MEHANIKA TEKUINE Dinamika Grana mehanike tekuina koja razmatra

MEHANIKA TEKUĆINE - Dinamika Grana mehanike (tekućina) koja razmatra uzroke gibanja i proučava tijela (tekućine) u stanju gibanja. Uvodi se pojam mase i sila.

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja količine gibanja I Newtonov zakon – zakon inercije Djelić tekućine (i drugih tijela) nalazi se u mirovanju ili se giba jednoliko po pravcu ukoliko su sve vanjske sile koje djeluju na njega u ravnoteži.

Zakon očuvanja količine gibanja Drugi Newtonov zakon: promjena količine gibanja d(mv) u vremenu dt jednaka je vektorskoj sumi ( rezultanti F ) svih vanjskih sila koje djeluju na tekućinu u materijalnom volumenu V(t): Vanjske sile dijele se na površinske (sile tlaka i posmika) i volumne (npr. gravitacione) dok se unutrašnja naprezanja odnosno sile međusobno poništavaju.

Zakon očuvanja količine gibanja Primjenom transportnog teorema: Karakteristika volumena J = mv Karakteristična gustoća = d. J/d. V = dmv/d. V = v Rezultanta F dobiva se vektorskom sumom svih vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen u kretanju. U kontrolnom volumenu (V) tekućina je kontinuirano raspodijeljena s masenim elementima dm = d. V. Masene sile koje djeluju na te elemente su d. Fm = fm dm = fm d. V. Rezultantna masena sila dobiva se integracijom po odabranom volumenu (V).

Zakon očuvanja količine gibanja Ukoliko u nekom tijelu postoji stanje naprezanja onda po njegovom oplošju (A+S) također moraju djelovati naprezanja, opisana tenzorom naprezanja . Na djelić volumena d. V djeluje sila naprezanja d. F = div( )d. V. Rezultantna sila naprezanja dobiva se integracijom po volumenu V a primjenom GGO teorema dobiva se: Sila naprezanja F(A+S) djeluje po oplošju (A+S) volumena (V) tenzor naprezanja vektor naprezanja Sila naprezanja sadrži komponente koje djeluju normalno ( n) i tangencijalno ( t) na površine A i S a rezultantni vektor naprezanja na površinu A ili S je = n+ t. Zaključno, vanjske površinske sile na površine d. A i d. S su: d. FA = d. A ; d. FS = d. S (imaju smjer kao i )

Zakon očuvanja količine gibanja tijelo Ukupna sila na kontrolnu površinu (A+S): Naprezanje = -enp+ sastoji se od dijela tlaka –enp (en jedinični vektor normale na površinu) i dijela uslijed viskoznosti (trenje). Moguća i daljnja podjela = n + t na komponente (normalnu n i tangencijalnu t ) pri čemu se t nalazi u ravnini promatranog djelića površine.

OSNOVNA DINAMIČKA JEDNADŽBA Izvodi se diferencijalna forma zakona očuvanja količine gibanja koja u mehanici tekućina zajedno sa jednadžbom kontinuiteta daje dinamičke jednadžbe gibanja. Rezultantna sila F = Fm+ F na djelić tekućine je vektorska suma vanjskih sila koje na njega djeluju. Volumne-masene sile: Fm = FB Površinske sile od naprezanja F (sastoje se od normalnih i tangencijalnih sila). F = FB + FP + FZ + FT FB masene sile FP komponenta tlaka (srednji statički tlak izveden iz cjelokupnog stanja naprezanja) FZ + FT komponenta trenja FZ sila trenja od stvarne viskoznosti realne tekućine FT sila trenja od «fiktivne» viskoznosti uslijed «kaotičnog» turbulentnog gibanja realne tekućine

Eulerova dinamička jednadžba Sve sile svode se na oblik masenih sila na djelić tekućine, dijeljenjem svake pojedine sile sa masom djelića tekućine: f = F / m a = dv/dt = f. B + f. P + f. Z + f. T Za idealnu (bezviskoznu) tekućinu vrijedi f. Z + f. T = 0, a zajedno sa jednadžbom kontinuiteta dobiva se sustav Eulerovih dinamičkih jednadžbi. Promatra se gibanje djelića tekućine s volumenom V= AS n = An s i masom m= V uzduž zakrivljene strujnice u ravnini slobodno položenoj u prostoru, s vremenski promjenljivom brzinom v(t, s). Na masu m duž puta djeluju komponente masenih sila i sila tlaka (gledamo razliku ulaz-izlaz). Masene sile: f. Bt = -g’ cos = -g ( z/ s) ; f. Bn= -g’ sin = -g ( z/ n) Sile tlaka: f. Pt = -(1/ ) ( p/ s) ; f. Pn = -(1/ ) ( p/ n)

