Il campionamento statistico Prof Enrico Ivaldi Lindagine campionaria

Il campionamento statistico Prof. Enrico Ivaldi

L’indagine campionaria La numerosità campionaria, necessaria per effettuare la stima di un parametro della popolazione oggetto di studio, dipende da vari fattori: – Le caratteristiche della popolazione di partenza – Il livello di precisione che si intende mantenere nell’analisi – Il livello di significatività prefissato (misurato in termini di probabilità di errore) – La variabilità del fenomeno osservato – I tempi e i costi dell’indagine campionaria Dipartimento di Scienze Politiche

L’indagine campionaria (II) I fattori che influenzano il costo di una indagine campionaria sono – lavori di preparazione – acquisizione e messa a punto della lista – preparazione del questionario – istruzione dei rilevatori – eventuale indagine pilota, ovvero un’indagine preliminare svolta su un insieme ristretto della popolazione o su un piccolo campione per il reperimento di informazioni necessarie allo svolgimento di un’indagine maggiormente complessa tramite un successivo campione più ampio. – contatto con le unità selezionate – somministrazione del questionario – imputazione ed elaborazione dei dati Dipartimento di Scienze Politiche

Il questionario è lo strumento di misura designato a raccogliere le informazioni sulle variabili qualitative e quantitative oggetto di indagine. Le fasi della progettazione del questionario sono le seguenti: 1) Progettazione concettuale, attraverso la costruzione del modello 2) Redazione del questionario: scelta del tipo di domande e formulazione dei quesiti 3) Verifica del questionario: - eventuale indagine esplorativa, fase preliminare alla costruzione del questionario necessaria a stabilire la forma più adatta di strutturazione delle domande. - Pre-test: l’intera bozza del questionario viene provata su un campione ragionato di unità. - Indagine pilota: prova generale dell’indagine, volta a valutare la bontà del questionario ma anche di tutti gli altri aspetti della ricerca. Dipartimento di Scienze Politiche

Il questionario (II) Le indagini campionarie effettuate tramite somministrazione di un questionario possono essere eseguite secondo le seguenti modalità: Ø Ø Ø interviste personali interviste telefoniche interviste postali interviste ripetute nel tempo (panel) interviste di gruppo Il questionario può essere di due tipologie: Ø strutturato: serie di domande formalizzate proposte nel medesimo modo a tutti gli intervistati Ø non strutturato: conversazione a domande aperte La formulazione del questionario è un’operazione molto delicata a cui sarebbe consigliabile far precedere una indagine pilota. Dipartimento di Scienze Politiche

Formulazione delle domande Alcune condizioni per ottenere risposte corrette alle domande: Ø l’intervistato deve essere in grado di comprendere la domanda Ø l’intervistato deve avere la capacità di fornire l’informazione Ø l’intervistato deve avere la volontà di fornire l’informazione Pertanto le domande del questionario: Ø devono essere espresse in linguaggio semplice Ø devono essere espresse in linguaggio grammaticalmente corretto Ø devono essere specifiche e tese ad ottenere informazioni ben definite Ø devono poter essere interpretate da tutti allo stesso modo Ø devono essere concise Ø non devono fare eccessivo affidamento sulla memoria dell’intervistato Ø devono garantire l’anonimato e la riservatezza del dato Dipartimento di Scienze Politiche

Formulazione delle domande (II) v La domanda non deve influenzare la risposta: Lei è d’accordo con l’opinione comune che. . . ? Le pare possibile che … ? v L’intervistato non deve percepire nessuna pressione sociale nel rispondere: Lei è d’accordo con la maggioranza degli italiani che …. ? v Evitare le domande vaghe: Lei è soddisfatto dei programmi che vede in televisione? v Le domande non devono essere duplici: Negli ultimi tre mesi è mai stato al cinema o a teatro? v Le domande non devono essere linguisticamente ambigue: È contrario alla non legalizzazione delle sostanze stupefacenti? v Le domande non devono contenere una asserzione presupposta: In media quante ore al giorno guarda la televisione? Dipartimento di Scienze Politiche

