GII THIEU CHUNG I GII THIU S LC

GIÔÙI THIEÄU CHUNG I. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP QĐNS CỦA EVANS VÀ DICKSON

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n Kyõ thuaät veõ QÑNS truyeàn thoáng ñöôïc Evans ñeà ra. Phöông phaùp naøy dựa vaøo phöông trình ñaëc trưng 1 + G(s)H(s) = 0 (1). Phöông phaùp QÑNS cuûa Evans sử dụng phöông trình (1) ñeå xaùc ñònh vò trí cöïc khi ñộ lợi của heä thoáng thay ñoåi.

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n n Trong phần này ta giới thiệu phương pháp mới để vẽ QĐNS của hệ thống điều khiển. bằng cách vẽ đường biểu diễn QĐNS bao gồm phần thực và ảo là nghiệm của phương trình đặc tính. Việc tìm nghiệm này xuất phát từ nguyên tắc cân bằng của Dickson. Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n Ứng dụng của phương pháp kỹ thuật này cho phép điều chỉnh độ lợi và thiết kế được hệ thống theo yêu cầu Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n n A) Phöông phaùp cuûa Evans Vấn ñề quan trọng của hệ thống ñiều khiển tuyến tính laø nghiệm số từ phương trình ñặc tính G(s)H(s) + 1 = 0. Ví dụ: Cho một phương trình với heä soá k thay ñoåi , muốn biết ñược quỹ ñạo cuûa nghieäm thì ta tìm nghieäm öùng vôùi töøng giaù trò cuûa k , khi ñoù ta ñöôïc ñường biểu diễn của nghiệm số. Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n n Quy tắc của Evans cho pheùp bỏ qua một số quy trình phức tạp ñể xaây döïng neân phaùc họa của QĐNS moät caùch nhanh choùng. Vì thế coù thể noùi quy tắc của Evans vaãn raát hữu dụng khi veõ QÑNS. Vôùi phương trình ñặc tröng: 1+G(s)H(s) = 0 của một hệ thống hồi tiếp ñöôïc bieåu dieãn nhö hình veõ sau:

GIÔÙI THIEÄU CHUNG Rs + G(S) K - H(S) Fig. 1 Controlled system Cs

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n Quy tắc ñể vẽ QĐNS ñược toùm tắt ở bảng I. Người thiết kế dễ daøng vẽ ñược QĐNS bằng caùch sử dụng những nguyeân tắc do Evans ñưa ra. Tuy nhieân phương phaùp naøy khoâng cung cấp cho ta caùch thức phaân tích trong vieäc xaùc ñịnh ñộ lợiyeâu caàu

GIÔÙI THIEÄU CHUNG n n B) Phöông phaùp cuûa Dickson Phương phaùp ñược giải thích bằng một caùch hiểu khaùc veà hệ thống. Phương phaùp naøy coù thể ñược sử dụng ñể thiết lập ñộ lợi theo mong muốn cho hệ thống vaø cho ta phương trình ñại số của quỹ ñạo. Cả hai phương phaùp Evans vaø Dickson coù thể ñược duøng như một thanh coâng cụ hổ trợ cho việc vẽ QĐNS theo mong muốn Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS II. Phương pháp Evans – Phương pháp truyền thống. Evans đưa ra 9 định lí để vẽ QĐNS: n n Định Lí 1: Những điểm ứng với k= 0 trên QĐNS là những cực của G(s)H(s) Định Lí 2: Những điểm ứng với k->+/-∞ trên QĐNS là zeros của G(s)H(s). Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n n Định Lí 3: Số nhánh của QĐNS bằng với bậc của đa thức G(s)H(s). Định Lí 4: QĐNS đốI xứng qua trục thực.

