Turunan Parsial Definisi Misalkan fx y adalah fungsi

Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x, y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut 2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut 11/5/2020 1

Contoh: Tentukan fx dan fy 1. Jawab fx(x, y) = 3 x 2 y + 4 y 2 fy(x, y) = x 3 + 8 xy 2. Jawab fx(x, y) = – 2 xy cos(x 2 + y 2) fy(x, y) = cos(x 2+y 2)– 2 y 2 sin(x 2+y 2) 11/5/2020 2

Turunan Parsial Kedua 11/5/2020 3

Contoh Tentukan fxx, fyy , fxy, fyx 1. f(x, y)= x y 3 + y 3 x 2 Jawab fx(x, y) = y 3 + 2 xy 3 fy(x, y) = 3 xy 2 + 3 x 2 y 2 fxx(x, y) = 2 y 3 fxy(x, y) = 3 y 2 + 6 xy 2 fyy(x, y) = 6 xy + 6 x 2 y fyx(x, y) = 3 y 2 + 6 xy 2 11/5/2020 4

Latihan Tentukan fxx, fyy , fxy, fyx 1. f(x, y) = sin 2 x cos 3 y 2. f(x, y) = x/y 2 - y/x 2 3. f(x, y) = x y u 4. f(x, y) =exy 11/5/2020 5

Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x, y) terdeferensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai Misalkan x = x(s, t), y=y(s, t) dan z = f(x, y), maka 11/5/2020 6

Contoh 1. Misalkan w = x 2 y 3 dengan x = t 3 dan y = t 2, tentukan Jawab: = 2 x y 3 (3 t 2)+3 x 2 y 2(2 t) = 2 t 3 (t 2)3 (3 t 2)+3 (t 3)2 (t 2)2(2 t) = 2 t 3. t 6. 3 t 2+3 t 6. t 4. 2 t = 6 t 11+6 t 11 = 12 t 11 11/5/2020 7

Contoh 1. Misalkan z = 3 x 2 – y 2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, tentukan dan Jawab: = 6 x. 7 + (– 2 y) 5 s = 42 (2 s +7 t) – 50 s 2 t = 6 x. 2 + (– 2 y) 5 t = 12 (2 s +7 t) – 50 s t 2 11/5/2020 8

Latihan 1. Tentukan a. (dalam t) ; x = t cos t, y = t sin t ; pada t = /2 b. w = x 2 y – y 2 x ; x = cos t, y = sin t 2. Tentukan (dalam u dan v) z = cos (y/x) ; x = 3 u 2+2 v ; y = 4 u – 2 v 11/5/2020 9

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah 0 Definisi Misalkan (x 0, y 0) Df, maka 1 f(x 0, y 0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x 0, y 0) f(x, y), (x, y) Df 1 f(x 0, y 0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x 0, y 0) f(x, y), (x, y) Df 1 f(x 0, y 0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Syarat perlu untuk mencapai max & min adalah : fx = 0 , fx = 0 11/5/2020 10

Uji Nilai Ekstrim 0 Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: maka 1. f(x 0, y 0) nilai maksimum jika D>0 dan 2. f(x 0, y 0) nilai minimum jika D>0 dan 3. f(x 0, y 0) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan 11/5/2020 11

Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f(x, y) = x 2– 4 y 2 +2 xy + 28 Jawab fx(x, y) = 2 x + 2 y fxx(x, y) = 2 fy(x, y) = 8 y + 2 x fyy(x, y) = 8 fxy(x, y) = 2 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x, y) = 0 dan fy(x, y)=0, yaitu 2 x + 2 y = 0 2 x + 8 y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0) 11/5/2020 12

Contoh (lanjutan) Menentukan nilai ekstrim : Karena nilai Maka titik tersebut merupakan titik ekstrim minimum, dengan nilai : f(x, y) min = x 2– 4 y 2 +2 xy + 28 = 02– 4(0)2 +2(0)(0) + 28 = 28 11/5/2020 13

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x, y) = 48 - 4 x 2 – 4 xy - 2 y 2+ 16 x + 12 y b. f(x, y) = xy 2 – 6 x 2 – 3 y 2 11/5/2020 14

Turunan Fungsi Implisit Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi implisit dua variabel, dilambangkan dengan F(x, y, z). Untuk mencari turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit dapat menggunakan cara berikut : q Turunan parsial terhadap x, Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z , dengan menggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan 11/5/2020 15

Turunan Fungsi Implisit q Turunan parsial terhadap y, Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z , dengan menggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan 11/5/2020 16

Contoh 1. Tentukan dari xy + xz + yz = 5 Jawab: Ø xy + xz + yz = 5 11/5/2020 Ø xy + xz + yz = 5 17

Contoh 2. Jawab: Ø Turunkan pers. yang diberikan thd x, dengan meninjau u dan v sbg. Fungsi dari x dan y, maka: Ø Dengan mengeliminasi pers. (1) dan (2), maka diperoleh: 11/5/2020 18

Turunan Parsial dgn Menggunakan Jacobian Ø Jika F(u, v) dan G(u, v) terdiferensial, maka determinan Jacobian dari F dan G terhadap u dan v adalah determinan funfsional yang didefinisikan oleh : Ø Demikian juga dengan determinan orde 3 : 11/5/2020 19

Turunan Parsial dgn Menggunakan Jacobian Ø Jacobian seringkali terbukti sangan berguna di dalam menentukan turunan fungsi implisit. Ø Misal diberikan persamaan – persamaan sebagai berikut : F(x, y, u, v) = 0 G(x, y, u, v) = 0 Ø Dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x dan y, maka: 11/5/2020 20