Chapitre II Econometrie des Series Temporelles Modeles ARIMA

Chapitre II Econometrie des Series Temporelles Modeles ARIMA ARCH-GARCH

Pourquoi? • Modelisation de la croissance • Variables explicatives a choisir? – Politique fiscale, investissement, technologie, demographie, commerce international, taux de change, taux d’interet • Series temporelles: Utiliser les valeurs passees de la croissance et des termes d’erreur • Approche purement statistique • Modeles parsimonieux

Objectif • Identifier le processus generateur des variables observees • Outil de prevision

Definition • Une serie temporelle consiste en un ensemble d’observations d’une variable y • Observations sont espacees dans le temps a intervalles egaux: yi avec i=1, 2, . . t • Processus stochastique: Chaque observation est une variable aleatoire et les variables evoluent dans le temps selon certaines lois • Ce que nous observons: Ensemble limite d’observations

Notions de Base • Moyenne • Variance • Autocovariance – Variance de Y avec ses propres valeurs passees • Autocorrelation • PAC: dernier coefficient de y sur ses m valeurs passees

Autocorrelations Partielles

Bruit Blanc N(0, 1) Distribution

Modelisation ARMA • • Auto. Regressive (Integrated) Moving Average Box Jenkins (1976) Auto. Regression Moyenne ponderee de Bruits blancs

Notations • Operateur ‘Arriere’ • Operateur ‘Avant’ • Difference

Moving Average • Toujours stationnaire • Fonction de bruits blancs passes • Notation avec operateur

Exemple MA(q)

MA(1)

Ma(q)

Exemple MA(1) phi 1=0. 8 AC PAC

Exemple MA(3) AC Phi=0. 8, -0. 5, 0. 3

AR(1) Stationnaire Processus explosif

Pourquoi?

AR(1) Phi=0. 5 AC Phi=-0. 8

AR(2) • Conditions de stationarite:

AR(p) • Conditions de stationarite: Les racines de l’equation suivante doivent etre inferieures a 1 en valeur absolue

ARMA(1, 1) • Les autocorrelations diminuent progressivement • Similaire a AR(1) • Mais fonction plus compliquee des parametres • Depend des deux coefficients

Box-Jenkins (1976) 1) Identification: Un premier modele est choisi apres examen des autocorrelations – Si rho ne decroit pas rapidement: indication de non-stationarite – Si rho(k)=0 pour k>q et les autocorrelations partielles decroissent MA(q) – Si rho(k) decroit et les autocorrelations partielles sont =0 pour k>p AR(p) – Si pas de point de rupture clair ARMA(p, q)

Box-Jenkins (1976) 2) Estimation Maximum de vraisemblance Goodness of fit (criteres AIC, Schwartz) 3) Tests de verification sur les residus - Est ce que les erreurs sont aleatoires? - Non autocorreles: Test de Box-Ljung - Normalite: Test de Jarque Bera

Estimation

Maximum de vraisemblance • Les erreurs sont iid • Distribution jointe: produit des distributions individuelles • Regression simple

Conditional Likelihood ARMA(p, q) • Considere les p premieres observations comme donnees • Fixer les q premieres erreurs a 0 • Par iteration

ARCH • Hypothese de constance de la volatilite rarement verifiee sur marches financiers • Auto Regressive Conditional Heteroskasticity • La volatilite semble etre correlee dans le temps • Fat Tails (kurtosis)

Volatility Clusters S&P 500

Fat Tails

ARCH(1) • Engle (1982) • La volatilite conditionelle est fonction des observations passees

Proprietes • Volatilite autocorrellee • Kurtosis>3

GARCH(1, 1) • ARCH(p) difficile a estimer • Bollerslev(1986) • Generalized. . . ARCH • Correspond a ARCH( )

Extensions • Integrated GARCH – Les coefficients somment a 1: persistent tres longtemps Les chocs passes • GARCH in Mean – Relation directe entre rendement et risque d’un actif – Dans la specification du rendement moyen, inclure une function de la variance conditionnelle • Exponentional GARCH – Les chocs passes ont un impact asymmetrique sur la volatilite

News Impact Curve Relation entre erreur Et volatilite future

Test – Engle(1982) • ARCH(q) • Hypothese H 0 de volatilite constante • Regression • Les epsilons sont obtenus par estimation du modele sous hypothese de volatilite constante • Statistique LM: n. R 2 suit Chi 2(q)