Ordine delle domande v Si comincia con una presentazione che spieghi la natura dell’indagine v Le domande introduttive devono essere stimolanti e brevi v Le domande successive devono seguire una logica precisa v Ogni argomento deve essere approfondito prima di passare a quello successivo v Le domande su argomenti delicati o complicati vanno poste verso la fine del questionario v La domande filtro sono molto utili per abbreviare il tempo dell’intervista v Le domande di classificazione vanno lasciate per ultime (se possibile) Dipartimento di Scienze Politiche

Tipologia di domande v Domande aperte v Domande chiuse a risposta multipla v Domande chiuse con ordinamento delle risposte v Domande chiuse a cui attribuire un punteggio v Domande filtro v Domande su questioni delicate (o per individuare popolazioni elusive) Dipartimento di Scienze Politiche

Le fasi dell’indagine e il piano di campionamento 1) In primo luogo devono essere definiti gli obiettivi della ricerca, la popolazione di riferimento, l’ambito territoriale e il periodo di riferimento, individuando le fonti statistiche e formulando le indicazioni guida; 2) nella seconda fase si definiscono la metodologia da seguire, i metodi di indagine e si mettono a punto gli strumenti di rilevazione dei dati. 3) nella terza fase si rilevano i dati secondo quanto stabilito nelle fasi precedenti, attraverso lo strumento del questionario 4) nella quarta fase si analizzano i dati e si interpretano i risultati rendendoli poi pubblici. Dipartimento di Scienze Politiche

Il piano di campionamento a) Probabilistico Ogni unità statistica della popolazione oggetto di studio ha una probabilità identica e non nulla di essere estratta. Il ricorso al campionamento probabilistico consente di applicare la teoria dell’inferenza statistica che garantisce la possibilità di estendere le considerazioni effettuate sul campione all’intera popolazione tenendo sotto controllo l’errore campionario (differenza tra stima e valore vero del parametro oggetto di studio) b) Non Probabilistico La selezione delle unità statistiche avviene sulla base di considerazioni soggettive del ricercatore, non è quindi nota la probabilità che una unità statistica ha di essere compresa nel campione. Questi piani di campionamento non permettono di applicare i principi induttivi dell’inferenza statistica atti ad estendere i risultati campionari all’intera popolazione. Dipartimento di Scienze Politiche

Piano di campionamento Probabilistico La selezione delle unità statistiche può avvenire in diversi modi: ü estrazione con reinserimento ü estrazione senza reinserimento (o in blocco) ü estrazione sistematica (le unità vengono idealmente ordinate in sequenza e, partendo da un’unità a caso, si estraggono una ogni k unità) Le tipologie di campionamento che affidano la selezione delle unità a regole probabilistiche sono: 1. casuale semplice o in blocco, 2. stratificato proporzionale costante o ottimale, 3. sistematico, 4. a grappoli e a più stadi. Dipartimento di Scienze Politiche

Campionamento casuale semplice Si consideri una popolazione di N unità dalla quale si debba estrarre un campione di n unità distinte. Il campionamento casuale semplice è la tecnica che attribuisce la stessa probabilità di selezione a ogni insieme di n unità distinte della popolazione. Nella selezione di un campione casuale è possibile scegliere se ogni unità possa entrare più di una volta nel campione. Se questa possibilità non è ammessa il campionamento è detto senza ripetizione, altrimenti con ripetizione. Dipartimento di Scienze Politiche

Campionamento stratificato In questo caso è necessario suddividere la popolazione in sottopopolazioni (strati) il più possibile omogenee rispetto alla variabile da studiare, utilizzando una variabile a essa correlata. Questo significa che le unità sono organizzate in sottogruppi omogenei per comportamento, attitudini o per natura (ad esempio strati omogenei per caratteristiche socio-demografiche quali l’età, il genere, oppure per caratteristiche spaziali, le regioni, i comuni, ecc. ). Dipartimento di Scienze Politiche

