Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 2

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2º Ano Tipos de matrizes

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes TIPOS DE MATRIZES ALGUMAS MATRIZES APRESENTAM CERTAS CARACTERÍSTICAS QUE FAZEM COM QUE RECEBAM NOMES ESPECIAIS. VAMOS INVESTIGAR ESSAS MATRIZES? VOCÊ É CAPAZ DE DESCOBRIR ESSAS CARACTERÍSTICAS SOZINHO E PRODUZIR NOMES ESPECIAIS PARA AS MATRIZES?

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes OBSERVE AS MATRIZES ABAIXO: A= D= 1 1 4 3 B= 5 10 -3 7 0 12 -6 15 1 5 5 4 -8 25 0 C= -32 14 1 2 11 E= 4 -4 7 -5 8 0

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes O QUE PODEMOS OBSERVAR QUANTO AO NÚMERO DE LINHAS E COLUNAS? RESPOSTA: As matrizes A, B e C têm 2 linhas e 2 colunas, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas. As matrizes D e E têm 3 linhas e 3 colunas, além do que também possuem o número de linhas igual ao de colunas.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes QUAL A ORDEM DAS MATRIZES APRESENTADAS? RESPOSTA: As matrizes A, B e C são de ordem 2 X 2, e as matrizes D e E são de ordem 3 X 3. Podemos simplificar dizendo que as matrizes A, B e C são de ordem 2, e as matrizes D e E são de ordem 3.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes AS MATRIZES ESTUDAS LEMBRAM ALGUMA FIGURA PLANA? QUADRADOS A= 1 1 4 3 5 10 B= -3 7 0 12 -6 D= 15 1 5 5 4 -8 25 0 C= -32 14 1 2 11 E= 4 -4 7 -5 8 0

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes As matrizes apresentadas são denominadas MATRIZES QUADRADAS. GENERALIZANDO, TEMOS: Uma matriz A de ordem m x n é denominada MATRIZ QUADRADA quando O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE COLUNAS, isto é, m = n. Nesse caso, dizemos que a matriz A é do tipo n x n, ou seja, de ordem n, e é indicada por An.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Assim como os quadrados, as matrizes quadradas também possuem diagonais. Considere a matriz genérica A de ordem 3: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 DIAGONAL SECUNDÁRIA Quais são as diagonais dessa matriz? DIAGONAL PRINCIPAL

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Quanto aos índices dos elementos da diagonal principal, o que podemos observar de interessante? Podemos observar que são iguais. Quanto aos índices dos elementos da diagonal secundária, o que podemos observar de interessante? Ah! Essa é mais difícil!? !? Vejamos:

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Vamos analisar o elemento a 13 da diagonal secundária: A ordem da matriz é 3 e o elemento a 13 está localizado na linha 1 e coluna 3. Somando o número 1 (linha 1) com 3 (coluna 3), dá 4, que é justamente a ordem da matriz (3) mais 1: 1 + 3 = 3+ 1 4=4 Será que isso acontece com todos os elementos da diagonal secundária? Vejamos:

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes O elemento a 22 está localizado na linha 2 e 2 + 2 = 3+ 1 4=4 coluna 2: O elemento a 31 está localizado na linha 3 e 3 + 1 = 3+ 1 4=4 coluna 1: CONCLUSÃO: Em uma matriz quadrada A de ordem n , os elementos aij , em que i + j = n + 1, formam a DIAGONAL SECUNDÁRIA.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Observe as matrizes quadradas abaixo: 8 -4 3 0 1 5 0 0 6 O que está acontecendo de especial? 4 5 0 3 6 0 0 5 1 0 3 2 7 Abaixo da diagonal principal os elementos são todos NULOS. 2 0 1 4 Acima da diagonal principal os elementos também são todos NULOS.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Os elementos nulos acima ou abaixo da diagonal principal estão na forma de um triângulo, e a soma de suas quantidades representam números triangulares. 4 5 0 3 8 0 0 5 1 0 3 2 7 8 -4 0 1 0 0 3 5 6 0 2 4 3 2 8 3 4 7 4 0 1 1 5 7 0 0 6 9 3 0 0 0 2 2 0 0 4 Pesquisa na internet: O que são números triangulares. NÚMEROS TRIANGULARES 1 3 6 10

