Tema 4 Sistemi di V A Gaussiane Vettore

Tema 4: Sistemi di V. A. Gaussiane Vettore Gaussiano: N v. a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N Vettore valori medi [ statistica di ordine 1 ] Matrice di covarianza [ statistica di ordine 2 ]

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità: Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v. a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni Xk è una v. a. Gaussiana

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano 4: • Se {Xi; i=1, 2, … , N} sono v. a. Gaussiane indipendenti: • Se {Xi; i=1, 2, 3, 4} sono v. a. Gaussiane con valori medi nulli:

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 5: se N v. a. congiuntamente Gaussiane sono a due incorrelate, esse sono anche indipendenti • Se sono anche identicamente distribuite: dove I è la matrice identità, e ,

Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v. a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v. a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati

Sistema di 2 v. a. congiuntamente Gaussiane Densità di Probabilità (ddp) di due v. a. congiuntamente Gaussiane: y x

Influenza di valori medi e varianze Curve di livello: y y x x

Influenza del coefficiente di correlazione y y x x

Esempio di file. m: ddpgausscorr. m % Calcolo analitico della ddp congiunta di coppia di v. a. cong. Gaussiane function ddp=ddpgausscorr(vx, vy, ex, ey, sx, sy, rho, graf) % IN: % % % OUT: % vettori dei valori di cui calcolare la ddp, vx, vy; media della prima e seconda v. a. Gaussiana, ex, ey; dev. standard della prima e seconda v. a. Gaussiana, sx, sy; coefficiente di correlazione, rho; flag grafico 3 D/curve di livello (0, 1), graf matrice di valori della ddp congiunta; uscita su video della ddp congiunta x=repmat(vx, size(vy, 2), 1); y=repmat(vy, size(vx, 2), 1); y=y'; % prepara una matrice di valori di x per y costanti % prepara una matrice di valori di y per x costanti fattnorm=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1 -rho^2)); fattesp=1/(2*(1 -rho^2)); formaquadr=(x-ex). ^2/sx^2 -2*rho*(x-ex). *(y-ey)/(sx*sy)+(y-ey). ^2/sy^2; ddp=fattnorm*exp(-fattesp*formaquadr); % valuta la ddp if graf == 0 mesh(x, y, ddp) else contour(x, y, ddp) hold on plot([min(vx) max(vx)], [0 0], 'g--') hold on plot([0 0], [min(vy) max(vy)], 'g--') end % grafico 3 D % curve di livello

ddp marginali e condizionate y y x y

ddp marginali e condizionate y y y retta di regressione x y

Esempio di file. m: ddpcondgauss. m % Calcolo analitico della ddp condizionata Y|X per coppia di v. a. X, Y cong. Gaussiane function ddpc=ddpcondgauss(x, vy, ex, ey, sx, sy, rho) % IN: % % valore della v. a. X a cui condizionare la v. a. Y, x; vettore dei valori di Y di cui calcolare la d. d. p. cond. , vy; media della prima e seconda v. a. Gaussiana, ex, ey; dev. standard della prima e seconda v. a. Gaussiana, sx, sy; coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettore di valori della ddp cond. ; % uscita su video della ddp cond. etaycond=ey+rho*sy/sx*(x-ex); sigmaycond=sy*sqrt(1 -rho^2); % calcola media e dev. standard cond. ddpc=normpdf(vy, etaycond, sigmaycond); % calcola ddp cond. plot(vy, ddpc) hold on plot(0, 0, 'go') hold on plot(etaycond, 0, 'r*') % valor medio cond.

