SEBARAN PELUANG DISKRIT Sebaran Diskrit Beberapa sebaran diskrit
SEBARAN PELUANG DISKRIT
Sebaran Diskrit •
Beberapa sebaran diskrit yang umumnya sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari yaitu : 1. Sebaran seragam 2. Sebaran Binomial 3. Sebaran Multinomial 4. Sebaran Poisson 5. Sebaran Hipergeometrik
1. Sebaran seragam ( Uniform) •
Contoh : •
2. Sebaran Binomial Sebaran binomial yaitu apabila dlm suatu pengamatan, percobaan atau observasi terhadap satu individu maka hasil yang muncul hanya terdiri dari 2 kemungkinan yang dikategorikan dengan sukses dan gagal. Contoh : A = sukses = 50 % A B B A = Miskin= 25 % A B= Gagal = 50 % B B = kaya = 75 %
Sifat sebaran Binomial : a. Percobaan dilakukan dalam n kali ulangan yang sama b. Kemungkinan yg terjadi pada tiap ulangan hanya ada 2 kemungkinan , yaitu “sukses” atau“gagal”. c. Probabilita “sukses” yang dinotasikan dgn p selalu tetap pada tiap ulangan. d. Tiap ulangan saling bebas (independent).
Bentuk umum sebaran Binomial Dimana : x = Banyaknya sukses yang terjadi dalam n kali ulangan p = peluang banyaknya sukses n = Banyaknya ulangan (1 – p) = peluang munculnya gagal
Nilai Harapan (Expected Value) E(x) = = np Varian : Var(x) = 2 = np(1 - p) Simpangan Baku (Standard Deviation)
CONTOH: Misalkan sebuah perusahaan asuransi mempunyai 3 calon pelanggan, dan pimpinan perusahaan yakin bahwa probabilitas dapat menjual produknya adalah 0, 1. Berapa probabilitas bahwa 1 pelanggan akan membeli produknya?
Jawab : Diketahui : p = 0, 1 , n = 3 dan x = 1 = (3)(0, 1)(0, 81) = 0, 243 = 24, 3 % Nilai Harapan: E(x) = = np = 3. (0, 1) = 0, 3 Varian: Var(x) = 2 = np(1 - p) = 3(0, 1)(0, 9) = 0, 27 Simpangan Baku: = 0, 52
Menggunakan Tabel Binomial
3. Sebaran Multinomial Sebaran multinomial adalah apabila hasil yang muncul dari suatu pengamatan, percobaan atau observasi terhadap satu Individu lebih dari 2 kemungkinan (k kemungkinan ) Bentuk umum sebaran Multinomial N! X 1 X 2 Xk P(X 1, X 2, X 3. . . . Xk) = f(X) = ---------- P 1 P 2. . . Pk X 1 ! X 2 !. . . Xk !
Contoh Sebuah dadu dilemparkan 12 kali, berapa peluangnya mata dadu yang muncul. a. Mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 tepat 2 kali b. Mata dadu 2 lima kali, mata dadu 3 empat kali dan mata dadu 4 tiga kali
Jawab : a. P (muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 tepat dua kali 12! = ------------- (1/6)2(1/6)2(1/6)2 2!2!2! = 0, 0034 = 0, 34 %
b. p(muncul mata dadu 2, 3, 4 masing -masing 5 x, 3 x dan 4 x ) 12! = -------- (1/6)5(1/6)3(1/6)4 5 ! 3 ! 4! = 0, 000013 = 0, 0013 %
4. Sebaran Poisson Sebaran poisson adalah apabila dalam suatu pengamatan atau percobaan terhadap satu individu maka banyaknya kemunculan sukses pada selang tertentu didasarkan kepada besarnya nilai rata-rata munculnya sukses pada selang tersebut yg disimbolkan dengan (mean). Sebaran poisson adalah modifikasi dari sebaran binomial, perbedaaannya pada sebaran poisson munculnya sukses diamati pada selang tertentu yaitu berupa selang waktu, jarak, volume dan daerah dll.
Sifat distribusi (sebaran ) Poisson -Peluang suatu kejadian adalah sama untuk 2 (dua) interval yang sama. - Kejadian pada suatu inverval saling bebas dengan kejadian pada inverval yang lain.
