Regimi di moto esperienza di Reynolds Lesperienza di

Regimi di moto esperienza di Reynolds L’esperienza di Reynolds mise in evidenza l’esistenza di due regimi di moto: laminare e turbolento Il passaggio da laminare a turbolento dipendeva da diversi parametri: viscosità, velocità, diametro del tubo … 1

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Si tratta di un approccio diverso alla soluzione dei problemi di moto - Si identificano quelle che sono le grandezze che regolano il problema/fenomeno che vogliamo definire - Si definiscono dei numeri adimensionali costituiti da tali grandezze - Si trovano relazioni tra parametri incogniti con i gruppi adimensionali definiti 2

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Analisi dimensionale delle equazioni di bilancio di massa e qdm Si identificano le grandezze caratteristiche del problema in oggetto: L 0 = dimensione caratteristica della geometria del problema (es. diametro tubo, diametro sfera. . ) v 0 = velocità caratteristica ( es. v media) t 0 = tempo caratteristico (in assenza l 0/v 0) ……… 3

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Si definiscono quindi le grandezze adimensionali indicate con il simbolo * oppure Si possono definire anche gli operatori adimensionali 4

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Essendo quindi . . Si possono riscrivere le equazioni di bilancio in termini adimensionali 5

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali 6

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Definizione delle variabili adimensionali Sistema di eq. scritto in termini di variabili adimensionali e gruppi adimensionali Sistemi che hanno i medesimi valori dei gruppi adimensionali tra parentesi si dicono dinamicamente simili SCALE-UP SCALE-DOWN 7

Fenomeni di Trasporto – Adimensionalizzazione Significato fisico dei gruppi adimensionali Numero di Reynolds Numero di Froude 8

Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: teorema di Buckingham Il teorema di Buckingam definisce il n° di gruppi adimensionali necessari teorema di Buckingham n° parametri – n° dimensioni = n° gruppi adimensionali Procedimento 1 Individuazione dei parametri significativi 2 Individuazione mediante il teorema di Buckingham del numero di gruppi adimensionali necessario 3 Definizione dei gruppi adimensionali 9

Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto in tubi Individuazione dei parametri significativi 6 parametri significativi 3 dimensioni (L, t, M) v D m r L DP Teorema di Buckingam 6 - 3 = 3 numero gruppi adimensionali I gruppi adimensionali devono contenere tutti i parametri 10

Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto in tubi Sulla base del teorema di Buckingham si può dire che esiste un legame tra i 3 gruppi adimensionali del tipo: Poiché in caso di moto sviluppato e stazionario essendo 11

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Si definisce fattore d’attrito f tale che: Forza esercitata dal fluido a causa del suo movimento Fattore d’attrito Area caratteristica En. cinetica caratteristica Per il moto in condotti Avevamo trovato Quindi 12

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Il risultato È molto importante perché riduce la dipendenza di f da 4 variabili a una sola combinazione degli stessi, anche se non ci dice qual è la funzione f 13

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito La relazione viene espressa mediante • grafici (abaco di Moody) • equazioni 14

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Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito Le equazioni per dipendono da tipo di moto e intervallo di Re Per moto laminare Un parametro che non avevamo considerato!!!! Per moto turbolento Per tubi lisci Equazione di Blasius Per altre equazioni vedi dispensa “moto in tubi e turbolenza” 16

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito in tubi altre relazioni Eq. di Colebrook Re > 3000 Vale sia per tubi scabri che lisci Eq. di Churchill Re > 4000 17

Simulazione dei fenomeni di trasporto Diametro idraulico Per geometrie diverse dalla sezione circolare Valido soprattutto per moto turbolento circolare quadrato rettangolo triangolo equilatero 18

Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi sfera cilindro lastra piana 19

Simulazione dei fenomeni di trasporto Analisi dimensionale: moto intorno a oggetti sommersi - sfera elenco dei parametri significativi 5 - 3 = 2 gruppi adimensionali v D m r F Forza esercitata dal fluido Si utilizza 20

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito oggetti sommersi Forza esercitata dal a causa del suo movimento Fattore d’attrito Area caratteristica En. cinetica caratteristica Per il moto intorno a una sfera 21

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi - sfera La relazione viene espressa mediante • grafici • equazioni Se non si conosce Re il processo è per tentativi 22

Coefficiente d’attrito per sfere 23

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi – altre geometria cilindro infinito Coefficiente per unità di lunghezza 24

Simulazione dei fenomeni di trasporto Fattore d’attrito: oggetti sommersi – dischi = sfere 25

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -1 Bird Gradiente di pressione? In tubo liscio orizzontale Dietilanilina w= 1028 g/s D= 3 cm T=20 °C r=0. 935 g/cm 3 m=1. 95 cp Bisogna quindi calcolare il fattore d’attrito 26

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -1 Bird 1 Calcolo Re Siamo in moto turbolento Dall’abaco di Moody Equazione di Blasius Equazione di Churchill Re> 4000 27

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Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -1 Bird Noto f calcolo DP/L 29

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -1 Bird Nota che nelle dispense c’è la formula che da direttamente il gradiente di P 30

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -2 Bird Portata in pounds/ora? In tubo liscio orizzontale acqua L= 1000 ft D= 8 -in schedule 40 7. 981 in T=68 °F DP= 3 psi Essendo incognita la portata non conosciamo la v media e quindi non possiamo calcolare né Re né il fattore di attrito Soluzione 1) procedo per tentativi: fisso Re calcolo f e quindi DP. Verifico e fisso nuovo Re Soluzione 2) calcolo che non dipende da v 31

Simulazione dei fenomeni di trasporto Esempio 6. 2 -2 Bird Equazione di Colebrook 32

Simulazione dei fenomeni di trasporto Velocità terminale sfera v terminale? In acqua D=4 mm r=1. 05 g/cm 3 Per sfera sappiamo che Il problema va risolto per tentativi! 33

Simulazione dei fenomeni di trasporto Velocità terminale sfera Si assume Re > 1000 L’ipotesi di partenza non è quindi verificata Si assume 1 <Re < 1000 ipotesi verificata 34