Kuliah 9 6 GRAF Matematika Diskrit Dr Ing

  • Slides: 38
Download presentation
Kuliah 9 6. GRAF Matematika Diskrit Dr. -Ing. Erwin Sitompul http: //zitompul. wordpress. com

Kuliah 9 6. GRAF Matematika Diskrit Dr. -Ing. Erwin Sitompul http: //zitompul. wordpress. com

Pekerjaan Rumah (PR 7) Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension

Pekerjaan Rumah (PR 7) Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension Program, PU, akan dipilih dari 50 orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih ketua dan bendahara, apabila: (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. • Posisi ketua himpunan berbeda dengan posisi bendahara himpunan. • Urutan penentuan posisi dalam hal ini diperhatikan. • Permasalahan pada PR ini berhubungan dengan permutasi. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/2

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. Amir tidak terpilih sebagai ketua dan tidak mau bertugas, akibatnya dari 49 anggota lain akan dipilih ketua dan bendahara Amir terpilih sebagai ketua, dengan 49 pilihan untuk mengisi posisi bendahara Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/3

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. Keinginan Budi dan Cora tidak tercapai, dari 48 orang akan dipilih 2 orang untuk mengisi posisi yang tersedia Budi dan Cora terpilih untuk bertugas bersama, terdapat 2 cara Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/4

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. Dudi

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 7) (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. Dudi sebagai bendahara, Encep tidak sebagai ketua Dudi sebagai ketua, Encep tidak sebagai bendahara Keseluruhan cara yang mungkin Erwin Sitompul Dudi dan Encep sama-sama tidak terpilih, baik sebagai ketua maupun bendahara Encep sebagai bendahara, Dudi tidak sebagai ketua Encep sebagai ketua, Dudi tidak sebagai bendahara Kejadian dimana Dudi dan Encep bekerja bersama-sama Matematika Diskrit 9/5

Definisi Graf § Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut.

Definisi Graf § Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut. § Gambar di bawah ini adalah sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/6

Jembatan Königsberg (1736) § Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali

Jembatan Königsberg (1736) § Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? § Sebuah graf dapat merepresentasikan rangkaian jembatan Königsberg: § Simpul (vertex) menyatakan daratan § Busur (arc) atau sisi (edge) menyatakan jembatan Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/7

Representasi Graf G = (V, E) dimana: V = Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)

Representasi Graf G = (V, E) dimana: V = Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v 1, v 2, . . . , vn } E = Himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul = { e 1, e 2, . . . , en } Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/8

Representasi Graf § G 1 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3,

Representasi Graf § G 1 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4) } G 1 Graf sederhana Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/9

Representasi Graf § G 2 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3,

Representasi Graf § G 2 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4) } = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7} G 2 Graf ganda Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/10

Representasi Graf § G 3 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3,

Representasi Graf § G 3 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 3) } = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G 3 Graf semu Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/11

Klasifikasi Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda (double edge) pada suatu

Klasifikasi Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda (double edge) pada suatu graf, maka graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1. Graf sederhana (simple graph), yaitu graf yang tidak mempunyai gelang maupun sisi ganda. 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph), yaitu graf mempunyai sisi ganda atau gelang. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/12

Klasifikasi Graf Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara umum graf diklasifikasikan atas 2

Klasifikasi Graf Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara umum graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1. Graf tak-berarah (undirected graph), yaitu graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. 2. Graf berarah (directed graph atau digraph), yaitu graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/13

Contoh Terapan Graf § Analisa Program t: =0; read(x); while x <> 1945 do

Contoh Terapan Graf § Analisa Program t: =0; read(x); while x <> 1945 do begin if x < 0 then writeln(‘Tahun tidak boleh negatif. ’); else t: =t+1; read(x); end; writeln(‘Tertebak sesudah’, t, ’kali coba. ’); 1 2 3 4 5 6 7 8 : : : : t: =0 read(x) x <> 1945 x < 0 writeln(‘Tahun. . . ’) t: =t+1 read(x) writeln(‘Tertebak. . . ) Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/14

Contoh Terapan Graf § Teori Automata pada Mesin Penjaja (Vending Machine) D : Dime