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes CONCLUSÃO: Uma matriz quadrada de ordem n é denominada MATRIZ TRIANGULAR, quando todos os elementos ACIMA OU ABAIXO da diagonal principal são NULOS. Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i<j ou aij = 0 para i>j. A matriz triangular pode ser denominada MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR ou MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes 4 5 0 3 8 -4 0 1 0 0 3 5 6 0 2 4 3 2 SÃO MATRIZES TRIANGULARES SUPERIORES. NA SUA OPINIÃO, POR QUE ELAS RECEBEM ESSA DENOMINAÇÃO? RESPOSTA CORRETA: PORQUE OS ELEMENTOS NULOS ESTÃO ABAIXO DA DIAGONAL PRINCIPAL.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes 8 0 0 5 1 0 3 2 7 8 3 4 7 4 0 1 1 5 7 0 0 6 9 3 0 0 0 2 2 SÃO MATRIZES TRIANGULARES INFERIORES. 0 E AGORA, POR QUE ELAS RECEBEM ESSA 0 DENOMINAÇÃO? 0 RESPOSTA CORRETA: 0 4 PORQUE OS ELEMENTOS NULOS ESTÃO ACIMA DA DIAGONAL PRINCIPAL.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes OBSERVE AS MATRIZES QUADRADAS. 4 0 0 0 1 0 0 0 3 O QUE ELAS POSSUEM DE ESPECIAL? RESPOSTA: Os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal 6 0 0 0 principal são todos nulos, e. . . 0 1 0 0. . . estão dispostos na forma de 0 0 5 0 triângulo, como na Matriz 0 0 0 2 Triangular.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Percebe-se que as matrizes dadas deixam em evidência os elementos da DIAGONAL principal. CONCLUSÃO: Toda matriz quadrada de ordem n, em que os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são nulos, é denominada. . .

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes MATRIZ DIAGONAL!!!! Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j. Podemos observar ainda que a MATRIZ DIAGONAL é um caso particular da MATRIZ TRIANGULAR, por apresentar algumas características semelhantes : É uma matriz quadrada e os elementos nulos acima e abaixo da diagonal principal têm a forma de triângulo.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes O que as matrizes quadradas abaixo têm de curioso? 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais, iguais a 0.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são nulos, é denominada MATRIZ IDENTIDADE. Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j e aij = 1 para i = j Indicamos uma matriz identidade de ordem n por In.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes EXEMPLOS: I 2 = 1 0 0 1 MATRIZ IDENTIDADE de ordem 2: I 2 1 0 0 I 3 = 0 1 0 MATRIZ IDENTIDADE de ordem 3: I 3 0 0 1 A matriz identidade é uma caso particular de matriz diagonal.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Note que toda matriz identidade, diagonal e triangular é uma matriz quadrada. Utilizando o diagrama de Venn, podemos relacionar as matrizes quadradas (Q), triangulares (T), diagonais (D) e identidades (I), assim: Todos os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são nulos e os que a compõem são iguais a 1. Q T D I O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO NÚMERO DE COLUNAS. Todos os elementos ACIMA OU ABAIXO da diagonal principal são nulos.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Observe as matrizes atentamente. 0 0 A= 0 0 B= 1 2 C= 0 0 0 1 2 D= 4 5 7 8 Das matrizes apresentadas, quais você denominaria MATRIZ NULA? Por quê?

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes RESPOSTA PROVÁVEL : As matrizes A e C são nulas, pois todos os seus elementos são iguais a zero, ou seja , NULOS: 0 0 A= 0 0 PARABÉNS!!!!!! É ISSO MESMO!!! 0 0 0 C= 0 0 0 Observe que a matriz A é quadrada, e a matriz C não é.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Concluindo: Denominamos MATRIZ NULA aquela que possui todos os elementos iguais a zero. E tem mais. . . nesse tipo de matriz, aij = 0 para qualquer i e j, com 1 ≤ i ≤ m e i ≤ j ≤ n. Indicamos uma matriz nula de ordem m x n por 0 mxm ou, se a matriz nula for quadrada, por 0 n.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes EXEMPLOS: 0 02 x 3 = 0 0 0 MATRIZ NULA de ordem 2 x 3. 0 0 02 = 0 0 MATRIZ NULA de ordem 2.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Seguindo a sua intuição, separe as matrizes abaixo em dois grupos: MATRIZ LINHA E MATRIZ COLUNA. Em seguida, justifique sua resposta. 2 4 0 -3 2 5 -1 1 -4 3 4 0 -1 2 15 -3 2 7 0 6