Bentuk umum fungsi sebaran Poisson - x e f(x, ) = --------x! dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu e = 2, 71828
Pada keadaan tertentu nilai dapat dianggap sbg np dimana n = besaran selang sedemikian hingga selang yg ada dapat dipisahkan dalam n ukuran lebih kecil dan p = besarnya peluang munculnya sukses pada ukuran selang yang lebih kecil tsb. Sehingga fungsi sebaran poisson berubah menjadi : -np x e (np) f(x, n, p) = --------x!
CONTOH : Di RS Mercy, rata-rata pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 3 pasien per jam. Berapa probabilitas ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu? Jawab : = 3 pasien perjam, x = 4 = 16, 80 %
CONTOH: Menggunakan Tabel Poisson
Contoh 2. Pada sebuah kantor secara umum diketahui bahwa ada 10 panggilan telepon setiap 1 jam. Berapakah peluangnya : a. Ada 15 telepon dalam 2 jam b. Ada 1 telepon dalam 5 menit Jawab : Diketahui : = 10 , e = 2, 7183 a. P( x = 15 dalam 2 jam ) dalam dua jam =2 x 10 = 20 P ( x = 15 dalam 2 jam) = 2, 7183 -20 2015 15! = 0, 0516 = 5, 16 %
b. P ( x = 1 dalam 5 menit ) = e-np np. X x! dalam 5 menit =1/12 x 10 = 0, 83 P ( x = 1 )= 2, 7183 -0, 831 1! = 0, 3619 = 36, 19 %
5. Sebaran Hipergeometrik Sebaran hipergeometrik yaitu apabila dalam suatu pengamatan atau percobaan, peluang munculnya alternatif kejadian tertentu pada ulangan pertama mempengaruhi besarnya peluang munculnya alternatif kejadian pada ulangan berikutnya. Bentuk umum fungsi peluang sebaran hipergeometrik adalah : C(k, x)C(N-k, n-x) dimana : P (X=x) = -----------x = banyaknya sukses dlm n ulangan C (N, n) (sampel) n = banyaknya ulangan (sampel) N = banyaknya populasi k = banyaknya sukses dalam populasi
CONTOH 1 Bob berniat mengganti 2 baterai yang mati, namun ia tidak sengaja mencampurnya dengan 2 baterai yang baru. Keempat baterai terlihat identik. Berapa probabilitas Bob mengambil 2 baterai yang masih baru? Jawab : C(k, x)C(N-k, n-x) C(2, 2) C(4 -2, 2 -2) C(2, 2)C(2, 0) P (X=x) = ------------ = --------C (N, n) C(4, 2) =
Contoh 2. Seorang peternak ayam akan menjual 15 ekor ayamnya ketempat penjualan ayam. Dari 15 ekor ayam tersebut terdapat 6 ekor ayam jantan dan 9 ekor ayam betina. Pedagang ayam hanya mau membeli 10 ekor ayam tetapi dengan syarat tidak membedakan ayam jantan atau ayam betina. Hitunglah berapa peluangnya ayam yang terjual adalah: a. 1 ekor ayam jantan b. 5 ekor ayam betina
Penyelesaian Diketahui : N = 15 , n = 10 Ditanya : a. P( 1 ekor ayam jantan yang terjual ) b. P( 5 ekor ayam betina yang terjual ) C(k, x) C(N-k, n-x) Jawab : P (X= x) = -----------C (N, n)
TUGAS/PR. 1. Peluang (probabilitas) bahwa seorangmahasiswa yang masuk suatu Perguruan Tinggi akan menyelesaikan studi tepat waktu adalah 0, 4. Tentukan peluang bahwa dari antara 5 orang mahasiswa yg akan menyelesaikan studi terdapat : a. Tidak ada yang menyelesaikan studi tepat waktu b. 3 orang yang menyelesaikan studi tepat waktu c. Paling sedikit 1 orang yg akan menyelesaikan studi tepat waktu.
2. Antara jam 14. 00 dan 16. 00 banyaknya panggilan telepon setiap menit yang masuk penghubung suatu perusahaan adalah 2, 5. Cari peluang (probabilitas) bahwa selama satu menit tertentu akan terdapat : a). Tidak ada panggilan telepon b). 2 panggilan telepon c). Lebih dari 6 panggilan telepon 3. Sebuah mata dadu dilemparkan 18 kali, Hitung berapa peluangnya muncul mata dadu : a. Mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 tepat 3 kali b. Mata dadu 3 muncul lima kali, mata dadu 4 muncul enam kali dan mata dadu 5 muncul tujuh kali
Sekian dan terima kasih
- Slides: 32