HOMOMORFISMA GRUP Dalam mempelajari sistem perlu juga mempelajari

  • Slides: 16
Download presentation
HOMOMORFISMA GRUP

HOMOMORFISMA GRUP

�Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. �Sebagai

�Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. �Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V W mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar. Definisi VII. 1 �Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. Fungsi f dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B terdapat x A sehingga y =

Contoh VII. 1 : �Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) = x.

Contoh VII. 1 : �Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) = x. Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f : R R dengan f(x) = x 2 bukan fungsi surjektif karena -2 R tetapi tidak ada x R sehingga f(x) = x 2 = -2. Definisi VII. 1 �Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. �Fungsi f dikatakan injektif jika dan hanya jika untuk setiap x, y A dengan f(x) = f(y) berlaku x = y.

Contoh VII. 2 : �Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) = x

Contoh VII. 2 : �Diketahui fungsi f : R R dengan f(x) = x 3. Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk setiap x, y R dengan f(x) = f(y) maka x 3 = y 3 sehingga berlaku x = y. �Sedangkan fungsi f : R R dengan f(x) = x 2 bukan fungsi injektif karena ada -2 , 2 R dan -2 ≠ 2 tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2). Definisi VII. 1 �Diketahui pemetaan/fungsi f : A B. Fungsi f dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif.

Contoh VII. 3 : � 1. Fungsi f : R R dengan f(x) =

Contoh VII. 3 : � 1. Fungsi f : R R dengan f(x) = x merupakan fungsi bijektif. � 2. Fungsi f : R R dengan f(x) = x 2 merupakan bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif. � 3. Fungsi f : R R dengan f(x) = 2 x + 3 merupakan fungsi bijektif. � 4. Fungsi f : R R dengan f(x) = x 3 merupakan fungsi bijektif. � 5. Fungsi f : R R+ dengan f(x) = ex merupakan fungsi bijektif. Definisi VII. 1 � Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. � Pemetaan f : G H dinamakan homomorfisma grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x). f(y)

Contoh VII. 4 � Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n

Contoh VII. 4 � Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan bulat tertentu. � Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xn mendefinisikan suatu homomorfisma f : G G. � Karena f(xy) = (xy)n = xn yn = f(x) f(y) maka f mengawetkan operasi. � Khususnya, : Z 10* dengan (x) = x 2. Hal itu berarti (1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan (9) = 1. Contoh VII. 5 � Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma dari M 2 x 2* ke R* karena determinan mempunyai sifat det(AB) = det(A). det(B) yang berarti fungsi determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.

�Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari

�Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma. �Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1 xb. Peta dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma fb adalah b-1 Sb = { b-1 s b | s dalam S }. �Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1 Sb dinamakan konjugat dari S.

�Manfaat utama dari homomorfisma f : G H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya

�Manfaat utama dari homomorfisma f : G H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat dari grup G. Definisi VII. 3 �Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup f : G H didefinisikan sebagai Im(f) = f(G) = { f(g) | g G }. �Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H.

Teorema VII. 1 � Jika f : G H homomorfisma grup maka Im(f) grup

Teorema VII. 1 � Jika f : G H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari H. Bukti Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup. � Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). � Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup). � Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup. Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G) � Anggota e adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. � Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). � Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e f(b).

Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G). �Misalkan f(x) dalam f(G). �Anggota f(x-1)

Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G). �Misalkan f(x) dalam f(G). �Anggota f(x-1) merupakan invers dari f(x) karena f(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e. �Dengan cara yang sama, didapat f(x-1) f(x) = e dan f(x-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x-1) dalam f(G).

Latihan �Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. ◦ f : Z R* dengan f(k)

Latihan �Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. ◦ f : Z R* dengan f(k) = 2. ◦ f : R R dengan f(x) = x. ◦ f : Z Z dengan f(k. 1) = k. 1. �Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan peta. �Jika G dan H sebarang grup dan f : G H dengan f(x) = e untuk semua x dalam G buktikan bahwa f homomorfisma.

�Diketahui Z 3* = { 1, 2 } dan f : Z 3* dengan

�Diketahui Z 3* = { 1, 2 } dan f : Z 3* dengan f(x) = x 2. Apakah f homomorfisma bijektif ?

TERIMA KASIH

TERIMA KASIH