MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 1 SAFITRI JAYA S

MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 1 SAFITRI JAYA, S. Kom, M. T. I SEMESTER GANJIL TA 2017/2018 UNIVERSITAS PEMBANGUNAN J

KURIKULUM TEKNIK INFORMATIKA UPJ DISTRIBUSI MATA KULIAH SEMESTER 3 NO KODE MK NAMA MK SKS SIFAT 1 KOTA MKMI 2 INF 201 MATEMATIKA DISKRIT 3 MKMI 3 INF 203 SISTEM DIGITAL 3 MKMA 4 INF 205 REKAYASA PERANGKAT LUNAK 3 MKMI 5 INF 207 PEMROGRAMAN MOBILE 3 MKMI 6 INF 209 ANALISIS ALGORITMA 3 MKMI 7 INF 211 ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER 3 MKMA

KONTRAK PERKULIAHAN § SKS MK : 3 SKS (2 SKS TEORI + 1 SKS LATIHAN) § LAMA PERKULIAHAN : 100 MENIT TEORI + 50 MENIT LATIHAN § JUMLAH TM SETELAH UTS) : 14 PERTEMUAN (7 SEBELUM UTS DAN 7 § PELAKSANAAN UTS : 16 – 20 OKTOBER 2017 (16 OKTOBER 2017) § PELAKSANAAN UAS : 18 – 22 DESEMBER 2017 (18 DESEMBER 2017) § JADWAL KULIAH : SENIN, PKL 15. 30 – 18. 00 WIB, R-614 § TOLERANSI KETERLAMBATAN : 15 MENIT, > 15 MENIT ABSEN NIHIL § SYARAT IKUT UJIAN : ABSENSI MINIMAL 70 % (4 X ABSEN) § PENILAIAN 35% UAS : 10% ABSENSI, 20% LATIHAN DI LOG BOOK, 35% UTS, § ALAT KOMUNIKASI BERLANGSUNG : SILENT/MODE GETAR SELAMA PERKULIAHAN § KEWAJIBAN ALAT BM EDISI KELIMA, : LOG BOOK, BUKU AJAR (MATEMATIKA DISKRIT RINALDI MUNIR, INFORMATIKA,

MATERI PERKULIAHAN 1. LOGIKA 2. HIMPUNAN 3. MATRIKS 4. RELASI DAN FUNGSI 5. INDUKSI MATEMATIK 6. ALGORITMA 7. BILANGAN BULAT (INTEGER) 8. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT 9. ALJABAR BOOLEAN 10. GRAF 11. POHON 12. KOMPLEKSITAS

APAKAH MATEMATIKA DISKRIT ITU? ? ? Matematika diskrit (discrete mathematics atau finite mathematics) adalah cabang ilmu yang mengkaji objek-objek diskrit. Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Sebagai contoh adalah himpunan bilangan bulat (integer). Matematika diskrit disebut juga matematika informatika. Perkembangan matematika diskrit terus meningkat, salah satu alasannya adalah karena komputer digital bekerja secara diskrit.

MATAKULIAH SYARAT 1. ALGORITMA 2. STRUKTUR DATA 3. BASIS DATA 4. OTOMATA DAN TEORI BAHASA FORMAL 5. JARINGAN KOMPUTER 6. SISTEM OPERASI 7. TEKNIK KOMPILASI 8. KEAMANAN KOMPUTER

CONTOH PERSOALAN SEHARI-HARI 1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dibuat dari 8 karakter? 2. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b? 3. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula? 4. “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama? 5. Diberikan dua buah algoritma yang berbeda untuk menyelesaikan sebuah persoalan, bagaimana menentukan algoritma mana yang terbaik?

