turunan parsialnya kontinu maka berlaku = =

Demikian pula, jika W = F(x, y, z) Turunan parsial tingkat dua adalah , , , ,

Contoh: Z =5 x 4 ─ 2 x 2 y + y 3 carilah 4 macam turunan parsial kedua dari z. Penyelesaian: