VI UKURAN PEMUSATAN UKURAN PEMUSATAN ADALAH SUATU UKURAN

VI. UKURAN PEMUSATAN § UKURAN PEMUSATAN ADALAH SUATU UKURAN YANG MEMPUNYAI KECENDERUNGAN MEMUSAT ARTINYA CENDERUNG BERADA DI TENGAH-TENGAH DARI KELOMPOK DATA YANG TELAH DIURUTKAN, DISEBUT JUGA” “RATA-RATA § RATA-RATA ADALAH NILAI YANG MEWAKILI HIMPUNAN ATAU SEKELOMPOK DATA. § RATA-RATA YANG AKAN DIBAHAS ADALAH : § § MEAN (RATA-RATA HITUNG) MEDIAN MODUS QUARTIL § RATA-RATA MELIPUTI : 1, RATA-RATA DATA TUNGGAL DAN 2. RATA-RATA DATA BERKELOPOK. 1

1. MEAN (RATA-RATA HITUNG) DATA TUNGGAL RATA-RATA HITUNG DATA TUNGGAL BIASANYA DIPAKAI UNTUK MENGHITUNG RATA-RATA DATA YANG JUMLAHNYA SEDIKIT. RUMUS : X = ∑ Xi ------n _ dimana : X = rata-rata hitung (mean) n = banyaknya data Xi = Jumlah tiap data i = 1, 2, 3, n CONTOH : (Riduwan, 2005 : 102 -104) APABILA ADA 6 ORANG YANG MENGIKUTI PERBAIKAN NILAI STATISTIK DAN MEMPEROLEH NILAI MASING-MASING SBB. : 80 70 90 85 60 50 HITUNG ; NILAI MEAN ? = 72. 5 2

MEAN (RATA-RATA HITUNG) DATA BERKELOPOK Disebut data berkelompok karena sudah di hitung frekuensinya (telah memiliki frekuensi) Data berkelompok terbagi dua, yaitu : • DATA BERKELOMPOK YANG BELUM DIHITUNG INTERVAL KELASNYA dan • DATA BERKELOMPOK YANG SUDAH DIBUAT DALAM INTERVAL KELAS Contoh : Lihar Ridwan, hal. 105 dan J. Supranto, hal 88 . 3

Data berkelompok yang belum ada kelas intervalnya RUMUS : X ∑ fi. Xi -------∑ fi = Contoh : Berapa rata-rata hitung (mean) dari data berikut ini ∑ X f fi. Xi 8 6 4 5 7 9 2 3 4 3 2 1 16 18 16 15 14 9 15 88 _ 88 X = ----- = 5, 87 15 4

Data berkelompok yang sudah ada kelas Intervalnya RUMUS : X ∑ Mifi = -------∑ fi M = titik tengah atau Xi Contoh : Berat badan 100 orang mahasiswa sbb. : Berat (interval) 60 -62 63 -65 66 -68 69 -71 72 -74 ∑ Jumlah (f) M Mf 5 18 42 27 8 61 64 67 70 73 305 1. 152 2. 814 1. 890 584 100 _ X 6. 745 = ----- = 67, 45 100 Jadi rata-rata berat badan mahasiswa = 67, 45. 6. 745 5

MEDIAN (Med), MENUNJUKKAN NILAI TENGAH DARI GUGUSAN DATA YANG SUDAH DIURUTKAN DARI DATA YANG KECIL SAMPAI DATA YANG BESAR ATAU SEBALIKNYA. MISAL : KELOMPOK NILAI : X 1, X 2, X 3 ………… Xn 1. MEDIAN DATA TIDAK BERKELOMPOK untuk mencari Posisi Median, gunakan rumus : Posisi Med = ½ (n + 1) dimana n = banyaknya data Contoh : Untuk data Ganjil ( n Ganjil) Hitung Median dari data sbb : 65 70 90 40 35 45 70 80 50

§ Penyelesaian : § Urutkan dulu datanya sbb : 35 40 45 50 65 70 70 80 90 Posisi Median : = ½ ( 9 + 1 ) = 5 (artinya pada data yang ke lima) Jadi Med = 65

