Harmonische trillingen Inleiding Verschijnselen met een periodiek karakter
- Slides: 56
Harmonische trillingen
Inleiding • Verschijnselen met een periodiek karakter komen in de fysica veelvuldig voor • Basis van de studie van golfverschijnselen (zowel mechanische als elektromagnetische)
Voorbeelden
Massa aan veer • Massa losgelaten op en neer schommelen rond haar evenwichtstoestan d • = trilling
Besluit • Een veerkrachtig voorwerp trilt wanneer dit voorwerp uit de evenwichtsstand wordt gebracht en daarna losgelaten. • Het voorwerp voert een periodieke beweging uit. • Periodieke beweging = reeks opeenvolgende identieke bewegingen = cyclussen
• Periode T = tijd voor één cyclus • Frequentie f = aantal cyclussen per tijdseenheid • Elektrische tandenborstel • Heinrich Hertz (1857 -1894)
Drie soorten trillingen • De vrije ongedempte harmonische trilling • De vrije gedempte harmonische trilling • De gedwongen harmonische trilling
Trilling • Of oscillatie • Een periodieke beweging • Wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtsituatie
Harmonische trilling • Stand ten opzichte van haar evenwichtsstand sinusfunctie
Harmonische trillingen De vrije ongedempte harmonische trilling
Inleiding • Een harmonische trilling gebeurt altijd onder invloed van een kracht die evenredig is en tegengesteld aan de uitwijking
De vrije ongedempte harmonische trilling • Stel dat we de wrijving van de bewegende massa in de lucht verwaarlozen, dan zal de trilling onveranderd blijven voortduren • De massa m beweegt dan op en neer met een bepaalde frequentie, die niet afhangt van de amplitude van de trilling. We noemen deze frequentie de natuurlijke trillingsfrequentie van de massa aan de veer.
Bewegingsvergelijking • We kunnen deze trilling theoretisch beschrijven door gebruik te maken van de wet van Hooke en de tweede wet van Newton
Afleiding
Intermezzo – differentiaalvergelijkingen • Functies als oplossing! • Zijn vergelijkingen waarin één of meerdere afgeleiden van de te zoeken functie voorkomen. • Oplossingen van differentiaalvergelijkingen leveren y(t)
We zoeken nu een oplossing voor vergelijking (2) een functie van y(t) dat aan de tweede orde differentiaal vergelijking voldoet.
Oplossing van de eenvoudige harmonische oscillator
Uitwijking
Kenmerken van de harmonische trilling
Kenmerkende grootheden Een massa voert een harmonische trilling uit als haar uitwijking op elk ogenblik voldoet aan de vergelijking:
Uitwijking ifv tijd
• A = de absolute waarde van de maximale uitwijking die de massa kan hebben • A = amplitude • (ωt + φ) = fase • ω = fasesnelheid of pulsatie • φ = beginfase = positie van de massa op het ogenblik t = 0 s • Periode T = 2π/ω en frequentie f = 1/T
Eigenfrequentie • f = natuurlijke of eigenfrequentie van de vrije ongedempte trilling
Grafische voorstelling Harmonische trilling met beginfase gelijk aan 0 rad (1) Harmonische trilling met beginfase gelijk aan π2 rad (2)
Voorstelling van een harmonische trilling met fasoren
Uitwijking : fasorvoorstelling • Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. • Uitwijking = projectie op de Y-as.
Fasoren of draaiende vectoren • Voorstelling door middel van een fasor of draaiende vector
• Voorstelling van twee trillingen die ten opzichte van elkaar een faseverschil vertonen
• Het faseverschil van een tweede trilling t. o. v. een eerste wordt bepaald door: • - Indien Δφ < 0 rad dan ijlt de tweede trilling na op de eerste • - Indien Δφ > 0 rad dan ijlt de tweede trilling voor op de eerste • - Indien Δφ = 0 rad dan zijn beide trillingen in fase • - Indien Δφ = π rad dan zijn beide trillingen in tegenfase
Snelheid - berekening • is opnieuw een trilling met amplitude Aw • is p/2 uit fase ten opzichte van y(t) • ‘loopt p/2 voor op’ y(t)
Snelheid - grafisch
Besluit: • Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand • Snelheid is nul bij maximale uitwijking
Versnelling - berekening • is opnieuw een trilling met amplitude Aw². • is p uit fase ten opzichte van y(t) en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.
Versnelling - grafisch
Besluit: • Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is • Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie
Snelheid en versnelling
Fasorvoorstelling (2) • Fasor snelheid loodrecht op fasor A • Fasor versnelling hoek 180° met fasor A.
Kracht is recht evenredig met de uitwijking. Kracht is tegengesteld gericht aan de uitwijking.
Kinetische energie • Kinetische energie – definitie • Kinetische energie op tijdstip t
Potentiële energie • Ep bij y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwichtstand. • Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.
Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude
Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwichtstand ?
Opdrachten
Wiskundige slinger • Idealisatie : – Onuitrekbaar en massaloos touw – Puntmassa • Puntmassa beweegt op cirkelboog. • Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.
Wiskundige slinger krachtwerking • Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. • Welke kracht is dat ? Ø Tangentiële component van resultante. • Spankracht : alléén maar normaal-component. • Kracht die we zoeken Ø Tangentiële component van zwaartekracht.
Wiskundige slinger – krachtwerking (2) • Tangentiële component zwaartekracht : • Voor kleine hoeken :
Wiskundige slinger conclusies
Gedempte trillingen • Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt. • Amplitude gaat exponentieel afnemen
Resonantie • Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. • Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator). • Resonantievoorwaarde : femittor = fresonator • Zie ook applets website.
Resonantie-catastrofe • Bij continue energietoevoer bij resonantievoorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. • Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden => RESONANTIE-CATASTROFE. • Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge
Resonantie – catastrofe (2)
- Molgewicht
- Aandoening zenuwstelsel hond
- Fasoren
- Spieren met tegengestelde werking
- Trillingen meten
- Mechanische trillingen
- Mechanische trillingen
- Wat is het slot van een tekst
- Economie
- Artikel
- Wat is inleiding
- Harmonische welle definition
- Harmonische trilling definitie
- Armbuigspier en armstrekspier
- Oplosvergelijking
- Zorgbudget voor ouderen
- Achternamen hoofdletters
- Planten onderdelen
- Vraagstukken oplossen
- Werken met een microscoop
- Bel nouvel vieil
- Uitdrukkingen met vast voorzetsel
- Kerstverhaal met boodschap
- Adriaan van dis een bord met spaghetti
- Zaadlobben bruine boon
- Er is een stad met gouden straten
- Nscr 04
- Overstaande hoeken
- Dieren met een inwendig skelet
- Praatvormen
- We zaten met een zucht
- Bond voor gehandicaptensport
- Een eigen huis een plek onder de zon
- Kop stamper bloemkelk
- Kubus uitvouwen
- Ei schouwen dag 21
- Wat is een draaiboek
- Balans momentopname
- Een leven zonder dromen is als een tuin zonder bloemen
- Bladwijzer in atlas
- Schaaldeel liniaal
- Bedrijvende vorm
- Ping pong tongbreker
- Inleiding voorbeeld
- Trechtermodel inleiding
- Slot van een tekst
- Grensplasmolyse
- Auteur
- Stopregel
- Wat is n inhoud
- Betoog voorbeeld
- Inleiding
- Voorwoord voorbeeld stageverslag
- Eenheden van inhoud
- Voorbeeld van inleiding
- Inleiding
- Inleiding betoog schrijven