Ukuran Statistika pendahuluan Ukuran Statistik 1 Ukuran Pemusatan

  • Slides: 38
Download presentation
Ukuran Statistika

Ukuran Statistika

pendahuluan Ukuran Statistik : 1. Ukuran Pemusatan (Bagaimana, di mana data berpusat? ) •

pendahuluan Ukuran Statistik : 1. Ukuran Pemusatan (Bagaimana, di mana data berpusat? ) • Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean • Modus • Median • Kuartil, Desil, Persentil 2. Ukuran Penyebaran (Bagaimana penyebaran data? ) • Ragam, Varians • Simpangan Baku Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data : 1. Ungrouped Data (data Array) 2. Grouped Data (data distribusi kelompok)

Rata-rata hitung Untuk data Array Notasi : μ : rata-rata hitung populasi x :

Rata-rata hitung Untuk data Array Notasi : μ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampel μ : rata-rata hitung populasi N : ukuran Populasi x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel xi : data ke-i

Rata-rata hitung Contoh 1 : Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS,

Rata-rata hitung Contoh 1 : Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900 Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? = 850 + 1100 + 1150 + 1250 + 750 + 900 = 6000 = 1000 6 6 Contoh 2 : Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa : 13, 5 12, 5 13 12 11, 5 12, 5 10 12 x = 13, 5 + 12, 5 + 13 + 12 + 11, 5 + 12, 5 + 10 + 12 = 97 = 12, 125 % 8 8

Rata-rata hitung Untuk data Kelompok Nilai rata-rata data kelompok merupakan nilai pendekatan Rumusnya :

Rata-rata hitung Untuk data Kelompok Nilai rata-rata data kelompok merupakan nilai pendekatan Rumusnya : n : ukuran Sampel fi : frekuensi di kelas ke-i atau xi : Titik Tengah Kelas ke-i Contoh : Tabel Usia 50 karyawan PT Famury Tahun 2016. Tentukan Rata-ratanya Kelas 16 -23 24 -31 32 -39 40 -47 48 -55 56 -63 Frekuensi (fi) 10 17 7 10 3 3 Jml 50 Titik Tengah Kelas (xi) 19. 5 27. 5 35. 5 43. 5 51. 5 59. 5 fi xi 195 467. 5 248. 5 435 154. 5 178. 5 1679 x = 1679 = 33, 58 50

Rata-rata hitung Cara Coding Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka Rumusnya :

Rata-rata hitung Cara Coding Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka Rumusnya : M : Titik tengah kelas yg diberi kode ui : kode kelas i : Interval kelas Contoh : Tabel Usia 50 karyawan PT Famury Tahun 2016. Tentukan Rata-ratanya Kelas 16 -23 24 -31 32 -39 40 -47 48 -55 56 -63 Frekuensi (fi) 10 17 7 10 3 3 Jml 50 (xi) 19. 5 27. 5 35. 5 43. 5 51. 5 59. 5 ui – 2 – 1 0 1 2 3 fi u i – 20 – 17 0 10 6 9 1679 – 12 x = 35, 5 + 8. – 12 50 = 35, 5 – 1, 92 = 33, 58

Latihan 1. Tentukan Rata-rata dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10,

Latihan 1. Tentukan Rata-rata dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 b. . x f c. Nilai Ujian Frekuensi 50 5 31 – 40 1 60 4 41 – 50 4 55 3 51 – 60 6 58 2 61 – 70 20 64 4 71 – 80 10 81 – 90 8 91 – 100 1

2. 3. 4. 5. 6. Nilai rata-rata 9 anak adalah 7. Jika ada satu

2. 3. 4. 5. 6. Nilai rata-rata 9 anak adalah 7. Jika ada satu anak baru mempunyai nilai 6, berapa nilai rata-rata kesepuluh anak tersebut ? Nilai rata-rata 7 anak adalah 8. Jika ditambah satu anak yang bernilai 10, nilai rata-rata nya menjadi …. Nilai rata-rata 11 anak adalah 6. Dengan masuknya seorang anak lagi, rata-ratanya menjadi 6, 25. Tentukan nilai anak yang baru masuk ! Nilai rata-rata 14 anak adalah 7. Jika ada seorang anak baru dimasukkan, nilai rata-ratanya menjadi 7, 2. Tentukan nilai anak baru tersebut ! Nilai rata-rata suatu kelas yang terdiri dari 36 siswa adalah 7, 5. Jika salah satu anak keluar, maka rata-ratanya menjadi 7, 6. Berapa nilai anak yang keluar tersebut ?