Contoh Terapan Graf § Teori Automata pada Mesin Penjaja (Vending Machine) D : Dime (10 cent) Q : Quarter (25 cent) Harga 1 botol minuman 45 cent Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/15

Terminologi Graf 1. Ketetanggaan (Adjacency) § Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung

Terminologi Graf 1. Ketetanggaan (Adjacency) § Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. § Tinjau graf G 1: Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3. Simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4. G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/16

Terminologi Graf 2. Bersisian (Incidency) § Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan

Terminologi Graf 2. Bersisian (Incidency) § Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , dan e bersisian dengan simpul vk. § Tinjau graf G 1: Sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3. Sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4. Sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4. G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/17

Terminologi Graf 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) § Simpul terpencil ialah simpul yang tidak

Terminologi Graf 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) § Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. § Tinjau graf G 4: Simpul 5 adalah simpul terpencil. G 4 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/18

Terminologi Graf 4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph) § Graf kosong adalah graf

Terminologi Graf 4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph) § Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. § Tinjau graf G 5: merupakan graf kosong. G 5 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/19

Terminologi Graf 5. Derajat Simpul (Degree of Vertex) § Derajat suatu simpul adalah jumlah

Terminologi Graf 5. Derajat Simpul (Degree of Vertex) § Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. § Notasi: d(v). § Tinjau graf G 1: d(1) = d(4) = 2. d(2) = d(3) = 3. G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/20

Terminologi Graf §Tinjau graf G 4: d(5) = 0 simpul terpencil d(4) = 1

Terminologi Graf §Tinjau graf G 4: d(5) = 0 simpul terpencil d(4) = 1 simpul gantung (pendant vertex) §Tinjau graf G 6: d(1) = 3 bersisian dengan sisi ganda d(3) = 4 bersisian dengan sisi gelang (loop) G 4 Erwin Sitompul G 6 Matematika Diskrit 9/21

Terminologi Graf § Pada graf berarah: din(v) = derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yang

Terminologi Graf § Pada graf berarah: din(v) = derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul dout(v) = derajat-keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v) = din(v) + dout(v) Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/22

Terminologi Graf §Tinjau graf G 7: din(1) = 2 din(2) = 2 din(3) =

Terminologi Graf §Tinjau graf G 7: din(1) = 2 din(2) = 2 din(3) = 2 din(4) = 1 dout(1) = 1 dout(2) = 3 dout(3) = 1 dout(4) = 2 G 7 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/23

Terminologi Graf Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma) § Jumlah derajat semua simpul pada suatu

Terminologi Graf Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma) § Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. § Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka § Tinjau graf G 1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = =2+3+3+2 = 2 jumlah sisi =2 5 G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/24

Terminologi Graf § Tinjau graf G 4: d(1) + d(2) + d(3) + d(4)

Terminologi Graf § Tinjau graf G 4: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) =2+2+3+1+0 = 2 jumlah sisi =2 4 § Tinjau graf G 6: d(1) + d(2) + d(3) =3+3+4 = 2 jumlah sisi =2 5 G 4 Erwin Sitompul G 6 Matematika Diskrit 9/25

Terminologi Graf Contoh: Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar

Terminologi Graf Contoh: Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing simpulnya adalah: (a) 2, 3, 1, 1, 2 ? (b) 2, 3, 3, 4, 4 ? Solusi: (a) Tidak dapat, karena 2 + 3 + 1 + 2 = 9 adalah ganjil. (b) Dapat, karena 2 + 3 + 4 = 16 adalah genap. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/26

Terminologi Graf 6. Lintasan (Path) § Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v

Terminologi Graf 6. Lintasan (Path) § Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah urutan berselang-seling antara simpul dan sisi yang berbentuk v 0, e 1, v 1, e 2, v 2, . . . , vn – 1, en, vn sedemikian sehingga e 1 = (v 0, v 1), e 2 = (v 1, v 2), . . . , en = (vn– 1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G. § Panjang lintasan ditentukan oleh jumlah sisi dalam lintasan tersebut. § Tinjau graf G 1: Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan urutan sisi (1, 2), (2, 4), dan (4, 3). Panjang lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3. G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/27

Terminologi Graf 7. Sirkuit (Circuit) § Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang

Terminologi Graf 7. Sirkuit (Circuit) § Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit. § Tinjau graf G 1: Lintasan 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit. Panjang sirkuit 1, 2, 3, 1 adalah 3. G 1 Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/28

Terminologi Graf 8. Keterhubungan (Connectivity) § Dua buah simpul v 1 dan simpul v

Terminologi Graf 8. Keterhubungan (Connectivity) § Dua buah simpul v 1 dan simpul v 2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 ke v 2. § Suatu graf G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj. § Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph). § Contoh graf tak-terhubung: Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/29

Terminologi Graf § Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf takberarahnya terhubung (graf tak-berarah

Terminologi Graf § Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf takberarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan semua arah/kepala panah). § Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut simpul terhubung kuat (strongly connected vertex) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. § Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi graf tak-berarahnya terhubung, maka u dan v dikatakan simpul terhubung lemah (weakly connected vertex). Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/30

Terminologi Graf § Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila

Terminologi Graf § Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila sembarang pasangan simpul u dan v di G terhubung kuat. § Bila tidak, G disebut graf terhubung lemah. Graf terhubung lemah Erwin Sitompul Graf terhubung kuat Matematika Diskrit 9/31

Terminologi Graf 9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf § Misalkan G = (V, E)

Terminologi Graf 9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf § Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf, maka G 1 = (V 1, E 1) merupakan subgraf (subgraph) dari G jika V 1 V dan E 1 E. § Komplemen dari subgraf G 1 terhadap graf G adalah graf G 2 = (V 2, E 2) sedemikian sehingga E 2 = E – E 1 dan V 2 adalah himpunan simpul-simpul dengan mana anggota-anggota E 2 bersisian. G 8 Erwin Sitompul Sebuah subgraf dari G 8 Komplemen subgraf Matematika Diskrit 9/32

Terminologi Graf 10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph) § Subgraf G 1 = (V 1,

Terminologi Graf 10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph) § Subgraf G 1 = (V 1, E 1) dari G = (V, E) dikatakan subgraf rentang jika V 1 = V, yaitu bila G 1 mengandung semua simpul dari G. G 9 Erwin Sitompul Subgraf rentang dari G 9 Bukan subgraf rentang dari G 9 Matematika Diskrit 9/33

Terminologi Graf 11. Himpunan Potong (Cut Set) § Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung

Terminologi Graf 11. Himpunan Potong (Cut Set) § Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G akan menyebabkan G tidak terhubung. § Pada graf di bawah, { (1, 2), (1, 5), (3, 4) } adalah cut-set. G 10 Erwin Sitompul G 10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung Matematika Diskrit 9/34

Terminologi Graf § Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah lebih dari satu.

Terminologi Graf § Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah lebih dari satu. § Misalnya, himpunan { (1, 2), (2, 5)}, { (1, 3), (1, 5), (1, 2)} dan { (2, 6) } adalah juga cut-set dari G 10. § { (1, 2), (2, 5), (4, 5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, { (1, 2), (2, 5) } adalah cut-set. G 10 Erwin Sitompul G 10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung Matematika Diskrit 9/35

Terminologi Graf 12. Graf Berbobot (Weighted Graph) § Graf berbobot adalah graf yang setiap

Terminologi Graf 12. Graf Berbobot (Weighted Graph) § Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi bilangan pembobot. Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/36

Pekerjaan Rumah (PR 9) Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah

Pekerjaan Rumah (PR 9) Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. (a) Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C. (b) Tuliskan semua sirkuit yang ada. (c) Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada. (d) Gambarkan subgraf G 1 = { B, C, X, Y }. (e) Gambarkan komplemen dari subgraf G 1. Graf G Erwin Sitompul Matematika Diskrit 9/37

Pekerjaan Rumah (PR 9) New Perhatikan graf H dibawah ini. (a) Tuliskan paling tidak

Pekerjaan Rumah (PR 9) New Perhatikan graf H dibawah ini. (a) Tuliskan paling tidak 4 lintasan dari b ke c. (b) Tuliskan paling tidak 4 sirkuit. (c) Tuliskan paling tidak 4 himpunan potong dari graf H. (d) Gambar komplemen dari subgraf H 1 terhadap H. (e) Gambar satu graf rentang dari H. Graf H Erwin Sitompul Graf H 1 Matematika Diskrit 9/38