OLASILIK Uygulamada karlan olaylarn birou kesin olmayan dier

OLASILIK Uygulamada karşılan olayların birçoğu kesin olmayan diğer bir ifadeyle belirsizlik içeren bir yapıya sahiptir. Olasılık kavramı kesin olmayan olaylarla ilgilidir ve belirsizlik altında karar verme (Risk analizi) çalışmalarında önemli bir yer tutmaktadır. Günümüzde, istatistik biliminin yanı sıra sağlık, sosyal ve fen bilimlerinin birçok alanında geliştirilen sayısal verilerin analizleri ve çıkarımsal analizlerde olasılık kavramları temel rol oynamaktadır.

TEMEL KAVRAMLAR Deney: Belirli koşullar altında tekrarlanabilen işlemlerdir. Zar ya da madeni para atışı yapmak, renkli bilyelerin olduğu bir torbadan bilye çekmek birer deneydir. Örnek Uzay: Bir deneyin mümkün tüm sonuçlarının oluşturduğu kümeye örnek uzayı denir. Örnek Uzayı “S” ile gösterilir. Bir tavla zarının bir kez atıldığı bir deneyde örnek uzayı S={1, 2, 3, 4, 5, 6} iken iki madeni paranın aynı anda atıldığı deneyde örnek uzayı S={TT, TY, YT, YY} şeklinde olacaktır. Örnek uzayı, eğer örnek uzayını oluşturan öğeler sonlu sayıda ise “sonlu örnek uzay”, öğeler sınırsız (sonsuz) sayıda ise “sonsuz örnek uzay” adını alır.

Olay: Örnek uzayının her alt kümesi bir olay olarak tanımlanabilir. Örneğin, Tavla zarının bir kez atılması deneyinde A olayı görünen yüzün tek sayı olması şeklinde tanımlanabilir. Bu durumda A kümesi A={1, 3, 5} şeklinde olacaktır. Ayrık (Bağdaşmaz) Olaylar: Aynı anda oluşmayan A ve B gibi iki olaya ayrık olaylar denir. Kümelerle ifade edildiğinde şayet A∩B=Ø ise A ve B ayrık olaylardır. Bir tavla zarının bir kez atılması deneyinde A olayı zarın tek sayı B olayı zarın çift sayı gelmesi şeklinde tanımlanırsa A ve B ayrık iki olay olur. Çünkü bir zarın aynı anda hem tek sayı hem de çift sayı gelmesi mümkün değildir. Böylece A ve B olayı aynı anda oluşmaz.

SAYMA KURALLARI

OLASILIK KAVRAMI

OLASILIK KAVRAMI A Takımının Frekans Galibiyeti 15 Mağlubiyeti 2 Beraberlik 3

OLASILIK KAVRAMI

KOŞULLU OLASILIK B olayı S örnek uzayına ait bir olay olsun (BСS). B olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir A olayının gerçekleşmesi A/B sembolü ile gösterilir ve B koşulu altında A olayı diye okunur. Soru: Bir çift dengeli zarın atıldığını varsayalım. Zar yüzleri toplamı 6 ise zarlardan bir tanesinin 2 olma olasılığını hesaplayınız.

Soru: Bir mahalledeki ailelerin %40’ının otomobili, %25’inin evi ve %15’inin de hem otomobili hem de evi vardır. Bu mahalleden rassal olarak seçilen bir ailenin a. Otomobili varsa evinin de olması b. Evi varsa otomobilinin de olması c. Evi yoksa otomobilinin de olmaması, olasılıklarını hesaplayınız

Soru: A ve B bölgelerinde petrol aranmaktadır. Belli bir kalitede petrol bulunma olasılığı A bölgesi için 0. 30, B bölgesi için 0. 40’dır. A bölgesinde aranan kalitede petrol bulunursa aynı kalitede petrolün B bölgesinde bulunma olasılığı 0. 70’dir. B bölgesinde petrol bulunursa aynı kalitede petrolün A bölgesinde bulunma olasılığı ne olur?

OLASILIKTA ÇARPIM KURALI Birlikte olasılık (Ortak olasılık)= Marjinal olasılık × Koşullu olasılık Bu eşitlik olasılıkta çarpım kuralı olarak bilinmektedir.

Soru : 5 kırmızı 3 mavi bilye bulunan bir torbadan rassal olarak arda (yerine koymaksızın) 3 bilye seçiliyor ve aşağıdaki olaylar tanımlanıyor. A: Seçilen bilyelerin hepsi mavi B: Seçilen bilyelerin ikisi mavi diğeri kırmızı C: Üçünün de aynı renkte olması Tanımlanan olayların olasılıklarını hesaplayınız.

PARTİSYON KAVRAMI

BAYES TEOREMİ Soru: Bir fabrikada üretilen malların %50’si A makinesinde, %30’u B makinesinde ve geriye kalanı C makinesinde üretilmektedir. A makinesindeki üretimin %3’ü, B makinesindeki üretimin %4’ü ve C makinesindeki üretimin %5’i kusurludur. Bu fabrikadan seçilen bir malın kusurlu olduğu bilindiğine göre bunun A makinesinde üretilmiş olma olasılığını hesaplayınız.

Soru: Yedek parça satımı yapan bir firma A yedek parçasının %40’ını X firmasından alırken %60’ını Y firmasından almaktadır. X firması yedek parçalarının %5’i kusurlu iken bu oran Y firması yedek parçaları için %3’dür. A yedek parçasını satın alan bir kişi için aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız a) Alınan yedek parçanın kusurlu olması olasılığı nedir? b) A yedek parçasını satın alan kişi firmaya telefon ederek yedek parçanın kusurlu olduğunu söylemiştir. Bu yedek parçanın X firmasından alınmış olması olasılığı nedir?

Soru: Ayşe’nin matematik dersinden başarılı olma olasılığı 0. 80’dir. Arkadaşı Beyhan ise Ayşe’nin sınav sonuçları hakkında tahminlerde bulunmaktadır. Ancak, Ayşe başarılı iken, Beyhan’ın doğru tahminde bulunma olasılığı 0. 70, başarısız iken doğru tahminde bulunma olasılığı 0. 90’dır. Buna göre yarınki sınav için Beyhan Ayşe’nin başarısız olacağını söylediğine göre, Ayşe’nin başarılı olma olasılığı nedir?

Bağımsızlık A ve B aynı örnek uzayına ait iki olay olmak üzere şayet A olayının gerçeklemesi B’yi etkilemiyor ve aynı şekilde B olayının gerçeklemesi de A’yı etkilemiyor ise A ve B bağımsız iki olaydır denir. Bu tanım gereği

O halde bağımsızlık Koşulu: Soru: Ali ve Veli aynı hedef tahtasına ateş ediyorlar. Hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 1/4 ve 2/5 dir. a) Her ikisinin de hedefi vurma olasılığı nedir? b) Hedefin vurulma olasılığı nedir?

Soru: Matematik, İstatistik ve Ekonometri derslerinden sınava giren bir öğrenci bunlardan birinde başarılı olursa mezun olacaktır. Her dersten başarılı olma olayları birbirinden bağımsızdır. Bu öğrencinin her ders için başarılı olma olasılığı 1/3 ise mezun olma olasılığı nedir?