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) a. Untuk Data Array Contoh

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) a. Untuk Data Array Contoh : Sumbangan PMI warga Depok : 7. 500; 8. 000; 9. 000; 8. 000; 3. 000; 5. 000; 8. 000 Modus dari data di atas = 8. 000 Kemungkinan lain nilai modus : • Data dengan beberapa modus • Data tanpa modus Contoh : 1. Berat 5 orang bayi (bln) : 3, 6 3, 5 2, 9 3, 1 3, 0 (Tidak ada modus) 2. Umur Mahasiswa (th) : 19 19 18 21 19 18 18 20 Modus = 18 dan 19 23 22 21 17

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) b. Untuk Data Kelompok Kelas

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) b. Untuk Data Kelompok Kelas Modus : Kelas dimana Modus berada (Kelas dengan frekuensi tertinggi) Mo = Tb + i Tb d 1 d 2 i ( d 1 + d 2 ) : Tepi Batas Bawah kelas modus : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya : interval kelas

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) Contoh : Tentukan Modus dari

Modus Nilai yang paling sering muncul (Frekuensi paling tinggi) Contoh : Tentukan Modus dari data pada tabel berikut Kelas 16 -23 24 -31 32 -39 40 -47 48 -55 56 -63 Frek (fi) 10 17 7 10 3 3 ( Kelas modus Tb = 23, 5 Frek kelas modus = 17 Frek kelas sebelum kelas modus = 10 Frek kelas setelah kelas modus = 7 d 1 = 17 – 10 = 7 d 2 = 17 – 7 = 10 Interval i = 8 ) ( d 1 7 Mo = Tb + i = 23, 5 + 8 d 1 + d 2 7 + 10 ) = 23, 5 + 8(0, 412) = 26, 796

Latihan Tentukan Modus dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5

Latihan Tentukan Modus dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 b. . x f c. Nilai Ujian Frekuensi 50 5 31 – 40 1 60 4 41 – 50 4 55 3 51 – 60 6 58 2 61 – 70 20 64 4 71 – 80 10 81 – 90 8 91 – 100 1

median Me = Nilai yang membagi gugus data yang telah urut menjadi 2 bagian

median Me = Nilai yang membagi gugus data yang telah urut menjadi 2 bagian yang sama a. Untuk data Array Letak median pada data ke- n + 1 2 n : banyaknya data Contoh 1 : Diketahui tinggi badan 5 mahasiswa (cm) : 175 178 160 173 178 Sorted : 160 173 175 178 Letak median pada data ke- 5 + 1 = 3 Median pada data ke-3 = 175 2 Contoh 2 : Diketahui tinggi badan 6 mahasiswa (cm) : 175 178 160 173 180 178 Sorted : 160 173 175 178 180 Letak median pada data ke- 6 + 1 = 3, 5 Median antara data ke-3 dan 4 2 Median = (data ke-3 + data ke-4)/2 = (175 + 178)/2 = 1, 765

median b. Untuk data Kelompok Letak median pada data ke- n n : banyaknya

median b. Untuk data Kelompok Letak median pada data ke- n n : banyaknya data 2 Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif Tb : Tepi Batas Bawah fkum : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median i : interval kelas fmed : Frekuensi kelas Median

median Contoh : Tentukan Median dari data pada tabel berikut Kelas 16 -23 24

median Contoh : Tentukan Median dari data pada tabel berikut Kelas 16 -23 24 -31 32 -39 40 -47 48 -55 56 -63 Frek (fi) 10 17 7 10 3 3 fkum 10 27 34 44 47 50 Kelas modus Interval = 8 Letak Median = 50/2 = 25 (pada kelas ke-2) Tb = 23, 5 Frek kelas median = 17 Frek kumulatif sblm kelas Med = 10 ( ) 23, 5 + 8 25 – 10 17 = 23, 5 + 8(0, 882) = 30, 556

Latihan Tentukan Median dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5

Latihan Tentukan Median dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 b. . x f c. Nilai Ujian Frekuensi 50 5 31 – 40 1 60 4 41 – 50 4 55 3 51 – 60 6 58 2 61 – 70 20 64 4 71 – 80 10 81 – 90 8 91 – 100 1

RATA-RATA TERTIMBANG Dalam beberapa kasus setiap nilai diberi beban, misalnya : pada kasus perhitungan