LOGIKA Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Menurut KBBI, defenisi penalaran adalah cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Contoh : Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

1. 1 PROPOSISI Proposisi (preposition) merupakan kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya, yang digunakan dalam penalaran. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran (truth value). Contoh 1 : 1. 6 adalah bilangan genap. Proposisi (true) 2. 2 + 2 = 4. Proposisi (true) 3. Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang. (false) 4. Kemarin hari hujan. Proposisi Bukan proposisi

1. 1 PROPOSISI Contoh 2 : 1. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Kalimat tanya 2. Serahkan uangmu sekarang! Kalimat perintah 3. X + 3 = 8. Bukan proposisi 4. X > 3. Bukan proposisi 5. X + Y = Y + X untuk setiap X dan Y bilangan rill. Proposisi

1. 1 PROPOSISI Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic), sedangkan bidang logika yang membentuk proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah seperti contoh 2. 3 dan 2. 4 dinamakan kalkulus predikat. Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r, . . . Misalnya : p : 6 adalah bilangan genap. Proposisi (false) q : 2 + 2 = 5. Proposisi (true)

1. 2 MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika Operator logika dasar yang biasa digunakan antara lain : 1. Dan (and) , disebut juga operator biner. 2. Atau (or), disebut juga operator biner. 3. Tidak (not), disebut juga operator uner (hanya membutuhkan satu proposisi). Proposisi hasil pengkombinasian disebut proposisi majemuk (compound proposition), sedangkan yang bukan hasil kombinasi disebut proposisi atomik.

1. 2 MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI Contoh 3 : Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : hari ini hujan q : murid-murid diliburkan dari sekolah Maka : p ^ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah P v q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah ~ p : tidak benar hari ini hujan (hari ini tidak hujan) ~ q : tidak benar murid-murid diliburkan dari sekolah

1. 2 MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI Latihan 1 : Diketahui proposisi-proposisi berikut : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Nyatakan proposisi-proposisi di bawah ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik) 1. Pemuda itu tinggi dan tampan 2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan 3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan 4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan 5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan 6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

1. 3 TABEL KEBENARAN Tabel kebenaran AND Tabel kebenaran OR p q p^q p q pvq T T T T F F T F T F F T T F F F Tabel kebenaran NOT p q T F F T

1. 3 TABEL KEBENARAN Latihan 2 : Jika p, q dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut ini : 1. (p ^ q) v (~q ^ r) 2. p v ~(p ^ q) 3. (p ^ q) ^ ~(p v q) 4. ~(p ^ q) 5. ~p v ~q

1. 4 DISJUNGSI EKSKLUSIF Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara : 1. inklusif or (inclusive or) yaitu p atau q atau keduanya Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai bahasa C++ atau Java. 2. ekslusif or (exclusive or) yaitu p atau q tetapi bukan keduanya Contoh : Pemenang lomba mendapat hadiah TV atau uang Tabel kebenaran inclusive or p q pvq Tabel kebenaran exclusive or p q p er q T T T F T F T T F F F

1. 5 HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI 1. Hukum identitas 6. Hukum penyerapan (absorpsi) 2. Hukum null / dominasi 7. Hukum komutatif 3. Hukum negasi 8. Hukum asosiatif 4. Hukum idempoten 9. Hukum distributif 5. Hukum involusi (negasi ganda) 10. Hukum De Morgan

1. 6 OPERASI LOGIKA DI DALAM KOMPUTER Bahasa pemrograman menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika. Tipe data boolean hanya mempunyai dua konstanta nilai yaitu true dan false. Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR (exclusive OR) dan NOT. Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran true adalah 1 Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran false adalah 0 Operasi bit dapat diperluas untuk rangkaian bit yang panjangnya tetap. Operasi ini dinamakan bitwise.

1. 7 PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI) Selain dalam bentuk AND, OR dan NOT, proposisi majemuk juga dapat muncul dalam bentuk bersyarat (implikasi) jika p maka q. Contoh : a. Jika adik lulus ujian maka ia mendapat hadiah dari ayah. b. Jika suhu mencapai 800 C, maka alarm berbunyi. c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri. Tabel kebenaran bersyarat (implikasi) p q T T F F F T T F F T

1. 7 PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI) Latihan 3 : Misalkan x : Anda berusia 17 tahun. y : Anda dapat memperoleh SIM. Nyatakan proposisi berikut ke dalam notasi implikasi : 1. Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM 2. Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun 3. Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun 4. Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun 5. Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17

1. 7 PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI) Latihan 4 : Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama memiliki moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua memiliki moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?