Generazione di V. A. cong. Gaussiane correlate ? desiderati Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superiore oppure Decomposizione spettrale

Generazione di V. A. cong. Gaussiane correlate Vettore Gaussiano 2 -D: N=2 Metodo per N=2: M coppie di campioni di v. a. X ed Y cong. Gaussiane:

Calcolo di “scatterplot” e coeff. di correlazione - Generare M realizzazioni del vettore 2 -D Z=[X Y], X ed Y v. a. cong. Gaussiane -Visualizzare lo “scatterplot” (diagramma di dispersione, rappresentazione cartesiana delle coppie di campioni) [istruzioni utili: load, plot, axis] - Calcolare le medie, le varianze ed il coefficiente di correlazione [istruzioni utili: mean, std] - Confrontare lo scatterplot con la ddp analitica determinata dai parametri calcolati elaborando N coppie di campioni [Sugg. : Sugg utilizzare il programma ddpgausscorr. m]. m

Esempio di risultati scatterplot Valori dei parametri della ddp: media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione r = -0. 5 y load coppie. mat plot(x, y, '. ') axis([-8 12 -4 12]) hold on plot([-8 12], [0 0], 'g--') plot([0 0], [-4 12], 'g--') x

Esempio di risultati e file. m: calcrho. m % Misura empirica del coefficiente di correlazione function rho = calcrho(x, y) % IN: vettori di realizzazioni della coppia di v. a. (x, y) % OUT: coefficiente di correlazione rho etax=mean(x); etay=mean(y); sigx=std(x, 1); sigy=std(y, 1); % calcola le medie e deviazioni standard rho=mean((x-etax). *(y-etay))/(sigx*sigy); % calcola la covarianza % normalizzata Valori effettivi: » mean(x) » mean(y) » std(x)^2 » std(y)^2 1. 9904 3. 9958 9. 1204 4. 0664 » calcrho(x, y) -0. 5192 media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione r = -0. 5

Esempio di risultati hold on ddpgausscorr([-8: . 1: 12], [-4: . 1: 12], mean(x), mean(y), std(x), std(y), calcrho(x, y), 1); Scatterplot + Curve di livello y x

Esempio di risultati ddpgausscorr([-8: . 1: 12], [-4: . 1: 12], 2, 4, 3, 2, -0. 5, 1); hold on ddpgausscorr([-8: . 1: 12], [-4: . 1: 12], mean(x), mean(y), std(x), std(y), calcrho(x, y), 1); Confronto tra ddp effettiva e la ddp analitica con i parametri misurati dati y x

Esempio di file. m: gengausscorr 1. m % Generazione coppie di v. a. cong. Gaussiane correlate % metodo della decomposizione di Cholesky function [x, y] = gengausscorr 1(n, etax, etay, sig 2 x, sig 2 y, rho) % IN: % % % numero di realizzazioni, n; media della prima e seconda v. a. Gaussiana, etax, etay; varianza della prima e seconda v. a. Gaussiana, sig 2 x, sig 2 y; coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v. a. Gaussiana, x, y; R=[sig 2 x sqrt(sig 2 x*sig 2 y)*rho; sqrt(sig 2 x*sig 2 y)*rho sig 2 y]; % matrice di covarianza Ch=chol(R); A=Ch. '; % determina la trasform. lineare 2 x 2 tramite decomposizione di Cholesky; w=randn(2, n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v. a. Gaussiana standard indip. % organizzate in una matrice 2 xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2 x 2 % applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1, : )+etax; % impone le medie y=c(2, : )+etay;

Esempio di file. m: gengausscorr 2. m % Generazione coppie di v. a. cong. Gaussiane correlate % metodo della decomposizione agli autovalori function [x, y] = gengausscorr 2(n, etax, etay, sig 2 x, sig 2 y, rho) % IN: % % % numero di realizzazioni, n; media della prima e seconda v. a. Gaussiana, etax, etay; varianza della prima e seconda v. a. Gaussiana, sig 2 x, sig 2 y; coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v. a. Gaussiana, x, y; R=[sig 2 x sqrt(sig 2 x*sig 2 y)*rho; sqrt(sig 2 x*sig 2 y)*rho sig 2 y]; % matrice di covarianza [V, L]=eig(R); % determina le matrici degli autovettori e degli autovalori; A=V*L. ^(1/2); % calcola la trasformazione lineare 2 x 2 w=randn(2, n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v. a. Gaussiana standard indip. % organizzate in una matrice 2 xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2 x 2 % applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1, : )+etax; % impone le medie y=c(2, : )+etay;