retim Teknolojileri ve Materyal Tasarm SAYMA VE OLASILIK

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı SAYMA VE OLASILIK SEBAHATTİN ÇİFCİ sebo_0666 s@gmail. com VELI TECIRLI ceza_veli_1@hotmail. com matematikdünyasi 06 1

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KAZANIMLAR: Ø Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. Ø n çeşit nesne ile oluşturulabilecek r li dizilişlerin (permütasyonların) kaç farklı şekilde yapılabileceğini hesaplar. Ø Sınırlı sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) açıklayarak problemler çözer. Ø n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar. 2 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı Ø Binom açılımını yapar. Ø Pascal üçgenini açıklar. Ø Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkansız olay, ayrık olay ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. Ø Olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapar. 3 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı SAYMANIN TEMEL KURALI 4 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı 1. TOPLAMA YOLU ILE SAYMA: Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulmaya, toplama kuralı denir. SONUÇ: Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m+n yolla yapılabilir. ÖRNEK 1 5 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 12 kız ve 14 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta bir öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir? 20 konuya git matematikdünyası 06 26 25 17 çözüme git 6

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 Ayşe gittiği markette 5 farklı gofret, 10 farklı çikolata ve 7 farklı şekerden herhangi birini kaç farklı şekilde alabilir? 23 konuya git matematikdünyası 06 20 22 21 çözüme git 8

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı 2. ÇARPMA YOLUYLA SAYMA • Ayrık iki kümenin elemanlarıyla oluşturulacak kümenin eleman sayısını çarpma işlemi yaparak bulmaya, çarpma kuralı denir. SONUÇ: İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m. n yolla yapılabilir. ÖRNEK 1 10 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 6 pantolon ve 4 ayakkabısı olan bir kişi 1 pantalon ve 1 ayakkabıyı kaç farklı şekilde giyebilir? 24 konuya git 20 23 21 çözüme git 11 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 Bir futbol takımını 5 çeşit forması , 3 çeşit çorabı, 4çeşit şortu var öyleyse bu futbol takımı bir maça çıkarken kaç farklı giyim tercihi yapabilir? 55 konuya git 50 45 60 çözüme git 13 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı B. FAKTÖRİYEL • 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! İle gösterilir. 0! = 1 1! = 1 2! = 2. 1= 2 3! = 3. 2. 1= 6 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 …. • NOT: n! = n. (n-1)! n! = n. (n-1). (n-2)! … ÖRNEK 1 15 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 7. 5! + 8. 5! işleminin sonucu kaçtır? 5. 15! konuya git matematikdünyası 06 15. 5! 20! 25! çözüme git 16

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 3!+4!+5!+…. +36! sayısının 10’a bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 0 konuya git matematikdünyası 06 1 2 3 çözüme git 18

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı PERMÜTASYON • ÖRNEK 1 20 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 A={a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında a veya b bulunur ? 50 konuya git 55 54 53 çözüme git 21 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 A={0, 1, 2, 5, 7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı üç basamaklı, 500 den büyük kaç sayı yazılır ? 24 konuya git 20 25 17 çözüme git 23 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı 1. DAİRESEL PERMÜTASYON • n tane farklı elemanın dairesel sıralamasına, n elemanın dairesel (dönel) sıralaması denir. • Elemanlardan bir tanesi sabit tutularak n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı (n-1)! İle bulunur. ÖRNEK 1 25 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 6 kişi belli iki kişi birbirinin tam karşısında olacak şekilde yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde dizilebilirler? 20 konuya git 23 25 24 çözüme git 26 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 8 kişi belli üç kişi yanyana olmak üzere yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler? 4!. 5! konuya git 5!. 2! 5!. 3! 9! çözüme git 28 matematikdünyası 06

Bir yuvarlak masa etrafında toplanmış olan 3 kız 3 erkek kaç farklı şekilde masa etrafına oturabilir?

ÇÖZÜM 3 (n-1)!=5!=5. 4. 3. 2. 1!=120 farklı şekilde oturabilirler.

