GRAF Matematika Diskrit Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan

GRAF Matematika Diskrit

Pendahuluan • Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut • Representasi : • • Objek : noktah, bulatan atau titik Hubungan antar objek : garis C D A B Matematika Diskrit 1

Definisi • Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) • Ditulis dengan notasi : G = (V, E) V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul • Graf trivial adalah : F Graf hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi • Simpul pada graf dinomori dengan : F Huruf (a, b, …, z) atau F Bilangan (1, 2, … ) atau F Huruf dan bilangan (a 1, a 2, …. ) • Sisi yang menghubungkan simpul u dan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan e 1, e 2, …. Sehingga dapat ditulis : e = (u, v) Matematika Diskrit 2

Contoh 1 • G 1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)} 1 2 3 Graf sederhana 4 Matematika Diskrit 3

Contoh 2 • G 2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4)} = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7} Himp. Ganda 1 e 1 2 e 3 e 2 e 6 e 5 4 e 4 3 e 7 • Pada G 2 : sisi e 3 = (1, 3) dan sisi e 4 = (1, 3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) Graf ganda Matematika Diskrit 4

Contoh 3 • G 3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : V = {1, 2, 3, 4} E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 3)} = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8} Himp. Ganda 1 e 4 e 1 e 3 2 e 5 e 6 e 8 3 e 7 4 Matematika Diskrit • Pada G 3 : e 8 = (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) Graf semu 5

Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada atau tidaknya gelang : • Graf sederhana (simple graph) F Graf tidak mengandung gelang maupun sisi ganda F Sisi adalah pasangan tak terurut (unordered pairs) • Graf tak-sederhana (unsimple graph) F Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang Ada 2 macam graf tak-sederhana : F Graf ganda (multigraph) Ä Graf yang mengandung sisi ganda, sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah F Graf semu (pseudograph) Ä Graf yang mengandung gelang (loop), sisi graf semu terhubung ke dirinya sendiri Matematika Diskrit 6

Jenis-jenis Graf (Cont. ) Berdasarkan orientasi arah pada sisi : • Graf tak-berarah (undirected graph) F Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah F Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan • Graf berarah (directed graph atau digraph) F Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah F Biasanya disebut dengan busur (arc) Busur (u, v) : F Simpul u = simpul asal (initial vertex) F Simpul v = simpul terminal (terminal vertex) Matematika Diskrit 7

Jenis-jenis Graf (Cont. ) Jenis Sisi ganda Sisi gelang Graf sederhana Tak berarah Tidak Graf ganda Tak berarah Ya Tidak Graf semu Tak berarah Ya Ya Graf berarah Berarah Tidak Ya Graf gandaberarah Berarah Ya Ya Matematika Diskrit 8

Kardinalitas Graf • Kardinalitas graf adalah : FJumlah simpul pada graf • Dinyatakan dengan : n = |V| • Jumlah sisi dinyatakan dengan : m = |E| Matematika Diskrit 9

Terminologi (Istilah) Dasar • • • Adjacent (bertetangga) Incident (bersisian) Isolated vertex (simpul terpencil) Null graph atau empty graph (graf kosong) Degree (derajat) Path (lintasan) Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) Connected (terhubung) Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf Spanning subgraph (upagraf merentang) Cut – set Weigted graph (graf berbobot) Matematika Diskrit 10

Adjacent (bertetangga) • Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. • Contoh : 1 2 3 4 simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4 Matematika Diskrit 11

Incident (bersisian) • Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v • Contoh : 1 2 3 4 sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4 tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4 Matematika Diskrit 12

Isolated vertex (simpul terpencil) • Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. • Dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya • Contoh : 1 5 3 2 4 Simpul 5 adalah simpul terpencil Matematika Diskrit 13

Null graph atau empty graph (graf kosong) • Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong • Ditulis sebagai : • Contoh : Nn , n = jumlah simpul 1 4 5 2 3 graf di atas adalah graf kosong N 5 Matematika Diskrit 14

