moni Verslo finansai Algimantas Laurinaviius VU EF Finans

Įmonių / Verslo finansai Algimantas Laurinavičius VU EF Finansų katedra 1

n 12. Investicijų portfelio samprata ir moderniojo portfelio teorija 2

Paskaitos planas n Įžanga n Aktyvo grąža ir rizika n Investicijų portfelis n Efektyvi riba n Praktiniai pavyzdžiai 3

Įžanga n Investicijų portfelio koncepcija remiasi įvairių investicijų rinkinio sudarymu. n Investicijų portfelį gali sudaryti: - akcijos, - obligacijos, - fondų vienetai, - grynieji pinigai, - indėliai, - gyvybės draudimo polisai, - įvairus nekilnojamasis turtas ir t. t. 4

Įžanga n Investicijų portfelį ir jo charakteristikas nagrinėja moderniojo portfelio teorija, kurios ištakomis laikomi Harry M. Markowitz darbai, visų pirma, 1952 m. jo paskelbtas straipsnis “Portfolio selection”. n Iki tol vyravusį atskirą kiekvienos investicijos vertinimą pakeitė požiūris į rinką kaip į visumą. 5

Įžanga n Moderniojo portfelio teorija suteikia metodą nustatyti efektyviems portfeliams naudojant aktyvų grąžos ir rizikos rodiklius. n Bet apie viską iš eilės. . . 6

Paskaitos planas n Įžanga n Aktyvo grąža ir rizika n Investicijų portfelis n Efektyvi riba n Praktiniai pavyzdžiai 7

Aktyvo grąža ir rizika n Aktyvo grąža – tai jo vertės pokytis per tam tikrą laikotarpį n Vidutinė aktyvo grąža – tai jo vertės pokyčių vidurkis per tam tikrą laikotarpį n Aktyvo rizika – tai jo vertės pokyčių standartinis nuokrypis (volatilumas): 8

Pavyzdys 9

Pavyzdys n Matytame pavyzdyje „Finasta obligacijų fondo“ grąža 2004 -2007 m. laikotarpiu buvo 12, 3%. n Šio fondo vidutinė ketvirtinė grąža 2004 -2007 m. laikotarpiu buvo 0, 8%. n Šio fondo ketvirtinės grąžos standartinis nuokrypis tuo pačiu laikotarpiu buvo 0, 7%. 10

Pavyzdys n Prisiminkime statistiką: „jei atsitiktinis dydis X yra pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį, tai jo galimos reikšmės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 3 standartinius nuokrypius“ (su 99, 7% tikimybe). n Visas taisyklių rinkinys: - yra 68% tikimybė, jog dydžio X galimos reikšmės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 1 standartinį nuokrypį; - yra 95% tikimybė, jog dydžio X galimos reikšmės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 2 standartinius nuokrypius; - yra 99, 7% tikimybė, jog dydžio X galimos reikšmės nuo vidurkio nutolsta ne toliau kaip per 3 standartinius nuokrypius. 11

Pavyzdys n Vadinasi, matytame pavyzdyje „Finasta obligacijų fondo“ vidutinė ketvirtinė grąža 2004 -2007 m. laikotarpiu buvo: 0, 8% +/- 3 * 0, 7%, t. y. intervale [-1, 3 ; 2, 9] 12

Paskaičiuokime n Paskaičiuokime akcijos „ABC“ grąžos ir rizikos (standartinio nuokrypio) rodiklius 13

Paskaičiuokime 14

Paskaičiuokime n Įmonės ABC akcijos grąža 01 -01 -2015 – 31 -03 -2016 laikotarpiu buvo 15%. n Vidutinė ketvirtinė akcijos grąža šiuo laikotarpiu buvo 2. 9%. n Grąžos standartinis nuokrypis buvo 4. 6%. n Su 99, 7% tikimybe galime teigti, kad kiekviena vidutinė ketvirtinė „ABC“ akcijos grąža 01 -01 -2015 – 31 -03 -2016 laikotarpiu buvo: 2. 9% +/- 3 * 4. 6%, t. y. intervale [-10. 9; 16. 7] 15

Aktyvo grąža ir rizika n Grąžos ir rizikos plokštuma 16

Aktyvo grąža ir rizika 17

Paskaitos planas n Įžanga n Aktyvo grąža ir rizika n Investicijų portfelis n Efektyvi riba n Praktiniai pavyzdžiai 18

Investicijų portfelis n Bent dviejų aktyvų rinkinį jau galima vadinti investicijų portfeliu. n Pagrindinės investicijų portfelio savybės: - portfelio grąža yra jį sudarančių aktyvų grąžų vidurkis; - tuo tarpu investicijų portfelio rizika yra mažesnė nei portfelį sudarančių aktyvų rizikų vidurkis. 19