Contoh 2 : Untuk data genap Hitung Median dari data berikut : 50 65 70 90 40 35 45 70 80 50 Jawab : Data diurutkan dulu menjadi 35 40 45 50 50 65 70 70 80 90 Posisis median : ½ (10 + 1) = 5, 5 Jadi Med. = ½ (50 + 65) = 57, 5

MEDIAN DATA BERKELOMPOK § RUMUS : Med = Lo + c n/2 - ∑ (fi )o --------fm Dimana : Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung nilai median dikurangi 0, 5 n = banyaknya observasi atau jumlah seua frekuensi c = kelas interval (lebar kelas) ∑ ( fi )o = jumlah frek. Dari semua kelas di bawah kelas median Fm = Frekuensi kelas yang mengandung median Kelas Median adalah kelas yang mempunyai Fkrekuensi tertinggi

CONTOH menghitung median § BERIKUT INI ADALAH DATA TENTAG UPAH 40 ORANG KARYAWAN SEBUAH PERUSAHAAN (DALA RIBUAN RUPIAH), SBB. : Hitung mediannya Tingkat Upah F 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 - 180 3 5 9 12 5 4 2 Jumlah 40

Penyelesaian : Lo = 145 – 0, 5 = 144, 5 C=9 N = 40 ∑ ( fi )o = 17 Fm = 12 20 - 17 Med = 144, 5 + 9 ----12 = 144, 5 + ( 27/12 ) = 146, 75

MODUS (Mode) § MODUS (MOD) ADALAH NILAI DARI BEBERAPA DATA YANG MEMPUNYAI FREKUENSI TERTINGGI BAIK DATA TUNGGAL MAUPUN DATA YANG SUDAH BERBENTUK DISTRIBUSI (BERKELOMPOK) ATAU DENGAN KATA LAIN NILAI YANG SERING MUNCUL DALAM SEKELOMPOK NILAI § MODUS DATA TUNGGAL MISALNYA ADA DATA SBB. : 40 60 60 65 72 60 70 60 80 90 MAKA MODUSNYA ADALAH : 60 (KARENA MUNCUL 4 KALI)

CATATAN § SUATU DISTRIBUSI MUNGKIN TIDAK MEMPUNYAI MODUS § ATAU MEMPUNYAI SATU MODUS § ATAU MEMPUNYAI DUA MODUS § ATAU MEMPUNYAI LEBIH DARI 2 MODUS

§ MODUS DATA BERKELOMPOK RUMUS : Mod = Lo + c F 1 -----F 1 + F 2 Dimana : Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung nilai modus dikurangi 0, 5 c = kelas interval (lebar kelas) F 1 = frek. Kelas yang memuat modus dikurangi frek kelas sebelunya F 2 = Frekuensi kelas yang memuat modus dikurangi frek kelas sesudahnya.

Contoh § BERDASARKAN DATA PADA CONTOH MEDIAN, MAKA DAPAT DIHITUNG MODUSNYA SBB. : Tingkat Upah F 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 - 180 3 5 9 12 5 4 2 Jumlah 40

F 1 = 12 – 9 = 3 F 2 = 12 - 5 = 7 Lo = 145 – 0, 5 = 144, 5 C=9 JADI MODUS (MODE) = 144, 5 + 9 3 -----3 + 7 = 144, 5 + 9 (3/10) = 144, 5 + 9 (0, 3) = 144, 5 + 2, 7 = 147, 2

KUARTIL § Kuartil adalah nilai atau angka yang membagi data dalam empat bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. § Ada 3 bentuk kuartil : Kuartil Pertama : Nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi dibagian atas, dan 75% frekuensi di bagian bawah. Kuartil Kedua : Nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibagian atas, dan 50% frekuensi di bagian bawah.