Degree (derajat) • Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut • Notasi : • Contoh : d(v) menyatakan derajat simpul v 1 2 3 d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 4 • Sisi terpencil adalah simpul dengan d(v) = 0 karena tidak satupun sisi yang bersisian dengan simpul tersebut • Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua • Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v maka derajat simpul v adalah : d(v) = 2 g + e Matematika Diskrit 15

Degree (derajat) • Simpul yang berderajat satu disebut anting -anting (pendant vertex) • Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), dalam hal ini : din(v) = derajat masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul v dout(v) = derajat keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v Dan d(v) = din(v) + dout(v) Matematika Diskrit 16

Contoh • Derajat setiap simpul : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1 a b c d • Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan : • Sehingga : Matematika Diskrit 17

Path (lintasan) • Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal vo ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk vo, e 1, v 1, e 2, v 2, …, vn-1, en, vn sedemikian sehingga e 1 = (vo, v 1), e 2 = (v 1, v 2), …, en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G • Lintasan sederhana (simple path) : F Jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya sekali) • Lintasan tertutup (closed path) : F Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama • Lintasan terbuka (opened path) : F Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama • Panjang lintasan : F Jumlah sisi dalam lintasan tersebut Matematika Diskrit 18

Contoh 1 2 3 4 • Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan sederhana dan terbuka • Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah lintasan sederhana dan tertutup • Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana tetapi lintasan terbuka • Lintasan 1, 2, 4, 3 memiliki panjang lintasan = 3 Matematika Diskrit 19

Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) • Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus • Sirkuit sederhana (simple circuit) : F jika setiap sisi yang dilalui berbeda • Contoh : • Lintasan 1, 2, 3, 1 sirkuit sederhana • Lintasan 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana karena sisi (1, 2) dilalui 2 kali Matematika Diskrit 20

Connected (terhubung) • Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v) • Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya) • Graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang simpul sembarang vi dan vj di G terhubung kuat Matematika Diskrit 21

Contoh • Graf di samping merupakan graf terhubung kuat karena untuk sembarang sepasang simpul di dalam graf terdapat lintasan • Graf di samping merupakan graf terhubung lemah karena tidak semua pasangan simpul mempunyai lintasan dari dua arah Matematika Diskrit 1 5 2 4 3 22

Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf • Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G 1 = (V 1, E 1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V 1 V dan E 1 E • Komplemen dari upagraf G 1 terhadap G adalah graf G 2 = (V 2, E 2) sedemikian sehingga E 2 = E - E 1 dan V 2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E 2 bersisian dengannya 2 Upagraf dari G 1 Graf G 1 1 1 3 3 Matematika Diskrit 5 1 3 6 6 4 2 4 5 5 Komplemen dari upagraf yang bersesuaian 23

Contoh • Tentukan komponen terhubung dari G = (V, E) dimana V = {a, b, c, d, e, f} dan E = {(a, d), (c, d)} Penyelesaian : simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c, ini berarti a juga terhubung dengan c. Simpul b, e dan f merupakan simpul terpencil. Sehingga ada : Ä G 1 = (V 1, E 1) dengan V 1 = {a, c, d} dan E 1 = {(a, d), (c, d)} Ä G 2 = (V 2, E 2) dengan V 2 = {b} dan E 2 = { } Ä G 3 = (V 3, E 3) dengan V 3 = {e} dan E 3 = { } Ä G 4 = (V 4, E 4) dengan V 4 = {f} dan E 4 = { } Dan b Ä V 1 V 2 V 3 V 4 = V Ä E 1 E 2 E 3 E 4 = E Ä G 1 V 2 V 3 V 4 = a c f d Matematika Diskrit e 24

Spanning subgraph (upagraf merentang) • Upagraf G 1 = (V 1, E 1) dan G = (V, E) dikatakan upagraf merentang jika = V 1 = V (yaitu G 1 mengandung semua simpul dari G) 1 2 1 3 2 4 5 Graf G Matematika Diskrit 4 5 Upagraf merentang dari G 3 Bukan upagraf merentang dari G 25

Cut – set • Cut set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung • Cut selalu menghasilkan 2 buah komponen terhubung • Nama lain : jembatan (bridge) adalah Fhimpunan sisi apabila dibuang dari graf menyebabkan graf tersebut tidak terhubung (menjadi 2 buah komponen terhubung) Matematika Diskrit 26