Eulerova dinamička jednadžba

Eulerova dinamička jednadžba Primjenom izvedenih jednadžbi: f. Bt = -g( z/ s) ; f. Bn = -g( z/ n) f. Pt = -(1/ )( p/ s) ; f. Pn = -(1/ )( p/ n) u jednadžbu: a = dv/dt = f. B + f. P (f. Z = 0 ; f. T = 0) dobiva se Eulerova dinamička jednadžba za tečenje bezviskozne (idealne tekućine) uzduž i okomito na strujnicu:

Eulerova dinamička jednadžba Za stacionarni slučaj vrijedi: v/ t = 0 ; / s = d /ds pa se iz jednadžbe množenjem sa duljinom promatranog puta ds djelića tekućine dobiva diferencijalna forma energetske Bernoulli-jeve jednadžbe v dv + g dz + dp/ = 0 te nakon integracije: Položaj z određen je s vertikalnom udaljenošću od proizvoljne referentne horizontalne ravnine. U slučaju stacionarnog tečenja (barotropne) idealne tekućine integracijska konstanta C prelazi u opću konstantu za cijelu domenu strujnog polja. Prvi član odnosi se na kinetičku energiju, drugi član na energiju položaja a treći član na energiju tlaka.

Eulerova dinamička jednadžba U inženjerskoj praksi najčešće se upotrebljava tzv. visinski oblik koji se dobiva dijeljenjem članova sa g. Tada svi članovi imaju dimenziju «visine» (presložio sam redoslijed pojedinih članova. ) Takav zapis je zahvalan za grafičku prezentaciju udjela pojedine energije (energije položaja, tlaka i kinetičke energije) u ukupnoj mehaničkoj energiji. Korištena je indeksna oznaka «i» koja se odnosi na bilo koji vertikalni presjek strujne cijev

Eulerova dinamička jednadžba Energetska razina ukupne mehaničke energije je horizontalna linija što znači da nema gubitaka ukupne mehaničke energija od presjeka do presjeka uzduž strujne cijevi. (vrijedi za idealnu tekućinu) Linija koja označava razinu ukupne mehaničke energije naziva se energetska linija. U slučaju suženja poprečnog presjeka strujne cijevi u smjeru strujanja prema jednadžbi kontinuiteta za nestišljive tekućine mora doći i do povećanja brzina (nejednoliko tečenje). Povećanje brzine uzduž toka prati i povećanje kinetičke energije uzduž toka pa se neki drugi oblik mehaničke energije mora umanjiti da ukupna mehanička energija ostaje konstantna uzduž toka. Povećanje kinetičke energije dešava se na račun smanjenja energije tlaka i/ili energije položaja. Kod horizontalne cijevi nema promjene energije položaja pa povećanje kinetičke energije prati samo smanjenje energije tlaka.

Eulerova dinamička jednadžba Linija kojom se prikazuje ukupna razina tlačne energije i energije položaja zove se piezometarska linija. Piezometarska linija nikada ne može biti iznad energetske linije. U mirovanju energetska i piezometarska linija se poklapaju. Uvođenjem potencijala vanjskih sila u. B za izvođenje masenih sila f. B i sila tlaka f. P, u općem slučaju trodimenzionalnog strujanja idealne tekućine, vektorska dinamička Eulerova jednadžba glasi: a primjerice za komponentu x-smjera dobiva se:

Navier-Stokes za laminarno strujanje realne tekućine U izvodima laminarnog tečenja realne tekućine potrebno je odrediti stanje naprezanja ( ) djelića tekućine u ovisnosti o stanju deformacija def v. U laminarnom režimu strujanja realne tekućine su prisutne sile trenja (f. Z 0) (ali nema masene sile turbulencije (f. T = 0) a = dv/dt = f. B + f. P + f. Z Uvođenjem konstitutivne jednadžbe za Newtonovu tekućinu definiran je proporcionalni odnos između tangencijalnih naprezanja i promjene brzina u smjeru okomitom na smjer tečenja. Promatra se kvadratni djelić tekućine koja se giba u strujnom polju. Na oplošnim površinama djeluju površinska normalna xx, yy, zz i tangencijalna xy, xz, yx, yz, zx, zy naprezanja. U stanju mirovanja ili pri strujanju idealne tekućine sve normalne komponente u točki P su međusobno jednake (negativan iznos tlaka ii = - p) a za tangencijalna naprezanja vrijedi ij = 0 (i j).

Navier-Stokes za laminarno strujanje Površinska normalna i tangencijalna naprezanja na djelić tekućine u laminarnom tečenju: ii = -p + ii (i = 1, 2, 3) ; ij = ji = ij = ji (i j) Devet komponenti naprezanja čine jedan simetrični tenzor.