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n Định Lí 5: Góc của tiệm cận của RL( k >0) được xác định bởi công thức: n Өk = (2 K+1 )п | n-m | n=m Trong đó k = 0, 1, 2, …, |n-m|-1. n n, m là số cặp cực-zeros của G(s)H(s) n Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n Góc của đường tiệm cận của CRL(k<0) được xác định bởi công thức: n Өk = 2 Kп n=m | n-m | Trong đó k = 0, 1, 2, …, |n-m|-1. n n, m là số cặp cực-zeros của G(s)H(s) n

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n Định Lí 6: Giao điểm của tiệm cận với trục thực được xác định như sau: n n Ơ 1 = Σcực - Σzeros n-m n là tổng số cực và m là tổng số zeros của G(s)H(s) Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n Định Lí 7: QĐNS được vẽ trên toàn bộ trục thực ứng với RL hay CRL. RL: thuộc về quỹ đạo nghiệm nếu tổng số cực và zeros nằm bên phải RL là lẻ. CRL: thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zeros nằm bên phải CRL là số chẵn. n Lưu ý: Số zeros và cực phức của G(s)H(s) không ảnh hưởng đến sự phân bố của quỹ đạo nghiệm số trên trục thực. Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS n n Định Lí 8: Điểm tách nhập trên QĐNS thoả phương trình vi phân sau: Định Lí 9: Điểm giao nhau của QĐNS với trục ảo ω được xác định theo tiêu chuẩn Routh. Hurwitz Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON III. PHÖÔNG PHAÙP DICKSON n n Phöông phaùp cuûa Dickson laø döïa vaøo phöông trình ñaëc tröng ñeå tìm ra moái quan heä giöõa phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa nghieäm soá. Töø 1+G(s)H(s)= 0 suy ra: |G(s)H(s) | =1 vaø G(s)H(s)=180

Xeùt heä thoáng treân Fig. 1 , haøm truyeàn laø: PHƯƠNG PHÁP C(s)/R(s)=G(s)H(s)/(1+G(s)H(s)) QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON hay vieát döôùi daïng: C(s)/R(s)=b(s)/a(s) Phöông trình ñaëc tröng voøng kín cho döôùi daïng: a(s)=F(s)+1=0 n QÑNS ñöôïc thieát laäp döïa vaøo ñieàu kieän: Re(F(s))=-1 vaø Im(F(s))=0 Vôùi s = ta coù: Re(F( ))= -1 vaø Im(F( ))=0 n

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Xeùt ví duï: Cho heä thoáng coù haøm truyeàn G(s)= n n Ta coù C(s)/R(s)= = = vaø H(s)=1.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Hay F(s)= hay F( )= + +K-1 = AÙp duïng ñieàu kieän caân baèng phaàn aûo: Im(F(s))= =0 Suy ra =0 hoaëc =-1/2 Töø keát quaû thu ñöôïc, veõ caùc ñöôøng =0 vaø =-1/2 ta thu ñöôïc QÑNS hoaøn chænh

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON -1 x QÑNS hoaøn chænh: -0. 5 x 0

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Löu yù raèng : =0 bieåu dieãn cho moät phaàn RL vaø phaàn CRL naèm treân truïc (ñieàu naøy ñuùng cho taát caû caùc heä thoáng), coøn =1/2 bieåu dieãn cho phaàn RL coøn laïi- ñoù laø ñöôøng thaúng ñöùng naèm beân traùi truïc

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Aùp duïng ñieàu kieän caân baèng phaàn thöïc: Re(F(s))= =-1 hay K= (*) Töø (*) ta coù theå thieát keá giaù trò cuûa K tuyø theo giaù trò cuûa va Nhö vaäy, K hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi ta choïn moät nghieäm theo mong muoán (sao cho heä thoáng toái öu) naèm treân QÑNS

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Ví dụ: Cöïc cuûa heä thoáng ñöôc xaùc ñònh taïi vò trí: (-0. 5, 0. 4158) , thay giaù trò naøy vaøo (*) ta ñöôïc K=0. 4229

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n n n Phöông trình caân baèng phaàn thöïc vaø phaàn aûo baét nguoàn töø nguyeân taéc caân baèng cuûa Dickson goàm moät ñieàu kieän cho phaàn thöïc vaø moät ñieàu kieän cho phaàn aûo. Caû hai phöông phaùp (Evans vaø Dickson) ñeàu xaùc ñịnh ñöôïc QÑNS chính xaùc. Phöông phaùp cuûa Dickson khai thaùc vieäc tính toaùn ñoä lôïi K döïa treân cöïc cuûa heä thoáng taïi ñieåm hoaït ñoäng theo mong muoán.