Contoh Himpunan {(1, 2), (1, 5), (3, 4)} adalah cut-set 2 1 5 3 2 1 5 6 4 3 6 4 • Sisi (1, 2) dibuang, graf tetap terhubung • Jika sisi (1, 2) dan (1, 5) dibuang, graf tetap terhubung • Jika sisi dari himpunan {(1, 2), (1, 5), (3, 4)} dibuang, graf tidak terhubung cut-set • Cut-set terjadi pada himpunan : Ä Ä {(1, 2), (1, 5), (3, 4)} {(1, 2), (2, 5)} {(1, 3), (1, 5), (1, 2)} {(2, 6)} Matematika Diskrit 27

Weigted graph (graf berbobot) • Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) • Bobot pada tiap sisi berbeda-beda tergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf • Bobot dapat menyatakan : Ä Jarak antara 2 kota Ä Biaya perjalanan antara 2 kota Ä Waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul komunikasi ke simpul komunikasi lain Ä Ongkos produksi Ä dll • Istilah lain : graf berlabel a 10 e 15 d Matematika Diskrit 8 11 14 12 b 9 c 28

Graf Sederhana Khusus • • Complete graph (Graf lengkap) Graf lingkaran Regular graph (Graf teratur) Bipartite graph (Graf bipartit) Matematika Diskrit 29

Complete Graph (Graf Lengkap) • Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. • Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn • Setiap simpul pada Kn berderajat n-1 • Jumlah sisi : Graf lengkap Kn , 1 n 6 K 1 K 2 Matematika Diskrit K 3 K 4 K 5 K 6 30

Graf Lingkaran • Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat 2 • Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan : Cn • Jika simpul-simpul pada Cn adalah v 1, v 2, …, vn, maka sisi -sisinya adalah : (v 1, v 2), (v 2, v 3), …, (vn-1, vn) dan (vn, v 1) • Ada sisi simpul dari simpul terakhir, vn, ke simpul pertama, v 1 Graf lingkaran Cn , 3 n 6 Matematika Diskrit 31

Regular graph (Graf teratur) • Adalah : graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama • Jika derajat setiap simpul adalah r maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r • Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah : Derajat 0 Derajat 1 Matematika Diskrit Derajat 2 32

Contoh (1) (i) n = 4, r = 3 (ii) n = 6, r = 3 (iii) n = 8, r = 3 i. Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpul ii. Graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul iii. Graf teratur berderajat 3 dengan 8 buah simpul Matematika Diskrit 33

Contoh (2) Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang 3 ? Penyelesaian : • Tiap simpul berderajat sama berarti graf teratur • e = 12, r 3 • Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2 n = 2 e/r = 2 * 12/r = 24/r • Sehingga : Ä r = 3 n = 24/3 = 8 Ä r = 4 n = 24/4 = 6 Ä r = 6 n = 24/6 = 4 sederhana Ä r = 8 n = 24/8 = 3 sederhana Ä r = 12 n = 24/12 = 2 sederhana Ä r = 24 n = 24/24 = 1 sederhana maksimum minimum tidak mungkin membentuk graf • Jadi jumlah simpul paling sedikit (minimum) = 6 buah dan paling banyak (maksimum) = 8 buah Matematika Diskrit 34

Bipartite graph (Graf bipartit) • • • Adalah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi 2 himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian hingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 Dinyatakan sebagai G(V 1, V 2) Graf bipartit lengkap (complete bipartite graph) adalah : • • Dilambangkan dengan Km, n Jumlah sisi : mn F Jika setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2 V 1 V 2 Graf bipartit G(V 1, V 2) Matematika Diskrit 35

Contoh (1) • V 1 = {a, b, d} dan V 2 = {c, e, f, g} • Setiap sisi menghubungkan simpul di V 1 ke simpul V 2 • Sehingga bentuk graf bipartit C 6 adalah : a b g c f e Matematika Diskrit d 36

Contoh (2) • Graf bipartit lengkap K 2, 3 , K 3, 3 dan K 2, 4 adalah : K 2, 3 Matematika Diskrit K 3, 3 K 2, 4 37

