BLG YNETM VE MATEMATK 1 OLASILIK OLASILIK VE
BİLGİ YÖNETİMİ VE MATEMATİK 1 OLASILIK, OLASILIK VE ÖRNEKLEM DAĞILIMLARI
DERS İÇERİĞİ Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı Örneklem uzayı Faktöriyel, Permütasyon, Kombinasyon Koşullu olasılık Raslantı değişkeni Bir değişkenin dağılımı Olasılık dağılımları • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım • Örneklem dağılımları • • 2 • Ki-kare dağılımı • t dağılımı • F dağılımı
OLASILIK KAVRAMI Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95 3 • Ortaya çıkışı • 1654 • Kumarbaz, Fransız Mere Şövalyesi Antonie Combauld • Şans oyunlarındaki gerçek olasılığı öğrenme isteği • Bu amaçla Pascal ve Fermat iletişim • 1713 – Bernoulli’nin olasılık kuramı ile ilgilenmeye başlaması
OLASILIK • Raslantı ve kesin olmayan olaylar • Rasgele deney: Çeşitli sonuçlar verebilen bir deneyin herhangi bir tekrarında hangi sonucun elde edileceği tamamen şansa bağlı ise Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95 4 • Olasılık böyle durumlarda ortaya çıkan belirsizliği sayısal olarak ifade etmek için geliştirilmiş bir düşünce aracı
ÖRNEKLEM UZAYI • S • Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan küme • Bir zar atma denemesinde örneklem uzayı • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • Bir paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı • S={Yazı, Tura} • Üç paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96 5 • S={YYY, TYT, YTT, TTY, YYT, YTY, TYY, TTT}
ÖRNEKLEM UZAYI • Bir zar atma denemesinde, • Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları birbirine eşit • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • 1/6 • İçinde 7 beyaz, 6 kırmızı, 8 yeşil top bulunan bir torbadan, bir top çekildiği zaman , Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96 6 • S={Beyaz, Kırmızı, Yeşil} • Örneklem uzayının noktalarının olasılığı birbirinden farklı • Beyaz top gelme olasılığı 7/21, kırmızı top gelme olasılığı 6/21, yeşil top gelme olasılığı 8/21
SORULAR 7 a. İki zarın birlikte atılması durumunda örneklem uzayı nedir? Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir? b. Bir paranın iki defa atılması deneyi için örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir?
ÖRNEKLEM UZAYI • Olay: Örneklem uzayındaki noktaların bir alt kümesi • Rasgele olay: Gerçekleşmesi raslantıya bağlı olaylar • Bir zarın atılmasında, A çift sayı gelme olayı ise, • A={Çift sayı}={2, 4, 6} • İki para atma denemesinde, • S={YY, YT, TY, TT} • B, en az bir yazı gelmesi olayı ise, Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96 8 • B={En az bir yazı}={YY, YT, TY}
N FAKTÖRİYEL n! 1’den n’ye kadar olan pozitif tamsayıların çarpımı n!=1. 2. …. n=n(n-1)(n-2) … 2. 1 0!=1 1!=1 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98 9 • • •
PERMÜTASYON Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98 10
KOMBİNASYON • Birleşim • n farklı nesneden düzenleme sırasına bakılmadan r tanesinin seçimi C = n! / r!(n-r)! • n r • 3 kitap arasından 2’sinin seçilmesi durumunda • 3!/2!(3 -2)!=3 • Kombinasyonlar • AB, AC, BC • Permütasyonlar Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 99 11 • AB, BA – AC, CA – BC, CB
OLASILIK Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 100 12
OLASILIK Çocuk sayısı Sıklık 0 40 1 80 2 40 3 20 4 20 Toplam 200 • P(4)=20/200=1/10 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 101 -102 13 • 200 ailenin çocuk sayısına göre dağılımları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin 4 çocuklu olma olasılığı nedir?