Campionamento sistematico In questo tipo di campionamento, dopo aver fissato la numerosità campionaria n, si intervista un individuo ogni intervallo k. Dipartimento di Scienze Politiche

Campionamento a grappolo e a stadi ll campionamento a grappoli è un tipo di campionamento che non prevede l'estrazione di singole unità della popolazione, ma di grappoli di individui, cioè agglomerati di unità statistiche. Esempi di grappoli sono: le famiglie, le classi scolastiche, ecc. Se da ogni grappolo estratto entrano a far parte del campione solo un certo numero di unità, si sta effettuando un campionamento a due stadi ove, all'interno del primo stadio vengono estratti i grappoli "per intero" e, nel secondo stadio, da essi vengono estratte unità elementari. Dipartimento di Scienze Politiche

Piano di campionamento Non Probabilistico La selezione delle unità statistiche avviene sulla base di considerazioni soggettive del ricercatore, non è quindi nota la probabilità che un’unità statistica ha di essere compresa nel campione Esempio: un’intervista rivolta a studenti appena usciti da un’aula come campione di riferimento degli studenti universitari. Dipartimento di Scienze Politiche

Campionamenti non probabilistici a) Campionamento accidentale Quando non si costruiscono regole per la selezione del campione, intervistando le persone che capitano. a) Campionamento per quota In questo caso la scelta delle persone da intervistare viene lasciata all’intervistatore, rispettando le quote stabilite con una stratificazione. a) Campionamento a valanga In questo caso si cerca un primo gruppo di individui da intervistare, che individuerà a sua volta altri soggetti che possiedono le caratteristiche cercate. a) Campionamento tramite testimoni privilegiati Consente di individuare persone che, per la particolare attività che svolgono, sono a conoscenza di informazioni su specifici fenomeni. Dipartimento di Scienze Politiche

Il Metodologie di campionamento: CAPI La metodologia CAPI (Computer Assisted Personal Interview) rappresenta lo sviluppo tecnologico della ben nota tecnica di ricerca Face to Face. I dati vengono rilevati da un intervistatore durante un incontro reale con il rispondente. Supportato da uno smartphone, da un tablet o dal PC, il rilevatore può condurre l’intervista e riportare in tempo reale le risposte. I dati vengono inviati in modo immediato al server centrale. Dipartimento di Scienze Politiche

Metodologie di campionamento: CATI La metodologia CATI (Computer Assisted Telephone Interview) è stata sviluppata con il preciso intento di migliorare la semplice intervista telefonica. Questa metodologia consiste in un software che, in maniera automatizzata, è in grado di seguire e supportare l’intervistatore durante la ricerca. Dipartimento di Scienze Politiche

Metodologie di campionamento: CAWI La metodologia CAWI (Computer Assisted Web Interviewing) si basa sull’invio e-mail di un link agli intervistati selezionati. Questi devono collegarsi a internet e compilare in autonomia il questionario. Requisito fondamentale per condurre indagini CAWI è quello di essere in possesso degli indirizzi e-mail dei propri intervistati. Dipartimento di Scienze Politiche