Representasi Graf • Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) • Incidency matrix (matriks bersisian) • Adjacency list (senarai ketetanggaan) Matematika Diskrit 38

Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) • • Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n Jika A = [aij] maka aij = 1 simpul i dan j bertetanggaan Jika aij = 0 simpul i dan j tidak bertetanggaan Matriks ketetanggaan berisi 0 dan 1 matriks nol-satu (zero-one) Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri Matriks ketetanggaan untuk graf berarah belum tentu simetri (akan simetri jika berupa graf berarah lengkap) Matriks ketetanggaan tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda (graf ganda) Untuk matriks semu, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i, i) di matriks ketetanggaan Matematika Diskrit 39

Contoh 1 1 2 3 3 2 4 4 1 e 1 1 5 2 e 5 3 4 2 Matematika Diskrit e 3 e 2 e 6 4 e 8 3 e 7 40

Adjacency matrix • Jumlah elemen matriks ketetanggaan untuk graf dengan n simpul adalah : n 2 • Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah : p n 2 • Matriks ketetanggaan untuk graf tak-berarah sederhana simetri membutuhkan ruang memori : p n 2 / 2 • Derajat tiap simpul i dapat dihitung Ä Untuk graf tak-berarah : Ä Untuk graf berarah : Matematika Diskrit 41

Contoh • • • 1 Derajat matriks simpul 2 adalah : 1+0+1+1=3 Derajat matriks simpul 4 adalah : 0+1+1+0=2 Derajat matriks simpul 4 adalah : 0+0+1+0+0=1 Derajat matriks simpul 5 adalah : 0+0+0=0 Derajat masuk matriks simpul 2 adalah : 1+0+0+1=2 Derajat keluar matriks simpul 2 adalah : 1+0+1+1=3 2 3 4 1 5 3 4 2 1 3 2 4 Matematika Diskrit 42

Incidency matrix (matriks bersisian) • • • Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x m Baris menunjukkan label simpul Kolom menunjukkan label sisinya Jika A = [aij] maka aij = 1 simpul i bersisian dengan sisi j Jika aij = 0 simpul i tidak bersisian dengan sisi j Digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang (loop) • Derajat setiap simpul i adalah : jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang) • Jumlah elemen matriks bersisian : nm • Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan adalah : pnm Matematika Diskrit 43

Contoh e 1 1 2 e 4 e 3 3 e 5 4 e 6 Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24 Matematika Diskrit 44

Adjacency list (senarai ketetanggaan) • Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf 1 2 1 1 5 3 3 4 Senarai ketetanggaan : 1 : 2, 3 2 : 1, 3, 4 3 : 1, 2, 4 4 : 2, 3 Matematika Diskrit 3 2 4 2 Senarai ketetanggaan : 1 : 2, 3 2 : 1, 3 3 : 1, 2, 4 4: 3 5: - 4 Senarai ketetanggaan : 1: 2 2 : 1, 3, 4 3: 1 4 : 2, 3 45

Isomorphic Graph (graf isomorfik) • Dua buah graf, G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian hingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G 2 3 d c v b x w 4 1 G 1 • • 2 a G 2 G 3 y G 1 isomorfik dengan G 2. Simpul 1, 2, 3 dan 4 di G 1 berkoresponden dengan simpul a, b, c dan d di G 2. Sisi (1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (1, 4) dan (2, 4) berkoresponden dengan sisi (a, b), (b, c), (c, d), (a, c) dan (b, d). Semua simpul di G 1 dan G 2 berderajat 3 G 1 dan G 2 tidak isomorfik dengan G 3 karena simpul-simpul di G 3 2 buah berderajat 2 dan 2 buah berderajat 3, sedangkan G 1 dan G 2 berderajat 3 Matematika Diskrit 46

Contoh z a e b c G 1 d v w x y G 2 • Simpul a, b, c, d dan e di G 1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v dan z di G 2 • Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3 dan 1 Matematika Diskrit 47