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı 2. TEKRARLI PERMÜTASYON n tane eleman içerisinden, n₁ tanesi benzer, n₂ tanesi benzer, … , nᵣ tanesi benzer olmak üzere, toplam n₁+n₂+…+nᵣ = n tane elemanın farklı sıralanışlarını sayısı n!/(n₁!. n₂!…nᵣ!) dir. ÖRNEK 1 32 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 111220 sayısındaki rakamlar yer değiştirilerek yazılan altı basamaklı doğal sayıların kaç tanesi çifttir? 20 konuya git 26 25 17 çözüme git 33 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 KARAKAR kelimesindeki harfler yer değiştirerek kaç farklı 5 harfli kelime yazılır? 130 konuya git 120 125 117 çözüme git 35 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KOMBİNASYON • ÖRNEK 1 37 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KURAL • 38 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 4 erkek ve 5 kız arasından en az biri kız olmak şartıyla 3 kişilik bir grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir. ? 90 konuya git 70 60 80 çözüme git 39 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 • 12 öğrenci arasından 4'erli üç grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir. ? 34630 konuya git 34640 34650 34660 çözüme git 41 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı PASCAL ÜÇGENİ • ÖRNEK 1 43 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 • 7 konuya git 6 8 5 çözüme git 44 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 • konuya git çözüme git 46 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı BİNOM AÇILIMI • ÖRNEK 1 48 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KURAL • 49 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 • (x+y)n açılımında baştan 3. terimin katsayısı 36 ise n nedir? 6 konuya git 7 8 9 çözüme git 50 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 (x+2)5. (x-y)8 ifadesinin açılımındaki terimler A. xn. ym olacak şekilde düzelendiğinde kaç terim oluşur? 50 konuya git 52 54 56 çözüme git 52 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı OLASILIK 54 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı OLASILIK TERİMLERİ Ø 1. DENEY: Her seferinde farklı sonuçlar elde edilebilen aşamalara deney denir. Ø 2. ÇIKTI(SONUÇ): Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır. Ø 3. ÖRNEK UZAY: Bir deneyin mümkün olan tüm çıktılarının kümesine denir. Genellikle E ile gösterilir. Ø 4. OLAY: Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir. Ø 5. İMKANSIZ OLAY: E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir. Ø 6. KESİN OLAY: E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir. Ø 7. AYRIK OLAY: A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun. An. B=Ø olaylarına ayrık olaylar denir. ÖRNEK 1 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2 55

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 5 matematik öğretmeni, 4 fizik öğretmeni olmak üzere 9 öğretmen arasından 4 kişi seçilecektir. 2 matematik öğretmeni, 2 fizik öğretmeni seçilmesi olayı kaç elemanlıdır ? 55 konuya git matematikdünyası 06 60 65 70 çözüme git 56

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 40 kişilik bir öğrenci grubunda basket oynayanların sayısı 21, Tenis oynayanların sayısı da 12 dir. 8 kişi her ikisini de oynadığına göre, bu gruptan rastgele seçilen birinin basketbol veya tenis oynama olasılığı kaçtır ? konuya git matematikdünyası 06 çözüme git 58

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun. P : K → [0, 1] şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. 60 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖZELLİKLERİ • 1. Her AϵK için, 0≤P(A)≤ 1 dir. • 2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı P(E)=1 dir. • 3. İmkansız olayların meydana delme olasılığı P(Ø)=0 dır. • 4. AϵK, BϵK ve An. B =Ø ise, P(Au. B)=P(A)+P(B) dir. • 5. ACB ise P(A)≤P(B) dir. • 6. P(A’) = 1 - P(A) • 7. P(Au. B) = P(A) + P(B) – P(An. B) 61 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY • E = {a 1, a 2, …, an} bir sonlu örnek uzay olsun. P(a 1) = P(a 2) = …. = P(an) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. E, eş olumlu örnek uzayı ve AϵE ise A olayının olasılığı; • P(A) = s(A)/s(E) = İstenen sonuçların sayısı / Olabilecek tüm sonuçların sayısı ÖRNEK 1 matematikdünyası 06 62

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? konuya git matematikdünyası 06 çözüme git 63

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR • A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir. • KURAL: A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla P(A)≠ 0 ve P(B)≠ 0 ise, A’nın ve B’nin gerçekleşme olasılığı P(An. B) = P(A). P(B) dir. ÖRNEK 1 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2 ÖRNEK 3 65

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 • Bir zar atıldığında, üste gelen yüzünün tek sayı olma olasılığı nedir? 0 konuya git 1 çözüme git 66 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 Bir zar atılıyor. Zarın asal sayı geldiği bilindiğine göre, tek sayı olma olasılığı kaçtır? konuya git çözüme git 68 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 3 Yusuf ve Sinan’nın sınavı kazanma olasılıkları sırasıyla 1/4 ve 1/5 tür. Aynı sınavı sadece birinin kazanma olasılığı kaçtır? konuya git çözüme git 70 matematikdünyası 06

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KOŞULLU OLASILIK A ile B, E örnek uzayının iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A’nın B koşullu olasılığı denir ve P(A/B) şeklinde gösterilir. P(A/B) = P(An. B)/P(B) = s(An. B)/s(B) ÖRNEK 1 72 matematikdünyası 06 ÖRNEK 2

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 1 • Bir vazoda 8 tane kırmızı, x tane beyaz karanfil vardır. Bu vazodan seçilen bir karanfilin beyaz olma olasılığı 3/5 olduğuna göre, x kaçtır ? 9 konuya git matematikdünyası 06 10 11 12 çözüme git 73

Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı ÖRNEK 2 5 matematik öğretmeni, 4 fizik öğretmeni olmak üzere 9 öğretmen arasından 4 kişi seçilecektir. 2 matematik öğretmeni, 2 fizik öğretmeni seçilmesi olayı kaç elemanlıdır ? 50 konuya git 60 70 80 çözüme git 75 matematikdünyası 06

STANDART NORMAL DAĞILIM EĞRISI

HAZIRLAYANLAR: SEBAHATTIN ÇIFCI sebo_0666 s@gmail. com VELI TECIRLI ceza_veli_1@hotmail. com