Elaborazione numerica del suono 1 Campionamento q Campionare

Elaborazione numerica del suono 1

Campionamento q Campionare un segnale elettrico significa determinare il suo valore ad intervalli prefissati di tempo. q La frequenza di campionamento (fc) è il numero di campioni ottenuti in 1 secondo q Inoltre il valore ottenuto è noto solo con precisione finita, causa il “numero di bit” del convertitore, che è limitato (tipicamente compreso fra 16 e 24) n Conseguentemente, su un piano ampiezzatempo, la forma d’onda analogica è approssimata da una serie di punti giacenti sui nodi di un reticolo Elaborazione numerica del suono 2

Discretizzazione in ampiezza e nel tempo DV Dt Segnale analogico Segnale digitale (campionato) Elaborazione numerica del suono 3

Puo’ il segnale campionato rappresentare “fedelmente” quello originale? n Sì, ma solo se si rispetta il teorema di Shannon: “La frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della frequenza del segnale analogico che viene campionato” La frequenza pari a metà di fc viene detta “frequenza di Nyquist” – onde evitare che segnali a frequenza maggiore di essa siano presenti all’ingresso del campionatore, occorre un filtro analogico passa-basso che elimini ogni segnale al di sopra della frequenza di Nyquist. Tale filtro viene detto “anti Aliasing”. Elaborazione numerica del suono 4

ESEMPI q CD audio – fc = 44. 1 k. Hz – risoluzione 16 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 22. 05 k. Hz, ed il filtro anti-aliasing comincia a tagliare attorno ai 20 k. Hz, affinchè a 22. 05 k. Hz il segnale sia attenuato di un’ottantina di d. B. q Registratore DAT – fc = 48 k. Hz – risoluzione 16 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 24 k. Hz, ed il filtro antialiasing comincia a tagliare sempre attorno ai 20 k. Hz, affinchè a 24 k. Hz il segnale sia attenuato di un’ottantina di d. B. q DVD Audio – fc = 96 k. Hz – risoluzione 24 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 48 k. Hz, ma il filtro antialiasing comincia a tagliare attorno ai 24 k. Hz, affinchè a 48 k. Hz il segnale sia attenuato di oltre 120 d. B. Un filtro siffatto è molto meno ripido di quello del CD o del DAT, e conseguentemente è molto più “corto” nel tempo e non distorce la forma d’onda. Elaborazione numerica del suono 5

Risposta all’impulso Elaborazione numerica del suono 6

Un semplice sistema lineare Sistema fisico (un ingresso, una uscita) Lettore CD Amplificatore Altoparlante Microfono Analizzatore Sistema Schema a blocchi x(t) h(t) y(t) Input signal System’s Impulse Response (Transfer function) Output signal Elaborazione numerica del suono 7

Filtraggio FIR (Finite Impulse Response) L’effetto del sistema lineare h sul segnale x è descrivibile tramite l’operazione di convoluzione discretizzata: Tale operazione si chiama anche filtraggio FIR – quindi qualunque sistema fisico che opera linearmente (senza distorsione) è in realtà un filtro FIR. In notazione compatta: Operatore “convoluzione” Elaborazione numerica del suono 8

Filtraggio IIR (Infinite Impulse Response) L’effetto del sistema lineare sul segnale x è descrivibile alternativamente anche tramite un filtraggio “ricorsivo”: In pratica, quindi, il segnale y, già filtrato agli istanti precedenti viene usato per calcolare il nuovo campione del segnale filtrato. In molti casi pratici questo consente di rappresentare fedelmente un sistema (un filtro) con un ridotto numero di coefficienti A e B, mentre con il filtraggio FIR, per effettuare un identico filtraggio, sarebbero occorsi migliaia di coefficienti. Elaborazione numerica del suono 9