Isomorphic Graph (graf isomorfik) • Dua buah graf isomorfik harus memenuhi syarat : • Untuk memeriksa graf isomorfik, digunakan bantuan matriks ketetanggaan (adjacency matrix) 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu a b c Matematika Diskrit z G 1 d e v w x y G 2 48

Graf Planar • Graf planar adalah : F Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan) K 4 adalah graf planar K 5 bukan graf planar Matematika Diskrit 49

Graf Datar • Graf datar adalah : F Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan • Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face) Graf planar dan graf bidang Bukan graf bidang tetapi graf planar R 2 Matematika Diskrit R 1 R 3 R 4 Jumlah wilayah pada graf bidang = 4, R 1, R 2, R 3 dan R 4 50

Rumus Euler • Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler n–e+f=2 f=e–n+2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul • Lemma jabat tangan : jumlah derajat = 2 x jumlah sisi r=2 xe e=r/2 Matematika Diskrit 51

Contoh (1) R 2 R 1 R 3 R 4 • Pada gambar di atas : Ä Jumlah sisi (e) = 9 Ä Jumlah simpul (n) = 6 • Sehingga jumlah wilayah (f) pada graf bidang tersebut adalah : f=e–n+2 =9– 6+2 f=5 Matematika Diskrit 52

Contoh (2) • Graf planar sederhana dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk ? • Penyelesaian : Diketahui n = 24 ; r = 4 Maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 x 4 = 96 Sehingga jumlah sisi (e), menurut lemma jabat tangan : e = jumlah derajat / 2 = 96 / 2 = 48 Jadi jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana : f=e–n+2 = 48 – 24 + 2 f = 26 Matematika Diskrit 53

Ketidaksamaan Euler • Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e 3 f/2 f 2 e/3 • Berdasarkan rumus Euler maka : n–e+f 2 n – e + 2 e/3 2 3 n – 3 e + 2 e 6 3 n – e 6 e 3 n - 6 • Ketidaksamaan Euler digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana • Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e 3 v - 6 Matematika Diskrit 54

Ketidaksamaan Euler • Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e 4 f/2 f e/2 • Berdasarkan rumus Euler maka : n–e+f 2 n – e + e/2 2 2 n – 2 e + e 4 2 n – e 4 e 2 n - 4 • Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e 2 v - 4 Matematika Diskrit 55

Contoh (1) K 4 • Pada graf K 4 : n=4; e=6 Ketidaksamaan Euler : e 3 n – 6 6 3 (4) – 6 6 6 terpenuhi K 4 merupakan graf planar Matematika Diskrit K 5 • Pada graf K 5 : n = 5 ; e = 10 Ketidaksamaan Euler : e 3 n – 6 10 3 (5) – 6 10 9 tidak terpenuhi K 5 merupakan graf bukan planar 56

Contoh (2) K 3, 3 • Pada graf K 3, 3 : n=6; e=9 Ketidaksamaan Euler : e 2 n – 4 9 2 (6) – 4 9 8 tidak terpenuhi K 3, 3 merupakan graf bukan planar Matematika Diskrit 57

Teorema Kuratowski • • Graf Kuratowski I, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K 5) adalah graf tidak planar Graf Kuratowski II, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K 3, 3) adalah graf tidak planar Sifat graf Kuratowski : Ä Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur Ä Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar Ä Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan menjadi graf planar Ä Graf Kuratowski I adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum dan graf Kuratowski II adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya graf tidak planar paling sederhana Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K 5 atau K 3, 3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya Matematika Diskrit G Graf G tidak planar karena mengandung upagraf K 3, 3 58

Homeomorphic (homeomorfik) • Dua graf G 1 dan G 2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2 h a i b d g f e G c i a b h g f G 1 e a c d h c g e K 5 • Graf G tidak planar karena upagrafnya, G 1, homeomorfik dengan K 5 Matematika Diskrit 59

Graf Euler • Lintasan Euler adalah : F Lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. • Sirkuit Euler adalah : F Sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali • Graf Euler (Eulerian graph) adalah : F Graf yang mempunyai sirkuit Euler • Graf semi-Euler (semi-Eulerian graph) adalah : F Graf yang mempunyai lintasan Euler Matematika Diskrit 60