KOŞULLU OLASILIK Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104 14
KOŞULLU OLASILIK • 80 ailenin ekonomik durumu ve istedikleri çocuk sayıları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin zengin A olduğu bilindiğine göre, istediği ideal çocuk sayısının 1 olması olasılığı nedir? B Ekonomik durum İstenen çocuk sayısı 1 2 3 4 Toplam Fakir 4 7 8 5 24 Orta 2 7 10 15 34 Zengin 12 5 3 2 22 Toplam 18 19 21 22 80 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104 -105 15 • P(B/A) = (12/80) / (22/80) = 12/22
RASLANTI DEĞİŞKENİ • Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinmeyen bir değişken • Bir olasılık uzayında her basit rasgele olaya sayısal değer atayan bir fonksiyon Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105 16 • Bir kavşağa bir dakikada gelen araba sayısı, bir yıldaki yağışlı günlerin sayısı, bir noktadaki rüzgar hızı, bir akarsudaki akımın debisi, belli bir bileşiğin alkol yüzdesi, belli sayıdaki ailede kız çocuk sayısı, tüberkülozlu hastaların akciğerlerindeki leke sayısı, bir zar atma denemesinde çift sayıların gelmesi
RASLANTI DEĞİŞKENİ • İki parayı atma denemesinde X raslantı değişkeni tura sayısını göstersin • S = {YY, YT, TY, TT} • X = {0, 1, 2} • Kesikli raslantı değişkeni: X raslantı değişkeninin olası değerleri sayısı sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise • Kız çocuk sayısı, tura sayısı • Sürekli raslantı değişkeni: X raslantı değişkeninin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi ise Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105 -107 17 • Zaman, ağırlık, yükseklik
SORULAR 18 Bir önceki slayttaki bilgileri dikkate alarak, a. İki tura gelmesi olasılığı nedir? b. Bir tura gelmesi olasılığı nedir? c. Hiç tura gelmemesi olasılığı nedir? d. En az bir tura gelmesi olasılığı nedir?
OLASILIK DAĞILIMLARI • Bir torbada bulunan eşit sayıdaki yeşil ve beyaz toplardan rasgele 3 top seçilsin • S = {YYY, YYB, YBY, YBB, BYY, BYB, BBY, BBB} • İlgilen sonuç yeşil top sayısı olduğunda X raslantı değişkeni, Son sütundaki olasılıkların oluşturduğu Yeşil top sayısı dağılım «Olasılık Dağılımı» Örneklem uzayındaki nokta sayısı Olasılık 0 1 1/8 1 3 3/8 2 3 3/8 3 1 1/8 Toplam 8 1. 00 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108 -109 19 • X = {0, 1, 2, 3}
OLASILIK DAĞILIMLARI • Kesikli raslantı değişkeni • Olasılık fonksiyonu • Sürekli raslantı değişkeni Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108 -109 20 • Olasılık yoğunluk fonksiyonu
OLASILIK DAĞILIMLARI 21 • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım
BİNOM DAĞILIMI • Kesikli raslantı değişkenlerinin oluşturdukları bir dağılım • İki olası sonuç ile ilgilenir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108 -109 22 • Erkek-kız, yazı-tura, başarılı-başarısız, sağlambozuk, ölü-canlı, olumlu-olumsuz
BİNOM DAĞILIMI Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111 23
BİNOM DAĞILIMI Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111 24
POİSSON DAĞILIMI Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 116 25
POİSSON DAĞILIMI Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 117 26
NORMAL DAĞILIM • Hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılım • 18. yy’da ölçüm hatalarının dağılımı olarak ortaya çıkmış • İlk olarak 1733 yılında De. Moivre tarafından matematiksel olarak tanımlanmış • 1775, Laplace - bu dağılım üzerine çalışmalar • 1809, Gauss – Normal dağılım ile ilgili ilk basılı eser Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123 27 • Gauss Dağılımı
NORMAL DAĞILIM • İstatistikte önemli bir yerinin olmasının nedeni • Yapılan birçok gözlem sonucunun çan biçiminde bir dağılım vermesi • Çoğu dağılımın denek sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşması • Sürekli raslantı değişkeni ---olasılık yoğunluk fonksiyonu • İki parametresi Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123 -124 28 • Kitle ortalaması �� • Kitle varyansı �� ² - ortalama etrafındaki yayılmayı gösterir
29 NORMAL DAĞILIM
NORMAL DAĞILIM • Ortalamaya göre simetrik • Bir değişken normal dağılıma sahip ise, Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 124 -125; Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250 30 • Aritmetik ortalama = tepe değeri = ortanca
31 NORMAL DAĞILIM
32 NORMAL DAĞILIM
33 NORMAL DAĞILIM
34 NORMAL DAĞILIM
35 NORMAL DAĞILIM
36 NORMAL DAĞILIM
NORMAL DAĞILIM • Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %68, 26 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 2 standart sapma eklenip, 2 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %95, 44 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250 -252 37 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 3 standart sapma eklenip, 3 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %99, 74
SORU Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 251 38 Hastaların iyileşme süresi ortalama 20 gün ve varyansı 25 gün olan bir normal dağılım ise, iyileşme oranı 15 ile 25 gün arasında olan hastaların oranı nedir?
