PENGENALAN MATEMATIKA DISKRIT Matematika diskrit merupakan cabang ilmu
PENGENALAN MATEMATIKA DISKRIT � Matematika diskrit merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari objek-objek diskrit � Suatu objek disebut diskrit jika - Terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau Elemen-elemen tidak bersambungan (unconnected) � Komputer digital bekerja secara diskrit dengan unit terkecil yang disebut bit.
PERTEMUAN 2
LOGIKA � Logika merupakan studi penalaran (reasoning) � Penalaran yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman � Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antar pernyataan (statement) � Dalam matematika, hukum-hukum logika digunakan untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid
� Contoh � Setiap orang yang memakai dasi adalah pejabat � Semua pejabat adalah pegawai pemerintah � Jadi, semua orang yang memakai dasi adalah pegawai pemerintah • Logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan tersebut benar atau salah tetapi jika kedua pernyataan tersebut benar maka penalaran dengan logika membawa kita kepada suatu kesimpulan
Proposisi � Dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika, hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition)
Mana yang proposisi? 6 adalah bilangan genap � Soekarno adalah presiden pertama RI � 2+2=4 � Ibukta provinsi Jawa Barat adalah Semarang � 12<=19 � Kemarin hari hujan � Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius � Pemuda itu pandai � Kiamat akan terjadi 10 tahun lagi � Jam berapa kereta api Kinantan tiba di Medan? � Kumpulkan tugas anda sekarang! � X+3=8 � X>3 � Untuk sembarang bilangan bulat n>=0 maka 2 n adalah bilangan genap � X + Y = Y + X untuk setiap X dan Y bilangan riil �
� Secara simbolik, proposisi biasanya di lambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r, …, misalkan: p: 6 adalah bilangan genap Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “ 6 adalah bilangan genap”.
Mengkombinasikan proposisi � Proposisi baru bisa dibentuk dengan mengkombinasikan satu atau lebih proposisi menggunakan operator logika and, or, not � Proporsisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition) � Proposisi yang bukan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik
� Proposisi majemuk ada tiga macam: � Konjungsi (proposisi p and q) p Λq � Disjungsi (proposisi p or q) p vq � Ingkaran (proposisi ~ p not p) � Contoh p: hari ini hujan q: kuliah diliburkan maka p Λ q : hari ini hujan dan kuliah diliburkan p v q : hari ini hujan atau kuliah diliburkan ~p : tidak benar hari ini hujan
p: hari ini hujan q: hari ini dingin (a) (b) (c) (d) (e) Hari ini hujan dingin Hari ini hujan tapi tidak dingin Hari ini tidak hujan maupun dingin Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan atau tidak dingin Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan maupun dingin
Tabel Kebenaran � Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proporsi atomiknya dengan cara menghubungkannya dengan operator logika � Konjungsi p Λ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah � Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar � Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar � Cara praktis untuk menentukan nilai kebenaran proporsisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran
p q pΛq p vq p ~p T T T T F F T F T F F T T F F F True q: bilangan prima selalu ganjil False hasilnya? � p: 17 adalah bilangan prima � Tabel kebenarannya untuk ~(p Λ q) v (~p Λ q)?
Tautologi dan Kontradiksi � Sebuah proporsi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus p q T T T F F pΛq ~(pΛq) pv~(pΛq)
p q T T T F F pΛq pvq ~(pvq) (pΛq) Λ~(pvq)
Hukum De Morgan � Terdapat banyak cara untuk menuliskan ekspresi logika yang pada hakekatnya semua ekspresi logika tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama p q pΛq ~(pΛq) p q ~p ~q ~pv~q T T T F F F T T F T F T F F F T T T � Bentuk keekivalenan ini dikenal dengan nama Hukum De Morgan
Eksklusif Or (XOR) � Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive Or p dan q dinyatakan dengan notasi p q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah
Hukum-Hukum Logika (Hukum-Hukum Aljabar Proporsi) 1. Hukum Identitas (i) p V F ↔ p (ii) p Λ T ↔ p 2. Hukum null/dominasi (i) p Λ F ↔ F (ii) p V T ↔ T 3. Hukum negasi (i) p V ~p ↔ T (ii) p Λ ~p ↔ F 4. Hukum Idempoten (i) p V p ↔ p (ii) p Λ p ↔ p 5. Hukum invousi (negasi ganda) (i) ~(~p) ↔ p 6. Hukum absorbsi (penyerapan) (i) p V (p Λ q) ↔ p (ii) p Λ (p V q) ↔ p 7. Hukum komutatif (i) p V q ↔ q V p (ii) p Λ q ↔ q Λ p 8. Hukum asosiatif (i) p V (q V r) ↔ (p V q) V r (ii) p Λ (q Λ r) ↔ (p Λ q) Λ r 9. Hukum distributif 10. Hukum De Morgan (i) p V (q Λ r) ↔ (p V q) Λ (p V r) (i) ~(p Λ q) ↔ ~p V ~q (ii) p Λ (q V r) ↔ (p Λ q) V (p Λ r) (ii) ~(p V q) ↔ ~p Λ ~q
� Tunjukkan bahwa p V ~(p v q) ↔ p v ~q � Buktikan hukum absorbsi: p Λ (p V q) ↔ p
Operasi Logika dalam Komputer �Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika �Contoh dalam pemrograman Pascal: var x : boolean; begin x : = false; if not (x) then write (‘unisma’); end.
Latihan 1. Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p: Pelayanan baik, dan q: Tarif kamar murah, dan r: Hotelnya berbintang tiga. Terjemahkan proporsi-proporsi berikut dalam notasi simbolik (menggunakan p, q, r) (a) (b) 2. Misalkan p adalah “Hari ini hari rabu”, d adalah “Hujan turun”, dan r adalah “Hari ini panas”. Terjemahkan notasi simbolik ini dengan kata-kata: (a) 3. Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk Tarif kmarnya mahal atau pelayannya baik, namun tidak keduanya p. Vq (b) ~(p V q) Λ r Tuliskan tabel kebenaran untuk setiap proporsi berikut: (a) (p V q) Λ ~p (b) (~p V ~q) V p (c) ~(p Λ q) V (~q V r) (c) ~p Λ (q V r)
- Slides: 20