Graf Euler 1 2 4 3 • • Lintasan Euler pada graf : 4, 2, 1, 4, 3, 2 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) 3 7 5 4 • • 5 • • 3 2 1 6 4 6 Lintasan Euler pada graf : 7, 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 3, 1, 5, 7 Graf yang mempunyai sirkuit Euler (graf Euler) Lintasan Euler pada graf : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi. Euler) Matematika Diskrit 61

Graf Euler 2 1 1 2 6 3 5 5 4 3 4 Graf yang tidak mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) dan sirkuit Euler (graf Euler) Matematika Diskrit 62

Graf Euler • Graf terhubung tak-berarah G adalah : • Graf terhubung berarah G memiliki : F graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap F graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat 2 simpul berderajat ganjil F sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama F Lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul : 1. Memiliki derajat keluar 1 lebih besar dari derajat masuk 2. Memiliki derajat masuk 1 lebih besar dari derajat keluar Matematika Diskrit 63

Graf Euler a b d g f c c e a d Graf berarah yang memiliki sirkuit Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) d a b Graf berarah yang memiliki lintasan Euler (d, a, b, d, c, b) c b Graf berarah yang tidak memiliki lintasan Euler dan sirkuit Euler Matematika Diskrit 64

Graf Hamilton • Lintasan Hamilton adalah : Flintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali • Sirkuit Hamilton adalah : FSirkuit yang melalalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali • Graf Hamilton adalah : FGraf yang memiliki sirkuit Hamilton • Graf semi-Hamilton adalah : FGraf yang hanya memiliki lintasan Hamilton Matematika Diskrit 65

Graf Hamilton 1 2 1 2 4 3 4 3 (a) a) b) c) (b) (c) Graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal : 3, 2, 1, 4) Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton Graf yang mengandung sirkuit Hamilton Matematika Diskrit 66

Graf Hamilton • Teorema Dirac : F Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n 3) sedemikian hingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G) maka G adalah graf Hamilton • Teorema Ore : F Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n 3) sedemikian hingga d(v) + d(u) n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton • Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton • Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3) terdapat sebanyak (n – 1)! / 2 buah sirkuit Hamilton • Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul : Ä n 3 dan n ganjil, terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan) Ä n 4 dan n genap, terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Matematika Diskrit 67

Contoh • • Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian hingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dilaksanakan ? Penyelesaian : Dapat direpresentasikan oleh sebuah graf dengan 9 buah simpul sedemikian hingga setiap simpul menyatakan anggota klub dan sisi yang menghubungkan 2 buah simpul menyatakan kedua simpul tersebut bertetangga tempat duduk Pengaturan tempat duduk adalah : Ä 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 (gaaris tebal dan merah) Ä 1, 3, 5, 2, 7, 4, 9, 6, 8, 1 (garis putus-putus dan hijau) 1 2 9 3 8 4 7 6 5 Matematika Diskrit Ada 2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda (n = 9) : (n -1) / 2 n ganjil (9 – 1) / 2 = 4 Jadi pengaturan tempat duduk yang berbeda diterapkan selama 4 hari, setiap haarinya setiap peserta mempunyai tetangga yangberbeda dengan hari sebelumnya 68

Aplikasi Graf • Lintasan terpendek (shortest path) • Persoalan pedagang keliling (travelling salesman problem) • Persoalan tukang pos Cina • Pewarnaan graf (graph colouring) Matematika Diskrit 69

Lintasan terpendek (shortest path) • Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot • Beberapa persoalan : Ä Lintasan terpendek antara 2 buah simpul tertentu Ä Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul Ä Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain Ä Lintasan terpendek antara 2 buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu • Algoritma untuk lintasan terpendek adalah algoritma Dijkstra Matematika Diskrit 70

