HOMOMORFISMA GRUP Lanjutan Teorema VII 2 Misalkan G

HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)

Teorema VII. 2 Misalkan < G, . > grup dan < B, * > sistem aljabar dengan operasi *. Maka fungsi f : G B mengawetkan operasi maka Im(f) merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B. Bukti: � Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema VII. 1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku. � Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). � Pada satu sisi, � ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) � Sedangkan pada sisi lain, � f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) � Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua hasil di atas sama.

Definisi VII. 4 �Misalkan f : G H homomorfisma grup. Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu Ker(f) = { x G | f(x) = e }. Contoh VII. 7 �Bila didefinisikan pemetaan f : Z 20* dengan f(x) = x 2 maka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh Ker(f) = { 1, 9, 11, 19 }.

Teorema VII. 3 Jika f : G H homomorfisma grup maka Ker(f) grup bagian dari G. Bukti : Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ). �Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e. �Akibatnya identitas e dalam G merupakan anggota Ker(f).

Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup. Misalkan x, y dalam Ker(f). Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e dan f(y) = e sehingga (xy) = f(x) f(y) = e e = e. Oleh karena itu , xy dalam Ker(f). Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung invers dari anggotanya. Misalkan x dalam Ker(f). Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e sehingga f(x) = e f(x) f(x-1) = e f(x-1) f(x x-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e = f(x-1) Berarti x-1 dalam Ker(f). ■

Teorema VII. 4 �Misalkan f : G H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku : �Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G. �Jika G siklik maka f(G) siklik. �Jika a G mempunyai orde berhingga maka order dari f(a) membagi order a. �Jika G abelian maka f(G) abelian.

Contoh VII. 8 : �Fungsi f : dengan f(x) = 8 x merupakan homomorfisma 2 ke 1. �Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka K=Ker(f) = { 0, 5 }. Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f. {0, 5} 0 {1, 6} 8 {2, 7} 6 {3, 8} 4 {4, 9} 2

Teorema VII. 5 Misalkan f : G H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G). Sifat-sifat berikut ini berlaku : �Fungsi f injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 } �Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

Contoh VII. 9 : �Didefinisikan pemetaan f : Z Z dengan aturan f(x) = 3 x. �Karena f(x+y) = 3 x+3 y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma. �Penyelesaian persamaan 3 x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif. �Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3 x | x dalam Z } = (3) yang merupakan grup bagian sejati dari Z. ■

Soal VII. 1 �Misalkan diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}. �Didefinisikan f : R* dengan f(x) = x 2 Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif. Jawab : �Berdasarkan Contoh VII. 4, dengan mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi Ker(f) = { x R* | f(x) = x 2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehingga f tidak injektif.

Latihan �Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. ◦ f : Z R* dengan f(k) = 2. ◦ f : R R dengan f(x) = x. ◦ f : Z Z dengan f(k. 1) = k. 1. �Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan intinya.

f : R R+ dengan f(x) = 2 -x. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel. �Diketahui

TERIMA KASIH