Il campionamento statistico: l’analisi dei dati e la diffusione dei risultati 1) Revisione dei dati immessi per la correzione degli eventuali errori; la revisione può avvenire tramite procedura manuale o automatica e/o interattiva. Lo scopo è quello di minimizzare l’effetto degli errori riscontrati sulle successive fasi di elaborazione e sull’informazione prodotta. 2) Elaborazioni statistiche sui dati registrati; si devono effettuare analisi esplorative di tipo semplice ricorrendo alle rappresentazioni delle distribuzioni tramite tabelle di frequenze e grafici e calcolando le opportune statistiche descrittive univariate e bivariate. Si possono effettuare anche analisi esplorative multivariate. 3) Validazione: processo attraverso il quale si valuta se l'informazione possa essere considerata consona alle finalità per le quali è stata prodotta. Gli obiettivi dell'operazione di validazione sono duplici: valutare se la qualità dei dati è sufficiente ai fini della diffusione dell'informazione agli utenti; identificare le fonti di errore più rilevanti e predisporre modifiche al processo di produzione in modo da ridurre gli effetti degli errori in successive occasioni di indagine. 4) Diffusione dei risultati: la strategia di diffusione dei risultati deve tenere conto sia dei canali utilizzati sia delle caratteristiche dei fruitori. Si possono infatti privilegiare modalità di diffusione dirette, o modalità indirette Dipartimento di Scienze Politiche

Errori nel campionamento: campionari e non campionari Errore campionario riguarda soltanto i campioni probabilistici, è un tipo di errore programmabile che viene stimato dai dati osservati, come si vedrà più avanti Errore non campionario deriva dalla differenza tra una caratteristica misurata sulla popolazione e la stessa riscontrata nel campione. Qualunque sia la metodologia di indagine scelta è opportuno tener conto delle diverse tipologie di errore che possono verificarsi, cercando di tenerle sotto controllo. Dipartimento di Scienze Politiche

Errore non campionario Errori di accertamento Mancanza di rilevatori addestrati ed esperti; errori di misurazione da strumenti o da difficoltà inerenti alla raccolta dei dati, dovuti ad errori di memoria, mancate risposte ed altri fattori. Errori di tabulazione Difettoso esame dei dati di base; errori nelle operazioni di elaborazione dei dati; errori commessi nella presentazione e nella stampa di tavole, diagrammi ecc. Errori delle liste Incompletezza, nominativi inesistenti, nominativi ripetuti Altri errori Sono dovuti alla formulazione del questionario (vaga, complessa, troppo lunga…), alla tipologia di rispondente (livello di istruzione, età…) o al procedimento di raccolta. Dipartimento di Scienze Politiche

Tecniche per ridurre le criticità dovute alle mancate risposte 1) metodi di imputazione, basati sull’idea che è possibile stimare le probabilità di risposta dell’unità: ad esempio il metodo della media e il metodo della mediana che sostituiscono i valori mancanti con il rispettivo indice di posizione; il metodo delle classi di imputazione dove il valore della variabile è stimato con la media aritmetica per i rispondenti della stessa classe di imputazione; i metodi per imputazione tramite donatore, dove per stimare il valore della variabile di interesse per un non rispondente si utilizza il valore relativo a un rispondente della stessa indagine. 2) metodi di riponderazione, che vengono utilizzati quando il campione non rappresenta in modo coerente la popolazione perché una parte del campione è sovradimensionata mentre una parte è sottodimensionata. In tal caso è possibile correggere questa distorsione applicando un peso a ciascuna unità statistica, attraverso una procedura di post-stratificazione. Dipartimento di Scienze Politiche

L’errore campionario Ogni procedura inferenziale è caratterizzata da un certo livello di incertezza, per le seguenti ragioni: – da ogni popolazione sufficientemente grande è possibile estrarre un numero virtualmente infinito di campioni di una determinata ampiezza; – ognuno di questi campioni rappresenta la popolazione in modo probabilistico; – in ogni singolo studio viene, tuttavia, analizzato solo uno dei possibili campioni di ampiezza prefissata. Quindi anche la procedura di campionamento più perfetta e accurata è soggetta a errore: l’errore campionario, ovvero l’errore che si commette quando si esamina una parte della popolazione, il campione, anziché la sua totalità. Dipartimento di Scienze Politiche