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes RESPOSTA ESPERADA: MATRIZ LINHA 2 4 0 -3 4 0 -1 -3 2 7 0 6 MATRIZ COLUNA 1 -4 3 2 15 2 5 -1

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes JUSTIFICATIVA: Toda matriz que possui apenas uma linha ou que possui uma coluna recebe, respectivamente, o nome de MATRIZ LINHA e MATRIZ COLUNA. PARABÉNS!!!!! MUITO BEM!!!! Sendo assim, de modo geral, temos:

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes Uma matriz do tipo 1 x n é chamada MATRIZ LINHA. 2 4 0 -3 Matriz linha de ordem 1 x 4 Uma matriz do tipo m x 1 é chamada MATRIZ COLUNA. 1 -4 3 Matriz coluna de ordem 3 x 1

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes ATIVIDADES 1. Dada a matriz A= 2 3 1 -5 0 6 -4 1 1 0 -1 0 10 -2 3 -6 , calcule a diferença entre a soma dos elementos da diagonal principal e a dos elementos da diagonal secundária. Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza, 1 ed. , vol. 2, Página 133, São Paulo, FTD, 2010.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes 2. Classifique cada matriz em quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula, linha ou coluna a) A= 0 1 d) D= 0 0 0 b) B= c) C= 3 -1 0 3 e) E= f) F= 0 1 0 0 3. O traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos elementos da diagonal principal. Calcule o traço da matriz: a) A= 5 12 8 -9 b) B= -1 0 2 4 5 -2 8 9 3 Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza, 1 ed. , vol. 2, Página 133, São Paulo, FTD, 2010.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes 4. Julgue cada afirmação verdadeira (V) ou falsa (F). a) b) c) d) Toda matriz quadrada nula é triangular. A matriz identidade é um exemplo de matriz diagonal. Toda matriz quadrada é triangular superior. Quando pelo menos um elemento da matriz é igual a 0, então a matriz é denominada nula. e) O traço da matriz identidade é numericamente igual a sua ordem. Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza, 1 ed. , vol. 2, Página 133, São Paulo, FTD, 2010.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes GABARITO 1) 0 2) a)linha b)nula c)quadrada d)quadrada e triangular e)quadrada, triangular, diagonal e identidade f)coluna 3) A= -4; B = 7 4)a)V b)V c)F d)F e)V

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes ATIVIDADES B= A= Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência, linguagem e tecnologia, 2, Jackson Ribeiro, Página 121, São Paulo, Scipione, 2010.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes 20. (Unifor – CE) Qual a alternativa verdadeira? a) 1 1 1 0 0 1 1 b) 1 0 1 1 é uma matriz triangular c) 0 1 1 0 é uma matriz identidade d) 1 1 0 1 é uma matriz simétrica e) 0 1 é a matriz simétrica de é uma matriz diagonal 1 1 0 0 Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência, linguagem e tecnologia, 2, Jackson Ribeiro, Página 121, São Paulo, Scipione, 2010.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes GABARITO 18) x = -2 e x = 0 19) x = 1 20) b

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Tipos de Matrizes BIBLIOGRAFIA -Behrens, Marilda Aparecida. O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010. -Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Ensino Médio – Brasília : MEC. -Ribeiro, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2, Ensino Médio, São Paulo, Scipione, 2010. Souza, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática, vol. 2, 1 ed. , São Paulo, FTD, 2010 -www. somatematica. com. br -http: //tvescola. mec. gov. br/ -www. brasilescola. com/matematica/tipo-matrizes. htm -www. matematicoteca. blogspot. com. br/2011/08/tipos-de-matrizes. html