1. 8 VARIAN PROPOSISI BERSYARAT Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan “jika p maka q”, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi, yaitu : 1. Konvers (kebalikan) 2. Invers 3. Kontraposisi : q : ~p p ~q : ~q ~p

1. 9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI) Proposisi bersyarat lainnya adalah “p jika dan hanya jika q”, yang dilambangkan dengan p q Tabel kebenaran bikondisional p q T T F F F T

1. 9 BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI) p q ekivalen secara logika dengan (p q) ^ (q p). Dapatkah anda membuktikan ekivalensinya? Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional dalam kata-kata, yaitu : 1. p jika dan hanya jika q. 2. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. 3. Jika p maka q, dan sebaliknya. 4. p iff q. 5. p if and only if q. 6. p is necessary and sufficient for q. 7. If p then q, and conversely

1. 10 INFERENSI Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi, diantaranya : 1. Modus Ponen atau law of detachment. 2. Modus Tollen 3. Silogisme hipotesis 4. Silogisme disjungtif 5. Simplifikasi 6. Penjumlahan 7. Konjungsi

1. 10 INFERENSI – MODUS PONEN Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ (p p q : hipotesis p : hipotesis q : konklusi q)) q dimana Contoh : Implikasi “jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis “ 20 habis dibagi 2” keduanya benar, maka inferensi modus ponen adalah sbb : p q : jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap hipotesis p : 20 habis dibagi 2 hipotesis q : 20 adalah bilangan genap konklusi

1. 10 INFERENSI – MODUS TOLLEN Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p p q)] ~p dimana q : hipotesis ~p : konklusi Contoh : Implikasi “jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil” dan hipotesis “n 2 bernilai genap” keduanya benar, maka inferensi modus tollen adalah sbb : p q : jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil hipotesis ~q : n 2 bernilai genap hipotesis ~p : n bukan bilangan ganjil konklusi

1. 10 INFERENSI – SILOGISME HIPOTESIS Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p p q : hipotesis q r : hipotesis p r : konklusi q) dan (q r)] (p r) dimana Contoh : Implikasi “jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi “jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah” keduanya benar, maka inferensi silogisme hipotesis adalah : p q : jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian hipotesis q r : jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah hipotesis p r : jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah konklusi

1. 10 INFERENSI – DISJUNGTIF Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p] pvq : hipotesis ~p : hipotesis q : konklusi q dimana Contoh : Inferensi berikut “Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan” dan inferensi “Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan”, maka inferensi kaidah silogisme disjungtifadalah sbb : pvq : Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan hipotesis ~p : Saya tidak belajar dengan giat hipotesis q : saya menikah tahun depan konklusi

1. 10 INFERENSI – SIMPLIFIKASI Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q) p^q : hipotesis p : konklusi p dimana Contoh : “Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR” , maka inferensi simplifikasi adalah sbb : p^q : Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR hipotesis p : Hamid adalah mahasiswa ITB konklusi

1. 10 INFERENSI – PENJUMLAHAN Kaidah ini didasarkan pada tautologi p p : hipotesis pvq : konklusi (p v q) dimana Contoh : “Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah penjumlahan adalah sbb : p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit hipotesis q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma konklusi

1. 10 INFERENSI – KONJUNGSI Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q)) p : hipotesis q : hipotesis p^q : konklusi (p ^ q) dimana Contoh : “Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah konjungsi adalah : p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit hipotesis q : Taslim mengulang kuliah Algoritma hipotesis p^q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma konklusi

1. 11 ARGUMEN Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai berikut : p 1, p 2, p 3, . . . . pn, q p 1, p 2, p 3, . . . . pn q : hipotesis : konklusi Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid) Contoh : 1. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang. ” 2. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut” Buktikan apakah kedua kalimat di atas adalah valid atau invalid?