Matematika Diskrit Textbook Kenneth H Rosen Discrete Mathematics

Matematika Diskrit

Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc. Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung Isi : 1. Penalaran Matematika: logika, metoda dan pembuktian. 2. Analisis Kombinatorial: counting, analisis cmb 3. Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian objek diskrit 4. Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas 5. Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet. Matematika Diskrit Kuliah-1 2

Rencana Penilaian • Kehadiran 10 % • Tugas Terstruktur 20 % • Ujian Tengah Semester (UTS) 30 % • Ujian Akhir Semester (UAS) 40 % Matematika Diskrit Kuliah-1 3

Silabus Kuliah (1) 1. Logika, himpunan dan fungsi 2. Algoritma, Teori Bilangan dan matriks 3. Penalaran Matematika, Induksi dan Rekursi 4. Dasar-dasar Counting UTS (? ) Matematika Diskrit Kuliah-1 4

Silabus Kuliah (2) 7. Teori Peluang Diskrit 8. Advanced Counting 9. Relasi 10. Graph 11. Tree dan aplikasinya 12. Aljabar Boole UAS Matematika Diskrit Kuliah-1 5

Tentang Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari CS 320 -Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun (http: //www. cs. umb. edu/~marc/). Publikasi di internet telah dilakukan seijin Pof. Marc. This Lecture Notes is Indonesian translation and modification of Marc Pomplun’s CS 320 -Discrete Mathematics (http: //www. cs. umb. edu/~marc/). Publication in my website has been permitted by Prof. Marc. Matematika Diskrit Kuliah-1 6

Mengapa matematika diskrit ? • Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit. • Dengan demikian, baik – Struktur (rangkaian) dan juga – Operasi (eksekusi algoritma) Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit Matematika Diskrit Kuliah-1 7

Perangkat Matematika Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit: • Logika Matematika (Logic) • Teori Himpunan (Set Theory) • Fungsi (Functions) • Deretan (Sequences) Matematika Diskrit Kuliah-1 8

Logika • Berguna untuk melakukan penalaran matematika • Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik. • Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi. • Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya. • Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah. • Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0 Matematika Diskrit Kuliah-1 9

Proposisi atau Pernyataan “Gajah lebih besar daripada tikus. ” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? Matematika Diskrit Kuliah-1 BENAR 10

Proposisi atau Pernyataan “ 520 < 111” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? Matematika Diskrit Kuliah-1 SALAH 11

Proposisi atau Pernyataan “y > 5” Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? YA TIDAK Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. Matematika Diskrit Kuliah-1 12

Proposisi atau Pernyataan “Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5. ” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? Matematika Diskrit Kuliah-1 SALAH 13

Proposisi atau Pernyataan “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi. Matematika Diskrit Kuliah-1 14

Proposisi atau Pernyataan “x < y jika dan hanya jika y > x. ” Apakah ini pernyataan ? Apakah ini proposisi ? … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? Matematika Diskrit Kuliah-1 YA YA BENAR 15

Penggabung Proposisi Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan. Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika. Matematika Diskrit Kuliah-1 16

Operator logika Kita akan membahas operator-operator berikut: • Negasi (NOT) • Konjungsi (AND) • Disjungsi (OR) • Eksklusif OR (XOR) • Implikasi (jika – maka) • Bikondisional (jika dan hanya jika) Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan. Matematika Diskrit Kuliah-1 17

Negasi (NOT) Operator Uner, Lambang: P P Benar Salah Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 18

Konjungsi (AND) Operator Biner, Lambang: P Q Benar Salah Benar Salah Matematika Diskrit Kuliah-1 19

Disjungsi (OR) Operator Biner, Lambang: P Q Benar Benar Salah Salah Matematika Diskrit Kuliah-1 20

Eksklusif Or (XOR) Operator Biner, Lambang: P Q Benar Salah Benar Salah Matematika Diskrit Kuliah-1 21

Implikasi (jika - maka) Operator Biner, Lambang: P Q Benar Salah Benar Salah Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 22

Bikondisional (jika dan hanya jika) Operator Biner, Lambang: P Q Benar Salah Salah Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 23

Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. P Q P Q ( P) ( Q) Benar Salah Benar Salah Benar Salah Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 24

Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. (P Q) ( P) ( Q) Benar Salah Benar Salah Benar Salah Benar P Q Matematika Diskrit Kuliah-1 25

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen (P Q ( P) ( ) Q) (P Q) ( P) ( Q) P Q Benar Salah Benar Benar Salah Benar Pernyatan (P Q) dan ( P) ( Q) adalah ekivalen secara logis, karena (P Q) ( P) ( Q) selalu benar. Matematika Diskrit Kuliah-1 26

Tautologi dan Kontradiksi Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar Contoh: • R ( R) • (P Q) ( P) ( Q) Jika S T sebuah tautologi, kita tulis S T. JIka S T sebuah tautologi, kita tulis S T. Matematika Diskrit Kuliah-1 27

Kontradiksi Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. Contoh: • R ( R) • ( (P Q) ( P) ( Q)) Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi. Matematika Diskrit Kuliah-1 28

Latihan Kita tahu tautologi berikut: (P Q) ( P) ( Q) Latihan di kelas : Tunjukkan bahwa (P Q) ( P) ( Q). Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De Morgan Matematika Diskrit Kuliah-1 29

Proposisi dan Fungsi proposisi (kalimat terbuka) : Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih. Contoh : x - 3 > 5. Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dimana P adalah predikat dan x adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? Salah Apakah nilai kebenaran dari P(8) ? Salah Apakah nilai kebenaran dari P(9) ? Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 30

Fungsi Proposisi Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: x + y = z. Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ? Salah Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ? Benar Matematika Diskrit Kuliah-1 31

Kuantifikasi Universal Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Kalimat yg dikuantifikasi secara universal : Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar. Dengan kuantifier universal : x P(x) “untuk semua x P(x)” “untuk setiap x P(x)” atau (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi. ) Matematika Diskrit Kuliah-1 32

Kuantifikasi Universal Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti dari x (S(x) G(x)) ? “Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai” atau “Semua mahasiswa IT pandai. ” Matematika Diskrit Kuliah-1 33

Kuantifikasi Eksistensial Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial: Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) benar. Dengan peng-kuantifikasi eksistensial : x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x). ” “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x). ” (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi. ) Matematika Diskrit Kuliah-1 34

Kuantifikasi Eksistensial Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti x (P(x) G(x)) ? “Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai. ” atau “Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai. ” Matematika Diskrit Kuliah-1 35

Kuantifikasi Contoh lain : Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil. Apakah arti dari x y (x + y = 320) ? “Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320. ” Apakah pernyataan ini benar ? Ya Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Tidak Matematika Diskrit Kuliah-1 36

Disproof dengan counterexample Counterexample dari x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. Pernyataan seperti x (P(x) Q(x)) dapat didisproof secara sederhana dengan memberikan counterexample-nya. Pernyataan: “Semua burung bisa terbang. ” Disproved dengan counterexample: Penguin. Matematika Diskrit Kuliah-1 37

Negasi ( x P(x)) ekivalen scr logis dengan x ( P(x)). Lihat Table 3 dalam Section 1. 3. Latihan soal pada Exercises 5 dan 9, Section 1. 3. Matematika Diskrit Kuliah-1 38