KOMBINATORIAL PELUANG DISKRIT KOMBINASI MATEMATIKA DISKRIT Ilustrasi Misal

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI MATEMATIKA DISKRIT

Ilustrasi Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing kaleng 1 buah kelereng. Kaleng 1 Kelereng sama m Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 h 2 3 sama 3 cara sama Matematika Diskrit 1

Ilustrasi (Cont. ) Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng Matematika Diskrit 2

Definisi • Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : F jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen • Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi • Perbedaan permutasi dengan kombinasi : Ä Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Ä Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan • Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r : • C(n, r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek Matematika Diskrit 3

Interpretasi Kombinasi 1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda Contoh : Misal A = {1, 2, 3} Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A : {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} 3 buah {2, 3} = {3, 2} Matematika Diskrit 4

Interpretasi Kombinasi (Cont. ) 2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh : Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama). Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah : Matematika Diskrit 5

Contoh 1 • Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a, b, c, d} ? Matematika Diskrit 6

Solusi • Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting {a, b, c} , {a, b, d} , {a, c, d} dan {b, c, d} Sehingga : Matematika Diskrit 7

Contoh 2 • Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ? Matematika Diskrit 8

Solusi • Diketahui: F Nasi goreng = r = 3 kali F Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari Maka : Matematika Diskrit 9

Contoh 3 • Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ? b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ? Matematika Diskrit 10

Solusi • 1 byte = 8 bit (posisi 0. . 7) • 1 bit terdiri dari “ 1” atau “ 0” • Maka : a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) : : Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 : Matematika Diskrit 11

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8, 0) Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8, 2) Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8, 4) Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8, 6) Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8, 8) Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap : C(8, 0) + C(8, 2) + C(8, 4) + C(8, 6) + C(8, 8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128 Matematika Diskrit 12

Contoh 4 • Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ? Matematika Diskrit 13

Solusi • Pria = 7 orang • Wanita = 5 orang • Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita • Maka : – Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7, 4) x C(5, 0) = 35 x 1 = 35 – Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7, 3) x C(5, 1) = 35 x 5 = 175 • Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya : C(7, 4) x C(5, 0) + C(7, 3) x C(5, 1) = 35 + 175 = 210 cara Matematika Diskrit 14

Contoh 5 • Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ? Matematika Diskrit 15

Solusi • Diketahui : • Misalkan : • Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : – Kamar = 3 buah (A, B dan C) – Penghuni = n = 10 orang i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10, 4)x. C(6, 3)x. C(3, 3) = C(10, 4)x. C(6, 3) ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10, 3)x. C(7, 4)x. C(3, 3) = C(10, 3)x. C(7, 4) iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10, 3)x. C(7, 3)x. C(4, 4) = C(10, 3)x. C(7, 3) atau C(10, 4)x. C(6, 3) + C(10, 3)x. C(7, 4) + C(10, 3)x. C(7, 3) = 210 x 20 + 120 x 35 = 12600 C(10, 4)x. C(6, 3) + C(10, 3)x. C(7, 4) + C(10, 3)x. C(7, 3) = 3 C(10, 4) x C(6, 3) = 3 x 210 x 20 = 12600 Matematika Diskrit 16

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum • Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama) n 1 bola diantaranya berwarna 1 n 2 bola diantaranya berwarna 2 … nk bola diantaranya berwarna k Sehingga n 1 + n 2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ? Matematika Diskrit 17

• Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n, n) = n ! • Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : n 1! cara memasukkan bola berwarna 1 n 2! cara memasukkan bola berwarna 2 … nk! cara memasukkan bola berwarna k • Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum : Matematika Diskrit 18

• Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak ada C(n, n) cara n 1 buah bola berwarna 1 • Bola berkurang n 1 sehingga sisa n - n 1 kotak ada C(n-n 1, n 2) cara buah bola berwarna 2 • Bola berkurang (n 1 + n 2 )sehingga sisa n - n 1 - n 2 kotak ada C(n-n 1 - n 2, n 3) cara buah bola berwarna 3 • Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak • Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah : Matematika Diskrit 19

• Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n 1, n 2, … , nk (jumlah objek seluruhnya n 1 + n 2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah : Matematika Diskrit 20

Contoh 6 • Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf dari kata MISSISSIPPI ? Matematika Diskrit 21

Solusi • • S = {M, I, S, S, I, P, P, I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehingga n = 1 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S Ada 2 cara : i. Permutasi : Jumlah string = P(n; n 1, n 2, n 3, n 4) = P(11; 1, 4, 4, 2) = 34650 buah ii. Kombinasi : Jumlah string = C(11, 1) C(10, 4) C(6, 4) C(2, 2) = 34650 buah Matematika Diskrit 22

Contoh 7 • Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ? Matematika Diskrit 23

Solusi • Diketahui : n 1 = 3 n 2 = 2 n = 12 n 3 = 2 n 4 = 5 • Jumlah cara pewarnaan : Matematika Diskrit 24

Kombinasi Pengulangan • Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Ä Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n, r) Ä Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n+r-1, r) • C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan Matematika Diskrit 25

Contoh 8 • Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ? Matematika Diskrit 26

Solusi • Diketahui : n = 5 orang anak r 1 = 20 buah apel r 1 = 15 buah jeruk • 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1, r) = C(5+20 -1, 20) = C(24, 20) • 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1, r) = C(5+15 -1, 15) = C(19, 15) • Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah : C(24, 20) C(19, 15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41. 186. 376 cara Matematika Diskrit 27

Contoh 9 • Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah) Matematika Diskrit 28

Solusi • Diketahui : n = 8 macam roti r = 1 lusin = 12 buah roti • Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti. • Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu : C(n+r-1, r) = C(8+12 -1, 12) = C(19, 12) Matematika Diskrit 29

Contoh 10 • Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ? Matematika Diskrit 30

Solusi • Diketahui : n = 6 6 buah mata dadu r = 3 3 dadu dilemparkan bersamaan • Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1, r) = C(6+3 -1, 3) = C(8, 3) = 56 cara Matematika Diskrit 31

Latihan 1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika : a. Tidak ada batasan jurusan b. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Informatika c. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro d. Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili 2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah) 3. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ? Matematika Diskrit 32

Latihan (cont. ) 4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a, b, c, d, e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ? 5. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria. a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ? b. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita c. Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita 6. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6? Matematika Diskrit 33

Latihan (Cont. ) 5. 7. 9. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ? Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ? Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika : a. Tidak ada huruf pengulangan b. Boleh ada huruf pengulangan c. Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada d. Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada Matematika Diskrit 34

Latihan (Cont. ) 10. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ? Matematika Diskrit 35