L’algoritmo FFT q La trasformata veloce di Fourier è molto impiegata in acustica. Gli scopi sono principalmente due: o Analsi spettrale in banda costante o Filtraggio FIR veloce q L’FFT consente il passaggio fra un segnale nel tempo (“forma d’onda”) e la sua rappresentazione in frequenza (“spettro”), con risoluzione a bande costanti da 0 Hz (DC) alla frequenza di Nyquist (metà della frequenza di campionamento) q Maggiore è la lunghezza del segnale nel tempo analizzato, migliore sarà la risoluzione in frequenza dello spettro ottenuto: [N punti campionati nel tempo] => [N/2+1 bande in frequenza] (il +1 rappresenta la risposta alla frequenza 0, cioè la componente continua del segnale, che in acustica si assume per definizione nulla, in quanto la pressione atmosferica viene sottratta) Elaborazione numerica del suono 10

L’algoritmo FFT Il numero di punti processati e deve essere sempre una potenza di 2, ad esempio 4096, 8192, 16384, etc. Segnale nel tempo (64 punti) IFFT E’ anche possibile la trasformata inversa (da spettro a segnale nel tempo) Spettro in frequenza (32 bande + DC) Elaborazione numerica del suono 11

Spettro complesso, autospettro q L’FFT produce uno spettro complesso, a ciascuna frequenza si ottiene un valore costituito da parte reale o immaginaria (Pr, Pi), o, in modo equivalente, da modulo e fase q In molti casi la fase e’ considerata priva di importanza, e si visualizza solo lo spettro del modulo quadrato del segnale, nella scala in d. B: q La seconda forma dell’espressione contiene il cosiddetto AUTOSPETTRO del segnale, ottenuto moltiplicando, a ciascuna frequenza il valore complesso P(f) per il suo complesso coniugato P’(f) Elaborazione numerica del suono 12

Spettro complesso, autospettro q In altri casi invece è importante anche l’informazione di fase (soprattutto quando si fa l’FFT di una risposta all’impulso, e non di un semplice segnale di pressione). q Essa viene presentata in un diagramma apposito. Elaborazione numerica del suono 13

Il “leakage” e le finestre (“window”) q Una delle premesse dell’analisi di Fourier è che il segnale analizzato deve essere un periodo esatto di una forma d’onda periodica q Questo in generale non è vero. Il mancato raccordo fra ultimo campione del blocco analizzato e primo campione del blocco idealmente successivo (identico a quello analizzato, visto che il segnale è assunto periodico), causa un “click”, che si traduce in uno spettro contaminato da rumore a larga banda (“leakage”): Leakage Spettro teorico Elaborazione numerica del suono 14

Il “leakage” e le finestre (“window”) q Per analizzare una arbitraria forma d’onda non avente periodo coincidente con il numero di campioni N, o un segnale assolutamente aperiodico, occorre dunque “finestrare” il segnale contenuto nel blocco, portandolo gradatamente a zero agli estremi q Si usano a questo scopo varie “window”, aventi strani nomi tipo “Hanning”, “Hamming”, “Blackmann”, “Kaizer”, “Bartlett”, “Parzen”, etc. Elaborazione numerica del suono 15

L’overlap q Il problema dell’uso delle Window è che tendono a non analizzare il segnale che capita vicino al punto di giunto fra due blocchi di FFT q Onde evitare questa perdita di informazioni, occorre procedere analizzando non blocchi di N campioni consecutivi, ma blocchi parzialmente overlappati, perlomeno al 50%, e idealmente anche al 75% Block 1 Window FFT Block 2 Window FFT Block 3 Window FFT Elaborazione numerica del suono 16

Media, waterfall, spettrogramma q Ottenuta una sequenza di spettri FFT nel tempo, si possono fare medie esponenziali (Fast, Slow) o lineari (Leq) q Oppure si può visualizzare l’evolvere dello spettro nel tempo secondo le modalità grafiche dette “waterfall” e “spettrogramma” Elaborazione numerica del suono 17