Algoritma Dijkstra Procedure Dijkstra (input m : matriks, a: simpul awal) { Mencari lintasan terpendek dari simpul awal a ke semua simpul lainnya masukan : matriks ketetanggan (m) dari ke graf berbobot G dan simpul awal a keluaran : lintasan terpendek dari a semua simpul lainnya } Deklarasi s 1, s 2, …, sn : integer (tabel integer) d 1, d 2, …, dn : integer (tabel integer) i, j , k : integer Algoritma { langkah 0 (inisialisasi) } for i 1 to n do s(i) 0 d(i) m(a(i)) endfor Matematika Diskrit { langkah 1 } s(a) 1 (karena simpul a adalah simpul asal lintasan terpendek, jadi simpul a sudah pasti terpilih dalam lintasan terpendek) d(a) (tidak ada lintasan terpendek dari simpul a ke a) { langkah 2 } for k 2 to n-1 do j simpul dengan s(j) = 0 dan d(j) minimal s(j) 1 (simpul j sudah terpilih ke dalam lintasan terpendek) {perbarui tabel d) for semua simpul i dengan s(i) = 0 do if d(j) + m(ji) < d (i) then d(i) d(j) + m(ji) endif endfor 71

Contoh (1) Tentukan lintasan terpendek dari graf berikut : a b 50 10 15 20 35 20 10 30 40 15 c Matriks ketetanggan M : 3 d j=a b c d e f i=a 0 50 10 40 45 b 0 15 10 c 20 0 15 d 20 0 35 e 30 0 f 3 0 Matematika Diskrit e f Lintasan terpendek dari : • a ke c adalah : a, c p = 10 • a ke d adalah : a, c, d p = 25 • a ke b adalah : a, c, d, b p = 45 • a ke e adalah : a, e p = 45 • a ke f tidak ada lintasan 72

Contoh (2) Router asal Router tujuan 1 1 2 3 4 5 6 1, 4, 2 1, 4, 6, 3 1, 4, 2, 5 1, 4, 6 2 1 2 3 4 5 6 2, 4, 1 2, 4, 6, 3 2, 4 2, 5 2, 4, 6 3 1 2 3 4 5 6 3, 6, 4, 1 3, 6, 4, 2 3, 6, 4 3, 5 3, 6 4 1 2 3 4 5 6 4, 1 4, 2 4, 6, 3 4, 2, 5 4, 6 5 1 2 3 4 5 6 5, 2, 4, 1 5, 2 5, 3 5, 2, 4 5, 3, 6 6 1 2 3 4 5 6 6, 4, 1 6, 4, 2 6, 3 6, 4 6, 3, 5 - 560 km, 56 kbps kb ps bps 0 , 1 , 3 km 0 89 kb m, ps 0 k 40 0 5 k 3 m, k 5 122 10 45 km Router 4 Router 2 k 10 Router 6 5 ps kb Router 3 bp 1 k , 1 km , 2 350 km, 5 kbps 10 km 3 2 s 12 75 22 m, k 40 bp 0 k s s bp Router 1 Router 5 Jaringan komputer Matematika Diskrit Lintasan terpendek 73

560 km, 56 kbps Router 4 m 5 k 122 0 s kbp km , 3 0 kb 0 10 , 35 45 89 40 km , 1 0 kb ps Router 2 ps 0 , 1 km Router 6 ps kb Router 1 75 22 , 2 km 5 340 km , 20 s kbp s p kb 0 1 12 350 km, 5 kbps Router 3 1 , 1 km kb ps Router 5 Lintasan terpendek yang dilalui oleh pesan dari router 1 ke router 5 Matematika Diskrit 74

Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem) 12 a 10 5 b 8 9 d 12 a 10 5 b 8 9 15 c d 15 c Graf lengkap dengan n = 4 memiliki : (n – 1)! /2 = (4 – 1)! /2 = 3! / 2 = 3*2*1 / 2 = 3 sirkuit Hamilton Yaitu : • S 1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) dengan panjang rute = 10 + 15 + 8 + 12 = 45 • S 2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) dengan panjang rute = 12 + 9 + 15 + 5 = 41 • S 3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang rute = 10 + 9 + 8 + 5 = 32 Sehingga lintasan terpendek dari sirkuit Hamilton adalah : S 3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) Dengan panjang rute 32 Matematika Diskrit 75

Latihan Soal 1. Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi dengan r 4 2. Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan tiap simpul berderajat 3? 3. Gambarkan dua buah graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul Matematika Diskrit 76