Ví duï 2: Cho 1 hệ thống được cho bởi PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON G(s)= và H(s)=1. Tìm QĐNS. Giải: n Hàm truyền vòng kín : C(s)/R(s)= =

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n F( n Thay s= : )= Điều kiện cân bằng phần ảo: =0

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n là phần đồ thị nằm trên trục thực Phương trình còn lại là Hyperbola có tiêu điểm là điểm (-1, 0). n RL và CRL được vẽ như sau:

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Phaàn RL:

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Phaàn CRL:

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Ñieàu kieän phaàn thöïc cho ta: Töø phöông trình treân cho pheùp ta tính ñoä lôïi K tuyø theo giaù trò cuûa vaø Ñieåm taùch nhaäp (breakaway point-BP) cuõng ñöôïc tính döïa vaøo phöông trình caân baèng phaàn aûo khi cho Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n Ta coù: Vôùi suy ra: n Thay caùc giaù trò treân vaøo phöông trình cuûa K theo vaø Ta suy ra : n Ñeå heä thoáng oån ñònh, aùp duïng quy taéc Routh ta deã daøng coù ñöôïc 0<K<6. Vieäc khaûo saùt phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng cho thaáy K>0 vì taát caû caùc heä soá ôû coät 1 trong baûng Routh ñeàu döông.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Xeùt PT: Töø ñieàu kieân phaàn aûo: Vaø ñieàu kieän phaàn thöïc: (1) (2) Taïi Kc=0 vaø Taïi Kc=6 vaø =0: (2)=>taàn soá giôùi haïn =0: (2)=> taàn soá giôùi haïn Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng c=0;

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n Nhö vaäy: vieäc phaân tích phöông trình cuûa heä thoáng duøng phöông phaùp Dickson khoâng nhöõng cho ta QÑNS chính xaùc maø coøn cho pheùp xaùc ñònh nhöõng thoâng soá quan troïng taïi nhöõng ñieåm mong muoán treân quyõ ñaïo. Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n Töø (1) : Ñieåm hoaït ñoäng xaùc ñònh taïi: Vaø ñoä lôïi taïi ñieåm hoaït ñoäng laø: (2)=> n Nhöõng ñieåm hoaït ñoäng khaùc coù theå ñöôïc tính toaùn theo caùch töông töï Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

Ví duï 4: PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON 2 Haøm truyeàn baäc cao cho bôûi G(s)=K/(s(s+1)(s +4 s+13) , H(s)=1 Giải C(s)/R(s)=K/(s 4+5 s 3+17 s 2+13 s+K); (1) F(s)= s 4+5 s 3+17 s 2+13 s+K Re{F( + j )}= 4+5 3+17 2+13 -6 2 -15 2 17 2+ 4+K-1 (2) Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Im{F( + j )}= (4 3+15 2+34 +13 -4 2 - 5 2) (3) n PT (2), (3) có bậc cao hơn các phöông trình chúng ta đã khảo sát ở trên. Việc quy về các đường cong hình học có thể không được. QĐNS được vẽ ở Fig. 10 chỉ ra hình dạng và những tiệm cận của đường cong này.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n n ĐK thực và ảo trong những PT trên sẽ cung cấp những thông tin để phân tích hệ thống và tìm K. Sử dụng điều kiện ảo trong PT (3): (4 3+15 2+34 +13 -4 2 - 5 2)=0(4) và =0 là nghiệm của QĐNS như trong những ví dụ trước và những điểm tách nhập có thể tìm được từ PT trên , với =0 thì 4 3+15 2+34 +13=0.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Để ý rằng nghiệm của PT trên là tại - 1, 6418±j. 2, 067 và tại -0. 4664, điểm tách nhập tại BP=-0, 4664. Biết được giá trị tại điểm tách nhập ta sẽ tìm đưc giá trị của HSKĐ tại điểm đó bằng PT (2) với K=KBP, =0. n ĐK thực: 4+5 3+17 2+13 -6 2 -15 2 -17 2+ 4+K -1=0 (5) và từ phương trình trên ta có

