KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT Materi Kaidah

KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT

Materi • • Kaidah Menghitung Inklusi-Eksklusi Permutasi Kombinasi Matematika Diskrit 1

KOMBINATORIAL (COMBINATORIC) • Adalah : cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek • Solusi yang diperoleh dengan kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya Matematika Diskrit 2

Kaidah Dasar Menghitung • Kaidah perkalian (rule of product) • Kaidah penjumlahan (rule of sum) Matematika Diskrit 3

Kaidah Perkalian (Rule of Product) • Percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban) • Percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban) percobaan 1 dan 2 dilakukan • Maka terdapat p x q hasil percobaan (atau menghasilkan p x q kemungkinan jawaban) Matematika Diskrit 4

Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) • Percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban) • Percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban) percobaan 1 atau 2 dilakukan (hanya satu percobaan saja dilakukan) • Maka terdapat p + q hasil percobaan (atau menghasilkan p + q kemungkinan jawaban) Matematika Diskrit 5

Perbedaan Kaidah Perkalian dan Penjumlahan • • Kaidah Perkalian kedua percobaan dilakukan secara simultan atau serempak Kaidah Penjumlahan kedua percobaan dilakukan tidak simultan Matematika Diskrit 6

Contoh 1 Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, yaitu nasi goreng, roti, soto ayam, sate dan sop. Serta tiga jenis minuman, yaitu susu, kopi dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu minuman dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan? Matematika Diskrit 7

Solusi Gunakan diagram pohon untuk menentukan jumlah pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan Nasi goreng Susu Kopi Teh Roti Susu Kopi Teh Soto ayam Susu Kopi Teh Sate Susu Kopi Teh Sop Susu Kopi Teh Matematika Diskrit p = 5 jenis makanan q = 3 jenis minuman P x q = 5 x 3 = 15 pasang 8

Contoh 2 Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita) Matematika Diskrit 9

Solusi • Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil pria p=4 • Ada 3 kemungkinan memilih satu wakil wanita q = 3 • Jika hanya satu orang wakil yang harus dipilih (pria atau wanita), maka jumlah kemungkinan wakil yang dapat dipilih adalah p + q = 4 + 3 = 7 cara Matematika Diskrit 10

Perluasan Kaidah Menghitung • Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p 1, p 2, …, pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi dalam hal ini setiap pi tidak bergantung pada pilihan sebelumnya maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah : (a) p 1 x p 2 x … pn kaidah perkalian (b) p 1 + p 2 + … pn kaidah penjumlahan Matematika Diskrit 11

Contoh 3 • Jika ada sepuluh pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab Benar (B) atau Salah (S), berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat Matematika Diskrit 12

Solusi • Misalkan 10 pertanyaan tersebut sebagai 10 buah kotak, masing-masing kotak hanya berisi 2 kemungkinan jawaban, B atau S B/S B/S B/S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dengan menggunakan kaidah perkalian (kotak 1 dan kotak 2 dan ……. dan kotak 10 ) maka jumlah kombinasi jawaban yang dapat dibuat : (2) (2) (2) = 210 Matematika Diskrit 13

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : Inklusi - Eksklusi MATEMATIKA DISKRIT

Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Definisi : suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya • Notasi : A B A B = (A B)-(A B) = (A – B) (B – A) S Matematika Diskrit A B Diarsir A B 15

Prinsip Inklusi-Eksklusi • Tujuan : Menghitung banyaknya anggota di dalam gabungan 2 buah himpunan A dan B ( |A B| ) • Diketahui : |A| = banyaknya elemen/anggota himp. A |B| = banyaknya elemen/anggota himp. B |A B| = banyaknya elemen himp. A dan B |A B| = banyaknya elemen himp. A atau B • Maka : |A B| = |A| + |B| - 2|A B| Matematika Diskrit 16

Contoh 1 • Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 150 yang habis dibagi 3 atau 5 ? Matematika Diskrit 17

Solusi • Misal : A = himp. bil. bulat yang habis dibagi 3 B = himp. bil. bulat yang habis dibagi 5 |A B| = himp. bil. bulat yang habis dibagi 3 dan 5 15 • Hitung |A| = 150/3 = 50 |B| = 150/5 = 30 |A B | = 150/15 = 10 • Sehingga didapatkan : |A B| = |A| + |B| - |A B| = 50 + 30 – 10 = 70 Matematika Diskrit 18

Contoh 2 • Informasi terkecil yang dapat disimpan di dalam memori komputer adalah byte, setiap byte disusun oleh 8 bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ‘ 11’ atau berakhir dengan ’ 11’ ? Matematika Diskrit 19

Solusi • Misal : • Jumlah byte = 8 bit karena 2 bit sudah digunakan untuk posisi pertama maupun akhir dengan ’ 11’ maka : |A| = 26 = 64 buah |B| = 26 = 64 buah | A B | = 24 = 16 buah Sehingga : |A B| = |A| + |B| - |A B| = 64 + 64 – 16 = 112 buah • A = himp. byte yang dimulai dengan ’ 11’ B = himp. byte yang diakhiri dengan ’ 11’ |A B| = himp. byte yang dimulai dan diakhiri dengan ’ 11’ |A B| = himp. byte yang dimulai atau diakhiri dengan ’ 11’ Matematika Diskrit 20

Latihan 1. Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan 2006 atau angkatan 2007. Jika terdapat 35 orang mahasiswa angkatan 2006 dan 50 orang mahasiswa angkatan 2007, berapa cara memilih penjabat ketua himpunan? 2. Sekelompok mahasiswa terdiri atas 6 orang dan 4 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wanita? 3. Kursi-kursi di dalam ruang aula akan diberi nomor dengan sebuah huruf diikuti dengan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 70 (misal A 10, B 25 dan seterusnya). Berapa jumlah maksimum kursi yang dapat di nomori? 4. Berapa perpustakaan memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Perancis dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih : (a) 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda (b) 1 buah buku (sembarang bahasa) Matematika Diskrit 21