Kuartil Ketiga : Nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi dibagian atas, dan 25% frekuensi di bagian bawah. Dapat digambarkan atau diilustrasikan sbb. : K 1 K 2 K 3 25% Ket. Angka kecil 50% 75% 50% 25% Angka Besar

Kuartil data tunggal § Posisi kuartil, diperoleh dengan rumus : K 1 = ¼ (n+1) K 2 = ½ (n+1) K 3 = ¾ (n+1) n = banyaknya data Contoh : Diketahui data : 65 70 90 40 35 45 70 80 50

§ Urutkan terlebih dahulu datanya, sbb : 35 Posisi K 1 = ¼ ( 9 + 1) = 2, 5 40 Berarti terletak pada angka 40 dan 45 45 Dengan demikian, posisi K 1 terletak diantara angka 40 dan 45, maka K 1 50 adalah (40+45)/2 = 42, 5 65 Dengan rumus yang sama di dapat : 70 K 2 = 65 70 K 3 = 75 80 90

KUARTIL DATA BERKELOMPOK J. supranto, hal. 116 § RUMUS : Ki = Lo + c i/4. n - ∑ (fi)o --------fq Dimana : Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung nilai Kuartil dikurangi 0, 5 n = banyaknya observasi atau jumlah semua frekuensi c = kelas interval (lebar kelas) dari kuartil ke-i ∑( fi )o = jumlah frek. dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil Fq = Frekuensi kelas yang mengandung quartik ke-i i = 1, 2, 3

CONTOH : (Riduwan, hal. 129) HITUNG KUARTIL DARI DATA BERIKUT INI : KELAS F 60 - 64 2 65 - 69 6 70 - 74 15 75 - 79 20 80 - 84 16 85 - 89 7 90 - 94 4 JUMLAH 70 22

PENYELESAIAN § Langkah penyelesaian : 1. Tentukan dulu dimana posisi/kelas kuartil masing-masing. 2. Cari batas bawah kelas kuartil 3. Hitung lebar kelas 4. Tentukan Fq dari masing-masing kuartil 5. Hitung jumlah frekuensi (kumulatif) dari semua kelas dibawah atau sebelum kelas kuartil

Jawab : § Posisi kuartil : K 1 = ¼ (n+1) = ¼ (70+1) = 17, 75 Jadi K 1 berada pada kelas ke-3 yaitu antara 70 -74 K 2 = ½ (n+1) = ½ (70+1) = 35, 5 Jadi K 2 berada pada kelas ke-4 yaitu antara 75 -79 K 3 = ¾ (n+1) = ¾ (70+1) = 53, 25 Jadi K 3 berada pada kelas ke-5 yaitu antara 80 -84

§ Nilai Batas bawah kelas kuartil : ( Lo ) K 1 = 69, 5 K 2 = 74, 5 K 3 = 79, 5 diperoleh dari 70 – 0, 5 = 69, 9 dst. § Lebar kelas masing-masing kuartil (c) = 5 § Fq Fq dari masing-masing kuartil : dari K 1 = 15 dari K 2 = 20 dari K 3 = 16 § Jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas kuartil atau ∑(fi)o dari Q 1 = 2 + 6 = 8 ∑(fi)o dari Q 2 = 2 + 6 + 15 = 23 ∑(fi)o dari Q 3 = 2 + 6 + 15 + 20 = 43

K 1 = 69, 5 + 5 K 1 = 69, 5 ¼. 70 - 8 ------15 17, 5 - 8 -------15 + 3, 17 = 72, 67

K 2 = 74, 5 + 5 ½. 70 - 23 --------20 35 - 23 -------20 K 2 = 74, 5 + 3 = 77, 5 K 3 = 79, 5 + 5 K 3 = 79, 5 ¾. 70 - 43 ------16 52 , 5 - 43 -------16 + 2, 95 = 82, 45

§ Disamping Kuartil terdapat juga Desil dan Persentil § DESIL (Ds) adalah angka atau nilai yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, setelah disusun dari angka terkecil sampai angka terbesar. § Harga-harga desil ada 9 bagian, yaitu Ds 1 sampai Ds 9 § PERSENTIL (Ps) adalah nilai yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama § Harga-harga desil ada 99 bagian, yaitu Ds 1 sampai Ds 99