Enkelvoudige harmonische trillingen Hoofdstuk 2 Harmonische Trillingen TRILLING

Enkelvoudige harmonische trillingen Hoofdstuk 2

Harmonische Trillingen ¡ ¡ TRILLING : heen – en weergaande beweging rond evenwichtsstand. ELONGATIE : Stand ten opzichte van de evenwichtsstand. AMPLITUDE : Maximale elongatie. HARMONISCHE TRILLING : Elongatie = sinusfunctie

Bewegingsvergelijking ¡ A : Amplitude (wt + f 0) : Fasehoek (fase) w : Fasesnelheid of pulsatie f 0 : Beginfase Periode T : ¡ Frequentie f : ¡ ¡

Elongatie

Elongatie (2)

Elongatie : fasorvoorstelling ¡ ¡ ¡ Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. Elongatie = projectie op de Yas. Zie ook applet.

Snelheid bij EHT - berekening ¡ ¡ ¡ Snelheid is opnieuw een trilling met amplitude Aw. Snelheid is p/2 uit fase ten opzichte van elongatie. Snelheid ‘loopt p/2 voor op’ elongatie

Snelheid bij EHT - grafisch

Snelheid bij EHT - grafiek ¡ ¡ Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand. Snelheid is nul bij maximale uitwijking

Versnelling bij EHT - berekening ¡ ¡ Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude Aw². Versnelling is p uit fase ten opzichte van elongatie en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.

Versnelling bij EHT - grafisch

Versnelling bij EHT - grafiek ¡ ¡ Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is. Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie.

Snelheid en versnelling bij EHT

Fasorvoorstelling (2) ¡ ¡ ¡ Snelheid en versnelling kunnen ook met fasoren voorgesteld worden. Fasor snelheid staat loodrecht op fasor elongatie. Fasor versnelling maakt hoek van 180° met fasor elongatie.

Krachtwerking bij EHT Uit eerste wet van Newton en afleiding versnelling volgt : l l Kracht is recht evenredig met elongatie. Kracht is tegengesteld gericht aan de elongatie. Nodig en voldoende voorwaarde om een massa m een EHT met pulsatie w te laten beschrijven

Energie bij EHT – Kinetische energie ¡ Kinetische energie – definitie ¡ Kinetische energie op tijdstip t ¡ Kinetische energie bij elongatie y

Energie bij EHT – potentiële energie ¡ ¡ Ep bij elongatie y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwichtstand. Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.

Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwichtstand ?

Massa aan veer Evenwichtstand Elongatie y

Massa aan veer - conclusies Massa aan veer voert harmonische trilling uit. ¡ Trilconstante = veerconstante ¡

Wiskundige slinger ¡ Idealisatie : l l ¡ ¡ Onuitrekbaar en massaloos touw Puntmassa beweegt op cirkelboog. Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.

Wiskundige slinger - krachtwerking ¡ ¡ Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. Welke kracht is dat ? Ø Tangentiële component van resultante. Spankracht : alléén maar normaalcomponent. Kracht die we zoeken Ø Tangentiële component van zwaartekracht.

Wiskundige slinger – krachtwerking (2) ¡ Tangentiële component zwaartekracht : ¡ Voor kleine hoeken :

Wiskundige slinger - conclusies

Gedempte trillingen ¡ ¡ Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt. Amplitude gaat exponentieel afnemen

Resonantie ¡ ¡ Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator). Resonantievoorwaarde : femittor = fresonator Zie ook applets website.

Resonantie-catastrofe Bij continue energietoevoer bij resonantie-voorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. ¡ Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden => RESONANTIE-CATASTROFE. ¡ Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge ¡

Resonantie – catastrofe (2)