L’errore campionario (II) I tre fattori che incidono sul margine d’errore sono: 1) il tipo di campionamento effettuato 2) l’ampiezza del campione, 3) la dimensione della popolazione Dipartimento di Scienze Politiche

L’errore campionario (III) Si osserverà più avanti come un campione di 100 casi produca un margine d’errore non superiore al 10%, un campione di 500 un margine d’errore non superiore al 4, 5%, e un campione di 1. 000 un margine di errore di non più del 3%. I tassi percentuali di errore diminuiscono infatti all’aumentare della dimensione campionaria. Questo non succede con riferimento all’ampiezza della popolazione. Ad esempio considerando un campionamento casuale semplice con un campione di 2. 500 casi si potranno avere stime con un margine d’errore di ± 2% e con 400 casi stime con un margine di errore di ± 5%, indipendentemente dall’ampiezza della popolazione. L’ammontare della popolazione invece incide poco sul margine d’errore. In effetti, un campione di 100 soggetti di una popolazione di 10. 000 avrà almeno lo stesso margine di errore di un campione di 100 persone in una popolazione di 10 milioni di persone come si vedrà in seguito. Dipartimento di Scienze Politiche

Inferenza statistica Prof. Enrico Ivaldi

Siamo tutti statistici? Dipartimento di Scienze Politiche

Inferenza statistica sul campione Dipartimento di Scienze Politiche

Inferenza statistica sul campione Dipartimento di Scienze Politiche

Inferenza statistica sul campione Il sondaggio EMG per La 7 ha un margine d’errore dichiarato del ± 2, 4%. I dati sono “validi” (e quindi si può generalizzare il dato del campione a tutti i maggiorenni italiani) con un errore che può riguardare 41 intervistati su 1721; Poiché EMG ha intervistato 1. 721 persone, lo scostamento positivo del PD (+0, 2%) significa circa 3 persone. Se lo scostamento di un partito è imputabile a soli 3 intervistati, esso può rientrare completamente nell’errore accettato. Solitamente, ovviamente, si presume che sia molto improbabile che un campione ben costruito includa per intero l’errore ipotetico, e nel nostro caso, quindi, sarebbe davvero un caso se quello 0, 2% di incremento del PD fosse totalmente oggetto dell’errore, ma il fatto che sussista questa possibilità deve fare riflettere sui faticosi e inutili dibattiti nei talk show che discutono per ore sul significato di uno 0, 2% che potrebbe essere, invece, 0% spaccato, 0, 3%, Dipartimento di Scienze Politiche 0, 9% o altro.

Inferenza statistica sul campione L’inferenza statistica è un procedimento deduttivo attraverso il quale è possibile, partendo da una rilevazione campionaria effettuata su di un campione probabilistico, arrivare a descrivere la caratteristica della popolazione. Vogliamo conoscere una caratteristica di una popolazione - il parametro - ma non possiamo osservarla direttamente. Si osserva un sottoinsieme della popolazione – il campione - del quale si calcola la stima, che è diversa dal parametro ma è probabile che sia più vicina a esso che lontana. Dipartimento di Scienze Politiche