Investicijų portfelis 20

Investicijų portfelis n Taigi svarbi investicijų portfelio savybė yra ta, kad jis gali sumažinti investicinę riziką, nesumažindamas tikėtinos grąžos - arba gali padidinti investicinę grąžą, nekeičiant atitinkamo rizikos lygio! 21

Investicijų portfelis n Kuo daugiau aktyvų įtraukiama į investicijų portfelį – tuo labiau sumažinama portfelio rizika. - arba padidinama grąža, esant atitinkamam rizikos lygiui! 22

Paskaitos planas n Įžanga n Aktyvo grąža ir rizika n Investicijų portfelis n Efektyvi riba n Praktiniai pavyzdžiai 23

Efektyvi riba n Jei turime 10 skirtingų aktyvų ir iš jų bandome sudaryti įvairius investicijų portfelius, tai: - bet kuris investicijų portfelis sumažins investicinę riziką, nesumažindamas tikėtinos grąžos (arba padidins investicinę grąžą, nekeičiant atitinkamo rizikos lygio), - tačiau vieni portfeliai bus geresni nei kiti! 24

Efektyvi riba 25

Efektyvi riba n Portfelis vadinamas efektyviu, jei minimizuojama jo rizika esant tam tikrai reikalaujamai grąžai arba maksimizuojama jo grąža esant tam tikrai leistinai rizikai. n Kreivė, kurioje yra visi efektyvūs minimizuojantys riziką (arba maksimizuojantys pelną) portfeliai, yra vadinama efektyvia riba (angl. efficient frontier). 26

Efektyvi riba 27

Efektyvi riba 28

Efektyvi riba 29

Efektyvi riba 30

Efektyvi riba n Efektyvi riba tęsiasi nuo maksimalaus pelno portfelio (tai bus portfelis iš vieno didžiausią grąžą turinčio finansinio instrumento) iki minimalios rizikos portfelio. n Geometriškai efektyvi riba yra logaritmiškai didėjanti funkcija grąžos-rizikos koordinačių plokštumoje. 31

Efektyvi riba 32

Efektyvi riba n H. Markowitz modelis nepateikia vieno geriausio investicinio portfelio, o visą jų rinkinį, kuriame pelningumas optimaliai atitinka pasirinktą riziką. n Atskiras investuotojas pasirenka atitinkamą portfelį priklausomai nuo rizikos toleravimo laipsnio ir pageidaujamo pelningumo. 33

Efektyvi riba n Pakartokime: n Moderniojo portfelio teorija, kurios ištakomis laikomi Harry M. Markowitz darbai, suteikia metodą nustatyti efektyviems portfeliams, naudojant aktyvų grąžos ir rizikos rodiklius. n Šio modelio taikymo sąlygos: - investuotojai vengia rizikos, - investuotojai investicinius sprendimu priima remdamiesi rizikingų aktyvų laukiama grąža, variacija ir kovariacija. 34

Efektyvi riba n J. Tobin vėliau (1958 m. ) suformulavo tokias pakankamąsias ir būtinąsias modelio taikymo sąlygas: - investuotojai, turintys kvadratinę naudingumo funkciją u(w) = w-aw 2, kur w – turtas, t. y. vengiantys rizikos, - aktyvų grąža, pasiskirsčiusi pagal normalųjį skirstinį. 35

Efektyvi riba n Moderniojo portfelio teorija teigia, kad laukiama portfelio grąža yra vidurkis jį sudarančių aktyvų grąžų, tuo tarpu laukiama portfelio rizika yra daug sudėtingesnė. n Ji susijusi ne tik su atskirų aktyvų individualiomis rizikomis, bet ir su jų tarpusavio kovariacija bei koreliacija. 36

Kovariacija ir koreliacija n Dydžių X ir Y nuokrypių nuo vidurkių sandaugų vidurkį vadiname kovariacija ir žymime: n Dydžių X ir Y koreliacijos koeficientu vadiname tų dydžių kovariacijos ir jų standartinių nuokrypių sandaugos santykį ir žymime: 37

Kovariacija ir koreliacija 38

Paskaičiuokime akcijos „CDE“ grąžos ir rizikos rodiklius, o taip pat – abiejų akcijų kovariaciją ir koreliaciją 39

Paskaičiuokime 40

Kovariacija ir koreliacija n Jei dviejų aktyvų grąžos kinta ta pačia kryptimi, tai turime teigiamą koreliaciją. n Jei dviejų aktyvų grąžos kinta nepriklausomai viena nuo kitos, tai turime nulinę koreliaciją. n Jei dviejų aktyvų grąžos kinta priešingomis kryptimis, tai turime neigiamą koreliaciją. n Koreliacijos koeficientas įgyja reikšmes intervale [-1; 1]. 41