NORMAL DAĞILIM Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 253 39 • Normal dağılım eğrisinin şekli ortalama ve varyans parametreleri tarafından belirlenmekte
NORMAL DAĞILIM 40 • Ortalamalar aynı, varyanslar farklı ise
41 NORMAL DAĞILIM
NORMAL DAĞILIM 42 • Ortalamalar farklı, varyanslar aynı ise
STANDART NORMAL DAĞILIM 43 • Ortalaması 1, varyansı 0 olan standart normal dağılım
ÖRNEKLEM DAĞILIMLARI • Örneklem üzerinde çalışılıyorsa • İstatistik • Farklı örneklemlerden hesaplanabilecek istatistik değerlerinin dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 157 44 • Örneklem dağılımı: Aynı kitleden alınmış aynı büyüklükteki örneklemlerden bulunan değerlerin/istatistiklerin olasılık dağılımı
Z DAĞILIMI Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262 45 • Standart normal dağılıma sahip değişkenlerde alan hesabı için kullanılmakta • Normal dağılıma sahip değişkenler aşağıdaki gibi standart normal dağılıma sahip değişkenlere dönüştürülerek kullanılır • (X-Ortalama) / Standart sapma
Z DAĞILIMI 20 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262 -263 22 46 • İlaçla tedavi edilen hastaların iyileşme süresine göre dağılım ortalaması 20 gün, varyansı 25 gün olan bir normal dağılımdır. 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı nedir?
Z DAĞILIMI P(x<22) = P(Z<0, 40) = ? Z tablosundan Z<0, 40 değerinin bulunması gerek Z tablosu - P(x<22) = P(Z<0, 40) =0, 6554 = %66 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı %66 0 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262 0, 4 47 Standart normal dağılıma dönüştürme (22 -20) / 5 = 0, 40
48
SORULAR Aynı soru için aşağıdaki olasılıkları bulunuz. 49 a. 28 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? b. 18 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? c. 15 günden daha az sürede iyileşme olasılığı? d. 21 gün ile 26 gün arasında iyileşme olasılığı? e. 14 gün ile 23 gün arasında iyileşme olasılığı?
Kİ-KARE DAĞILIMI • 1889, Karl Pearson • Ki-kare tablosu Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 158 50 • Ortalaması 0, varyansı 1 olan normal dağılıma sahip raslantı değişkenlerinin toplamı ile elde edilir
Kİ-KARE DAĞILIMI 51 • 1889, Karl Pearson • Ki-kare tablosu
T DAĞILIMI • İstatistik değerlendirmelerde kullanılan önemli dağılımlardan • 1908, W. S. Gosset • 1926, R. A. Fisher Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 162 52 • Ortalamaya göre simetrik bir dağılım, normal dağılımdan daha basık, standart normal dağılıma benzer
53
F DAĞILIMI • Aynı kitleden ya da aynı varyanslı iki kitleden rasgele seçilmiş iki örneklemin varyanslarının eşit olmaları beklenir • Her zaman gerçekleşmez • İki örneklemin varyansları açısından aynı kitleye ait olup olmadıklarının kontrolü için kullanılan istatistik Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 165 54 • Ki-kare dağılımının görünümüne benzer
55
- Slides: 55