Navier-Stokes za laminarno strujanje Površinske sile na oplošne površine djelića tekućine Ax , Ay , Az dobivaju se umnoškom naprezanja i pripadne površine. Pri strujanju homogene tekućine ( = konst. , = konst. ) vrijedi: f. Z = v ( = / - kinematski koeficijent viskoznosti)

Navier-Stokes za laminarno strujanje Za laminarno strujanje homogene tekućine ( = konst. , = konst. ), pri djelovanju potencijala sile gravitacije (u. B = gz) dobiva se Navier-Stokesova jedanadžba: Navier-Stokesove jednadžba u općoj formi nije matematički riješena iako postoje rješenja za najjednostavnije primjere tečenja. Rješavanje Navir-Stokesove jednadžbe u današnje vrijeme uobičajeno je rješavati numeričkim modelima.

Laminarno i turbulentno tečenje Laminarno tečenje FILM: Laminar flow in pipe. flv Profil brzina pri laminarnom tečenju

Laminarno i turbulentno tečenje Profil brzina pri turbulentnom tečenju Turbulentno tečenje FILM: Turbulent flow in a pipe. flv Režim tečenja ovisi o Reynoldsovom broju

Reynolds za turbulentno strujanje Turbulentni režim tečenja pojavljuje se u najvećem broju inženjerskih problema. Mjerenje brzina u fiksnoj točki cijevi kružnog proticajnog profila u kojoj se odvija tečenje pod tlakom pokazuje sljedeće rezultate: 1 - statistički stacionarno turbulentno tečenje 2 - statistički nestacionarno turbulentno tečenje

Reynolds za turbulentno strujanje Stvarna (trenutna) vrijednost brzine ili tlaka prikazuje se sumom statistički dobivene srednje vrijednosti promatranog polja (brzine, tlaka, temperature) i u vremenu fluktuirajuće komponente promatranog polja: Srednja vrijednost fluktuirajuće komponente promatranog polja u periodu osrednjavanja jednaka je nuli. Duljina perioda osrednjavanja ovisi o pojavi koja se analizira. Navedeni pristup opisu turbulencije je stohastičke prirode budući se strujanje promatra kao stohastički proces sa slučajnom varijablom E. U nastavku se komentiraju samo slučajevi turbulentnog strujanja homogene tekućine.

Reynolds za turbulentno strujanje Jednadžba kontinuiteta za turbulentno tečenje homogene nestišljive tekućine ostaje istog oblika bez obzira da li se primjenjuje na trenutnu, osrednjenu ili fluktuirajuću brzinu. Reynoldsova dinamička jednadžba izvedena je iz Navier-Stokes jednadžbe, zamjenom trenutnih vrijednosti brzine i tlaka s sumom osrednjenih i fluktuirajućih komponenti. Nakon nekoliko koraka algebarske manipulacije i uz zanemarenje članova višeg reda dobiva se Reynolsova jedanadžba za x-komponentu:

Reynolds za turbulentno strujanje Reynoldsove jednadžbe i Navier-Stokesove jednadžbe su slične. Na lijevoj strani u Reynoldsovim jednadžbama pojavljuju se novi članovi koji predstavljaju učešće fluktuirajuće komponente u ukupnoj promjeni količine gibanja u vremenu. Premještanjem tih članova na desnu stranu jednadžbe, sa lijeve strane ostaje samo promjena količine osrednjenog gibanja u vremenu. Na desnoj strani sada osim «stvarnih» osrednjenih volumnih sila (npr. gravitacije) i površinskih sila (tlaka i viskoznosti) nalazimo i dodatnu «negativnu virtualnu» silu povezana sa «virtualnim» naprezanjima.

Prandtlov opis turbulecije Negativan predznak ukazuje na dreniranje energije iz osrednjenog toka, kako bi se proizvodila ili održala takva virtualna naprezanja. Prandtl se u svom fenomenološkom opisu turbulentnih naprezanja oslonio na jednadžbu Boussinesqa, analogno Newtonovom konstitutivnom zakonu viskoznog trenja u laminarnom toku: T je kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti. Uvrštavanjem Prandtlove teorije u Reynoldsovu jednadžbu te usvajanjem pretpostavke o izotropnosti turbulencije ( Tx = Ty = Tz): U Navier-Stokesovim i Reynoldsovim jednadžbama nije uzet u obzir utjecaj površinske napetosti.

Prandtlov opis turbulecije U većini turbulentnih tokova od inženjerskog interesa T pa vrijedi: Pretpostavka o izotropnosti turbulencije nije zadovoljena u nizu slučajeva. Primjerice, uslijed izmjene topline između mora i atmosfere u ljetnim mjesecima formira se nejednolik profil gustoće mora po vertikali (stratifikacija). Posljedica toga je različita vrijednost kinematskog koeficijenta turbulentne viskoznosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru ( Tx Ty Tz).