Inferenza statistica sul campione (II) Solitamente, nella ricerca applicata, i campioni casuali sono, però, estratti senza reinserimento, per evitare di intervistare più volte la stessa unità statistica e di ottenere informazioni duplicate. Tuttavia, come visto in precedenza, quando la popolazione è “molto grande” e la frazione di campionamento n/N è “sufficientemente piccola”, tutti gli strumenti di inferenza statistica che richiedono un campione bernoulliano, si possono applicare anche a campioni senza reinserimento perché tendono a produrre risultati equivalenti. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Si immagini di conoscere l’intera popolazione degli studenti che hanno sostenuto l’esame di statistica in un appello dello scorso anno e si applichi su di essa un campionamento casuale semplice, dove i campioni di uguale dimensione hanno tutti la stessa probabilità di essere estratti in modo casuale, per calcolare il voto medio all’esame. Numero 1 2 3 4 5 6 7 8 Nomi Enrico Pietro Marta Carolina Danilo Riccardo Luca Paolo Voti 24 28 27 25 24 27 27 26 Si estragga un campione di 2 individui (�� = 2). Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Numero 1 2 3 4 5 6 7 8 Nomi Enrico Pietro Marta Carolina Danilo Riccardo Luca Paolo Voti 24 28 27 25 24 27 27 26 Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Numero 1 2 3 4 5 6 7 8 Nomi Enrico Pietro Marta Carolina Danilo Riccardo Luca Paolo Voti 24 28 27 25 24 27 27 26 Nella maggior parte dei casi naturalmente non sarà così Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dato che la popolazione è molto piccola è possibile definire tutti i possibili campioni estraibili. Dal calcolo combinatorio, i campioni di 2 unità estraibili senza N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 coppie 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2, 7 2, 8 3, 4 26 25, 5 24 25, 5 25 27, 5 26 27, 5 27 26 N 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 coppie 3, 5 3, 6 3, 7 3, 8 4, 5 4, 6 4, 7 4, 8 5, 6 5, 7 5, 8 6, 7 6, 8 7, 8 25, 5 27 27 26, 5 24, 5 26 26 25, 5 25 27 26, 5 ripetizione da una popolazione di 8 elementi sono in tutto 28. Si osservi che aumentando il numero di soggetti estratti facendo, ad esempio, campioni di 4 o 6 persone, si osserverebbe, intuitivamente, che la media del campione si avvicinerebbe maggiormente al valore vero della popolazione. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio L’insieme delle medie campionarie di ogni campione che abbiamo costruito costituisce la variabile casuale Media Campionaria cui è possibile associare la rispettiva probabilità. N N° campioni 1 24 1 1/28=0, 036 2 24, 5 2 2/28=0, 071 3 25 2 2/28=0, 071 4 25, 5 7 7/28=0, 250 5 26 5 5/28=0, 179 6 26, 5 4 4/28=0, 143 7 27 4 4/28=0, 143 8 27, 5 3 3/28=0, 107 Totale 28 1, 000 Nel fare un estrazione è possibile trovare un campione raro, che ci fornisca una stima lontana dal valore vero della popolazione. Tuttavia la probabilità che ciò avvenga è molto bassa. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio N 1 24 0, 036 0, 8571 2 24, 5 0, 071 1, 7500 3 25 0, 071 1, 7857 4 25, 5 0, 250 6, 3750 5 26 0, 179 4, 6429 6 26, 5 0, 143 3, 7857 7 27 0, 143 3, 8571 8 27, 5 0, 107 2, 9464 Totale 1, 000 26, 000 Dipartimento di Scienze Politiche

Teorema del limite centrale Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Una università vuole valutare lo stipendio medio dei suoi laureati a 10 anni dalla laurea. La popolazione è rappresentata, quindi, dalla lista dei laureati di 10 anni prima. Essendo troppo dispendioso rintracciarli tutti per chiedere loro il reddito si selezionano a caso 10 laureati tra i 1000, ovvero si costruisce un campione di 10 persone, e gli si domanda il reddito. Giudicando il campione insufficiente si ripete l’esperimento per 10, 50 e 100 persone. In seguito l’università decide comunque di ricontattarli tutti e calcola un reddito medio di 27. 775 € Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Ripetendo l’esperimento campionando ogni volta 20 studenti, ad esempio 1000 volte, le 1000 medie dei campioni si distribuirebbero secondo una variabile casuale Normale. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Si osservi inoltre che lo stesso non si verifica all’aumentare della popolazione, se la popolazione è molto grande rispetto al campione selezionato. Dipartimento di Scienze Politiche