Kovariacija ir koreliacija n Teigiamos aktyvų grąžų koreliacijos pavyzdžių yra daug: - atskiros akcijos grąža ir tam tikro investicinio portelio, į kurį įtraukta ta akcija, grąža; - tam tikro akcijų fondo grąža ir tam tikro obligacijų fondo grąža ir t. t. § Neigiama aktyvų grąžų koreliacija praktikoje pasitaiko rečiau: - aukso kaina ir akcijų kainos; - nekilnojamojo turto grąža ir akcijų kainos ir pan. 42

Efektyvi riba n Portfelio teikiama nauda tuo didesnė, kuo mažesnė koreliacija tarp jį sudarančių aktyvų. n Geriausia būtų neigiama „vienetinė“ koreliacija – t. y. aktyvų grąžos, kintančios priešingomis kryptimis – tuomet būtų galima sukonstruoti visiškai riziką eliminuojantį (t. y. „nulinės“ rizikos) investicinį portfelį. n „Nulinės“ rizikos portfelis per tam tikrą periodą turi tam tikrą vidutinę grąžą, tačiau jo vertės pokyčių standartinis nuokrypis lygus 0! 43

Efektyvi riba 44

Efektyvi riba n Taigi efektyvios ribos samprata grafiškai jau turėtų būti aiški. n Bet kaip ją apskaičiuoti? 45

Efektyvi riba n Bet kuri efektyvi riba ir joje esantys efektyvūs portfeliai yra išreiškiami kvadratine funkcija: grąžos-rizikos koordinačių plokštumoje, kur - Var (dipersija) yra rizikos matas, r matuoja grąžą. 46

Efektyvi riba n A, B, C ir D yra skaičiai, apskaičiuojami pagal šias formules: kur r – aktyvų grąžų vektorius, - r’ – transponuotas aktyvų grąžų vektorius, - V-1 – atvirkštinė variacijos-kovariacijos matrica, - 1 – vienetinis vektorius, - 1’ – transponuotas vienetinis vektorius. 47

Efektyvi riba n Norint nustatyti portfelių, esančių ant efektyvios ribos, sudėtį, reikia apskaičiuoti du papildomus vektorius: 48

Efektyvi riba n Tuomet minėtų portfelių sudėtį galima surasti iš funkcijos: kur X – portfelio sudėties vektorius, - e – grąžos norma. 49

Efektyvi riba n Apibendrinant galima pastebėti, kad H. Markowitz pateikė naują požiūrį į investicijų vertinimą, pasiūlydamas riziką minimizuojančio/pelną maksimizuojančio investicijų portfelio idėją. n Tačiau jo sukurtas modelis nenurodo vieno geriausio portfelio, bet visą jų rinkinį, iš kurio investuotojas yra priverstas rinktis priklausomai nuo rizikos toleravimo laipsnio ir pageidaujamo pelningumo. 50

Paskaitos planas n Įžanga n Aktyvo grąža ir rizika n Investicijų portfelis n Efektyvi riba n Praktiniai pavyzdžiai 51

Praktinis pavyzdys - 1 52

Praktinis pavyzdys - 1 53

Praktinis pavyzdys - 1 54

Praktinis pavyzdys - 1 55

Praktinis pavyzdys - 1 56

Praktinis pavyzdys - 1 57

Praktinis pavyzdys - 1 58

Praktinis pavyzdys - 1 59

Praktiniai pavyzdžiai n Indekso fondas – visuomet efektyvus n Kodėl? - Nes jis apima visas akcijas, o juk kuo daugiau akcijų apima portfelis, tuo labiau sumažinama portfelio rizika. n Trūkumai? - „Efektyvus“ – tai dar nereiškia, kad uždirbs daugiau nei kiti fondai, tiesiog jo uždarbis bus maksimalus jo prisiimtam rizikos lygiui 60

Praktiniai pavyzdžiai n Ar taikoma praktikoje? n Tikrai taip! - VUSIF? - Įmonės 61

Praktiniai pavyzdžiai n Vis dėlto pagrindinis šio metodo trūkumas yra tas, kad efektyvių portfelių riba yra nustatoma remiantis istoriniais duomenimis. n O istoriniai duomenys nebūtinai turi kartotis. . . 62

Praktinis pavyzdys - 3 n BMD: Efektyvaus gyventojų finansinių ir nekilnojamojo turto investicijų portfelio nustatymas 63

Praktinis pavyzdys - 3 n Optimalaus portfelio sudėtis: 64

Praktinis pavyzdys - 3 65

Moderniojo portfelio teorija n H. Markowitz darbus pratęsė: - J. Tobin „Dviejų fondų atskyrimo teorema“; W. Sharpe supaprastintas portfelio analizės modelis; E. Fama ir K. French „Trijų veiksnių modelis“. 66