BAB 3 Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan Satu

BAB 3 Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan Satu Variabel Standar Kompetensi: q Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear Kompetensi Dasar: q Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel q Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear q Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya q Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar q Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel q Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV) SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai atau dengan a, b, c, p, q, dan r atau a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, dan c 2 merupakan bilangan-bilangan real. SPLDV homogen: SPLDV tak homogen:

Penyelesaian SPLDV Y Contoh 5 4 3 x + y = 1 x +y = 5 mempunyai penyelesaian (2, 3) (0, 5) g 1 : x + y = 1 (2, 3) 2 3 g 2 : x + y = 5 2 (-1, 0) 1 -1 0 5 (5, 0) 4 Penyelesain suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara i. Metode Grafik ii. Metode Subtitusi iii. Metode Eliminasi, dan iv. Metode Determinan X

Metode Subtitusi Contoh: 2 x 3 y = 7 3 x + 2 y = 4 Jawab: Subtitusikan ke persamaan 2 x 3 y = 7 2 x = 7 + 3 y 2 3 x + 2 y = 4, diperoleh: 3 7 + 3 y 2 + 2 y = 7 3(7 + 3 y) + 4 y = 8 21 + 9 y + 4 y = 8 13 y = 13 y = 1 Subtitusikan nilai y = 1 ke persamaan x = diperoleh: 7 + 3 y 2 7 + 3 y( 1) x = 2 Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah (2, 1)

Metode Eliminasi Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi peubah x. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan: Jawab: x 2 + y = 3 , tiap ruas dikalikan 4 4 x+ y+4 3 = 8, tiap ruas dikalikan 3 Dengan demikian, persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV: x + 4 y = 14 3 x + y = 20

Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV) SPLTV dalam variabel x, y, dan z dapat ditulis sebagai: atau Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan: i. Metode Subtitusi, ii. Metode Eliminasi, atau iii. Metode Determinan.

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit y = ax + b . . . bagian linear y = px 2 + qx + r . . . bagian kuadrat Langkah 1 Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px 2 + qx + r, diperoleh ax + b = px 2 + qx + r px 2 + qx − ax + r − b = 0 px 2 + (q − a)x + (r − b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x. Langkah 2 Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b.

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit SPLK dengan bagian berbentuk implisit px + qy + r = 0 . . . bagian linear ax + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 . . . bagian kuadrat berbentuk implisit Himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x. Langkah 2: Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y. Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian nilai-nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear.

Contoh Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK x+y− 1=0 x 2 + y 2 − 25 = 0 Jawab: Substitusi y = 1 − x ke persamaan x² + y² − 25 = 0 x 2 + (1 − x)2 − 25 = 0 Û x 2 + 1 − 2 x + x 2 − 25 = 0 Û 2 x 2 − 2 x − 24 = 0 Û x 2 − x − 12 = 0 Û (x + 3)(x − 4) = 0 Û x = − 3 atau x = 4 Untuk x = − 3 diperoleh: y = 1 − (− 3) = 4 (− 3, 4). Untuk x = 4 diperoleh: y = 1 − 4 = − 3 (4, − 3). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: (− 3, 4), (4, − 3).

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit Dapat Difaktorkan Menentukan himpunan penyelesaian SPLK L=0 Bentuk linear Bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan SPLDV yang diperoleh L 1 ·L 2 = 0 L 1 = 0 L=0 L 1= 0 atau L 2 = 0 L=0 L 2= 0

Contoh Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut 2 x + 3 y = 8 4 x 2 − 12 x + 9 y 2 = 16 Jawab: 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 16 Û (2 x− 3 y)2 − 16 = 0 Û (2 x − 3 y + 4)(2 x − 3 y − 4) = 0 Û 2 x − 3 y + 4 = 0 atau 2 x − 3 y − 4 = 0 2 x + 3 y = 8 2 x − 3 y + 4 = 0 2 x − 3 y − 4 = 0 Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (1, 2). Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (3, Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1, 2), (3, 2 )}. 3 2 3 ).

Pertidaksamaan Satu Variabel Pengertian Selang Misalkan R adalah himpunan bilangan real. {x l x < 3, x R Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real R dinamakan selang ata interval. Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan. − 2 − 1 0 1 {x l x < 3, x R 2 3

No. Selang atau Interval Grafik Selang o o 1. p<x<q 2. p≤x≤q 3. p≤x<q 4. p<x≤q 5. x<q o 6. x≤q q 7. x p x≥p q o p q q o q 8. p p

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Contoh: 4 x − 6 0 Û 3 x 6 Û x 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x l x 2}. − 2 − 1 0 x< 1 2 3 4 1 2 − 1 0 x 2 1 2

Pertidaksamaan Pecahan Himpunan penyelesian pertidaksamaan berbentuk pecahan f(x) < 0, ≤ 0, atau ≥ 0 g(x) dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut. Langkah 1 Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk pecahan f(x) g(x) yaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0 Langkah 2 Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval. Langkah 3 Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Langkah 4 Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada Langkah 3, kita dapat menentukan interval yangmemenuhi g(x) = 0.

Contoh 2 x 4 ≤ 0 3 x + 3 Jawab: Nilai nol bagian pembilang : 2 x 4 = 0 x = 2 Nilai nol bagian penyebut : 3 x + 3 = 0 x = 1 Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut, serta tanda-tanda interval diperlihatkan pada + o 1 2 + Penyebut tidak boleh sama dengan nol 3 x + 3 0 x 1 Jadi, himpunanpertidaksamaan pecahan 2 x 4 ≤ 0 adalah 3 x + 3 HP = {x l 1 < x ≤ 2}