Matemtica e Criptografia Severino Collier Coutinho UFRJ Criptologia

Matemática e Criptografia Severino Collier Coutinho UFRJ

Criptologia Criptos = escondido em grego • Criptografia arte de esconder mensagens • Criptoanálise arte de quebrar mensagens

História • César foi o primeiro a utilizar criptografia como meio de esconder informações secretas.

Código de César A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z C D E F G H I J L MN O P Q R S T U V X Z A B Exemplo ESSES ROMANOS SÃO UNS NEURÓTICOS GUUGU TQOCPQU UCQ XPU PGXTQVLEQU

Problemas • É fácil decodificar verificando a freqüência das letras na mensagem. • Saber codificar implica em saber decodificar. • Precisa de canal seguro. O mesmo se aplica a outros códigos semelhantes

Outras aplicações O método de contagem de freqüência e técnicas semelhantes de criptografia também são usadas na decifração de escritas antigas. Exemplos: hieróglifos, linear B

Abre parêntesis. . .

Hieróglifos egípcios • Conhecimento da leitura esquecido desde, pelo menos, 500 d. C. • Horapolo de Nilópolis: caracteres seriam ideográficos.

Renascença • Athanasius Kircher (16021680). • Segue Horapollo. • Língua copta.

A chave • Pedra de Rosetta. • Descoberta em 1799. • Mesmo texto escrito em hieróglifos, demótico e grego.

O decifrador • J. -F. Champollion (17991832). • Língua derivada do copta. • Escrita: caracteres ideográficos, alfabéticos e determinativos.

O alfabeto

Determinativos = htr = cavalo • O determinativo é o desenho do cavalo. • E preciso acrescentá-lo porque htr também significa taxa.

Linear B • Descoberta em Creta. • Decifrado por M. Ventris em 1953. • Contagem de freqüência: língua é grego.

Vale do Indo • Ainda não decifrada. • Inscrições curtas dificultam a contagem de freqüência.

Fecha parêntesis. . .

Tipos de Códigos • Chave secreta: • Saber codificar implica em saber decodificar. • Precisa de canal seguro. • Chave pública: • Saber codificar não implica saber decodificar. • Não precisa de canal seguro. • Inventado na década de 1970.

Chave Pública • Imagem: armadilha para lagosta. Idéia: problema fácil de resolver por um lado e difícil por outro.

RSA Chave pública mais popular Inventado em 1976 Rivest Adleman Shamir

Número Primo Número divisível somente por ele mesmo e pela unidade. Exemplos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , 41, 43, 47, . . 213466917 -1 tem 4. 053. 946 algarismos

RSA Escolha dois números primos p e q. Calcule n = pq. • Chave de codificação: n = pq. • Chave de decodificação são p e q. • Pode ser tornada pública. • Tem que ser mantida secreta.

Como quebrar o RSA? • n = pq é público • Preciso conhecer p e q para decodificar a mensagem. • Logo: basta fatorar n para achar p e q.

Fatorando 120. • • 120 2 = 60 60 2 = 30 30 2 = 15 15 3 = 5, que é primo. • Logo: 120 = 2· 2 · 3 · 5.

Fatorar tem alto custo! • Se n = pq e p, q ~ 1050. • Começo de 2 e avanço até ~ 1050 • Computador executa 1010 divisões/s. • Logo preciso esperar 1040 s ~ 1031 anos!

Porém. . . O universo só tem 1011 anos!

Portanto. . . Achar p e q conhecendo apenas n = pq é muito difícil.

RSA-129 Mensagem codificada em 1976 usando uma chave pública n com 129 algarismos. Com os recursos da época (computadores e algoritmos) deveriam ser necessários quadrilhões de anos para decodificá -la.

Entretanto. . . Decodificada em 1994: “The magic words are squeamish ossifrage”

Como foi feito • 600 computadores de voluntários • Em 25 países • Dados reunidos usando um supercomputador • Tempo total: oito meses!

O que fez a diferença • Novos algoritmos (crivo quadrático). • Computadores mais rápidos. • Popularização dos computadores. • A internet para interligar tudo.

RSA-160 2152741102718889701896015201312825429257773588 84567598017049767677813314521885913567301105 9773491059602497907111585214302079314665202840 140619946994927570407753 Fatores 454278928584813940716861906497388316561371457 78469793250959984709250004157335359 e 473880906038320161966338323037889519732689229 21040957944741354648812028493909367

Dúvida Se é difícil fatorar números grandes. . . E se um número primo é o que não tem fatores. . . Então como obter dois primos grandes para construir a chave pública n do RSA?

Primalidade • Não é preciso fatorar para descobrir se um número é primo ou composto! • Por exemplo: se n e b são inteiros positivos tais que n não divide bn-1 -1, então n tem que ser composto.

Algoritmo AKS Método eficiente (tempo polinomial) para determinar se um número é primo sem fatorá-lo. Descoberto em agosto de 2002 por M. Agrawal, N. Kayal e N. Saxena.

O Futuro Próximo • Sistema usa curvas elípticas.

Grupo da curva elíptica • Podemos somar pontos em uma curva elíptica. • Isto torna a curva em um grupo.

ECC • Fixe uma curva E e P E. • Chave secreta: inteiro positivo k. • Chave pública: Q = k. P.

Suponha. . . que Alice quer mandar uma mensagem para Bernardo. . .

ECC: codificando • Alice conhece a curva E, o ponto P E e a chave pública Q. • Para codificar M E : escolha r aleatoriamente e calcule (r. P, r. Q+M).

ECC: decodificando • Bernardo conhece a curva E, o ponto P E e a chave secreta k. Decodifica (r. P, r. Q+M) calculando: (r. Q+M) - k(r. P) = r(k. P) + M - k(r. P) = M.

ECC: quebrando Calcular k conhecendo Q = k. P. Problema do Logaritmo Discreto

O Futuro Distante • Peter Shor (1994): algoritmo quântico de fatoração. • Criptografia quântica.

As perguntas finais. . .

Quão próximo, ou distante?

Assim. . . ?

Não!

Assim! A criptografia quântica já chegou até nós

Que outras surpresas nos aguardam?