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON =0, 4664, =0, KBP=2, 8252. n ĐK ảo ở PT (4): (4 3+15 2+34 +13 -4 2 - 5 2)=0 được sử dụng tính điểm tách nhập với =0. Nó cũng sẻ cung cấp tần số tới hạn khi =0 nghĩa là 5 c 2=13 c=±j 1. 6125

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON ĐK thực từ PT(5): 4+5 3+17 2+13 -6 2 -15 2 -17 2+ 4+K-1=0 sẻ cung cấp HSKĐ tại BP. Nó cũng sẽ cho Kc tại điểm =0, = c Kc= c 4+17 c 2=31, 44.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Ứng dụng điều kiện thực và ảo sẽ cho những điểm quan trọng của QĐNS. Những PT này cũng sẽ cho ta tìm được điểm làm việc o và o, HSKĐ Ko. Bằng việc chọn hệ số suy giảm thích hợp =0, 5 hay o/ o= và thay vào (4) ta được quan hệ:

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON -8 03+34 0+13=0 Với nghiệm 0=2, 2312 ; -1, 8341 hoặc -0, 3971. Do 0< BP=-0, 4664 nên 0=0, 397 được chọn và o=0, 6878 từ quan hệ o/ o= , cuối cùng Ko=8, 2179 sử dụng PT (5): 4+5 3+17 2+13 -6 2 -15 2 -17 2+ 4+K 1=0

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON Ví dụ này mô tả ứng dụng của kĩ thuật Dickson với những vấn đề cao hơn. n Khi QĐNS không thể xác định bằng những mối quan hệ hình học đơn giản , những PT cơ bản thành lập từ điều kiện thực và ảo rất hữu dụng để tìm những yếu tố quan trọng cần cho thiết kế và phân tích hệ thống.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n n Những giá trị chính xác sẽ tính được cho những tách nhập trên trục thực , những giá trị tới hạn của dao động và HSKĐ hệ thống để đạt được điểm hoạt động mong muốn. Chỉ thành lập được những PT đại số và việc khó nhất là tìm nghiệm cho những PT này.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON n VD 5 : Ví dụ cuối cùng là hệ thống bậc 5 có: G(s)=K. (s 2+2 s+4)/{s(s+4)(s+6) (s 2+ 1, 4 s+1)} và H(s)=1. n n Tăng số zero ở G(s) là tăng sự phức tạp của vấn đề. QĐNS cho hệ thống này:

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON § Việc giải ví dụ hoàn tương tự như ví dụ trước. Nhưng do phương trình thực và ảo có bậc cao nên việc giải các phương trình này sẽ sử dụng sự hỗ trợ của Mathcad.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON IV. Kết luận: Ø Kĩ thuật Dickson rất hiệu quả trong việc cho phép người thiết kế biết được: n n HSKĐ tại những điểm làm việc mong muốn. Điểm tách nhập và K của mỗi điểm tìm được từ những điều kiện đã có khi =0.

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON HSKĐ và tần số tới hạn cho tính ổn định có thể tìm được khi đánh giá PT tại =0. Ø Với những hệ thống bậc cao , PT đạt được sẽ rất phức tạp và khó khăn để giải. Tuy nhiên các PT này vẫn chặt chẽ đặc biệt là 2 PT thu được(1 là hàm của , ; 1 là hàm của K) n