Tenere sotto controllo il margine di errore Negli esempi visti in precedenza sono stati calcolati numerosi campioni conoscendo, peraltro, il valore della media della popolazione. Nella pratica si ha a disposizione un solo campione che, come abbiamo visto, presenterà sicuramente al suo interno un errore campionario più o meno grande. Il “margine d’errore” rappresenta, dunque, la sintesi dell’errore di campionamento che quantifica il margine di incertezza che dobbiamo attenderci dai risultati di una ricerca. Se il campione è probabilistico il margine d’errore che si è disposti ad accettare può essere, quindi, stabilito in anticipo. Per verificare la correttezza di tale stima è preferibile individuare due estremi, entro i quali tutti i valori sono possibili stime del parametro, secondo un certo grado di plausibilità. Dipartimento di Scienze Politiche

Intervallo di confidenza Si ricerca la probabilità, fissata a priori dal ricercatore prima di costruire la stima, che la media della popolazione non ricada in questo intervallo e la si indica con la lettera . (Probabilità di errore) Dipartimento di Scienze Politiche

Intervallo di confidenza (II) Dipartimento di Scienze Politiche

Il campionamento statistico In altre parole, non è possibile dire con certezza se l’intervallo scelto sarà uno dei fortunati 95% dei campioni il cui intervallo comprende il valore del parametro, ma siamo fiduciosi al 95% (ovvero abbiamo probabilità del 95%) che lo sia. Dipartimento di Scienze Politiche

Requisiti per l’utilizzo corretto dell’intervallo di confidenza a) la numerosità del campione n deve essere sufficientemente grande per il teorema del limite centrale, N>30 b) è noto, oppure è ipotizzabile con un elevato grado di sicurezza, che il fenomeno è ben interpretato da una variabile casuale normale, ovvero che si è in presenza di una popolazione normalmente distribuita. Dipartimento di Scienze Politiche

Intervallo di confidenza per la media con popolazione normale e varianza nota Dipartimento di Scienze Politiche

Intervallo di confidenza per la media con popolazione normale e varianza nota Dipartimento di Scienze Politiche

Il Intervallo di confidenza per la media con popolazione normale e varianza nota Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Si immagini di volere stimare la superficie media �� delle abitazioni di una città attraverso un campione di 50 appartamenti. La media del campione è risultata pari a 120 mq. Da uno studio precedentemente realizzato, sappiamo che lo scarto quadratico medio è pari a =8. Si vuole determinare l’intervallo di confidenza per �� a un livello di confidenza di 95% sotto l’ipotesi di Normalità. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche

Intervallo di confidenza per la media con popolazione normale e varianza non conosciuta con n molto grande Non esiste una regola teorica per stabilire quando n è sufficientemente grande; nelle applicazioni, per costruire un intervallo di confidenza per la media, può essere sufficiente un campione di ampiezza n 120. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dovendo effettuare uno studio sul contenuto di dolcificanti in un prodotto alimentare, sia x la quantità di dolcificante contenuta in un litro di succo di frutta che si assume distribuita secondo una normale con media e varianza incognite. Si estrae un campione di dimensione n=144. Il campione ha media campionaria pari a 110, 3 mg e varianza campionaria pari a 0, 167. Si calcoli un intervallo di confidenza per la media al livello 95%. Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche

Intervalli di confidenza per proporzioni Dipartimento di Scienze Politiche

Intervalli di confidenza per proporzioni Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio È stato somministrato un vaccino a un campione di 400 persone, ma 136 di esse hanno avuto effetti collaterali di un certo rilievo. Determinare un intervallo di confidenza con grado di fiducia del 95% per la proporzione della popolazione che soffre di tali effetti collaterali. Dipartimento di Scienze Politiche

Intervalli di confidenza per una proporzione incognita Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Nel primo caso il candidato potrebbe avere una percentuale di preferenze inferiore al 50%. Dipartimento di Scienze Politiche

La forchetta dei sondaggi elettorali Dipartimento di Scienze Politiche

Esempio Dipartimento di Scienze Politiche