RATA-RATA TERTIMBANG Dalam beberapa kasus setiap nilai diberi beban, misalnya : pada kasus perhitungan Indeks Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll x. B : rata-rata tertimbang Bi : beban ke-i xi : data ke-i n : banyak data Berikut adalah Transkrip Akademik seorang mahasiswa Nilai Mutu Angka Muatu (xi) SKS (Bi) B i xi Pancasila B 3 2 6 Teori Ekonomi A 4 4 16 Bahasa Inggris C 2 3 6 Pengantar Manajemen A 4 3 12 14 12 40 Matkul Jumlah IP rata-rata = 40 = 3, 33 12

RATA-RATA geometrik Rata-rata geometrik digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya :

RATA-RATA geometrik Rata-rata geometrik digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll atau Ingat : G = antilog (log G) G : Rata-rata geometrik xi : data ke-i n : banyaknya data

RATA-RATA geometrik Contoh 1 : Hitung rata-rata geometrik dari data : 3, 5, 4,

RATA-RATA geometrik Contoh 1 : Hitung rata-rata geometrik dari data : 3, 5, 4, 7, 8, 7 = 5, 353 Cara lain : = 0, 729 G = 10 0, 729 = 5, 353

Rata-rata harmonik Misalkan terdapat kasusu sebagai berikut : Si A bepergian dari kota A

Rata-rata harmonik Misalkan terdapat kasusu sebagai berikut : Si A bepergian dari kota A ke kota B. Waktu pergt ta melakukan perjalanan dengan kecepatan 50 km/jam. Sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 40 km/perjam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang perginya? Jawab : Dengan rata-rata hitung biasa, kita akan memperoleh : ½ (50 + 40) = 45 km/ jam Jika kita teliti kembali, akan muncul hasil yang lain. Misalkan jarak kota A ke B, adalah 100 km. Maka, untuk pergi perlu waktu : 2 jam. Sedangkan untuk pulang perlu waktu : 2, 5 jam. Jadi pulang pergi perlu 4, 5 km dengan jarak tempuh 200 km. Jadi rata-rata kecepatannya adalah : Data tunggal : Data Kelompok :

Latihan Tentukan Rata-rata Geometrik dan Rata-rata harmonis dari data : a. 7, 6, 8,

Latihan Tentukan Rata-rata Geometrik dan Rata-rata harmonis dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 b. . x f 50 5 60 4 55 3 58 2 64 4

UKURAN PENYEBARAN Simpangan Rata-rata Ragam/Varians Simpangan Baku/Standar Deviasi Koefisien Variansi Angka Baku (Z score)

UKURAN PENYEBARAN Simpangan Rata-rata Ragam/Varians Simpangan Baku/Standar Deviasi Koefisien Variansi Angka Baku (Z score)

Simpangan rata-rata Rumus simpangan Rata-rata Data Tunggal Data Kelompok Simpangan Rata-rata SR : Simpangan

Simpangan rata-rata Rumus simpangan Rata-rata Data Tunggal Data Kelompok Simpangan Rata-rata SR : Simpangan Rata-rata fi : Frekuensi ke-i xi : Datum/Nilai titik tengah kelas ke-i x : Rata-rata

Simpangan rata-rata 1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : 7, 6, 8, 7, 6,

Simpangan rata-rata 1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 (|7 – 7|+|6 – 7|+|8 – 7|+|7 – 7|+|6 – 7|+|10 – 7|+|5 – 7|) (0 + 1 + 3 + 2) =

Simpangan rata-rata 1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : Nilai f xi fi. xi

Simpangan rata-rata 1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : Nilai f xi fi. xi |xi – x| fi. |xi – x| 141 – 145 2 143 286 14, 5 29 146 – 150 4 148 592 9, 5 38 151 – 155 8 153 1224 4, 5 36 156 – 160 12 158 1896 0, 5 6 161 – 165 10 1630 5, 5 55 166 – 170 4 168 672 10, 5 42 40 6300 206

latihan Hitung simpangan rata-rata dari data : a. 4, 7, 3, 8, 6, 5,

latihan Hitung simpangan rata-rata dari data : a. 4, 7, 3, 8, 6, 5, 12, 3 b. . Nilai Frek c. . 5 6 6 8 7 10 8 12 9 4 Nilai Frek 31 – 35 3 36 – 40 7 41 – 45 10 46 – 50 9 51 – 55 2

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU a. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi) data tunggal

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU a. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi) data tunggal Ragam (Varians) POPULASI SAMPEL xi : data ke-i μ : rata-rata populasi σ²: ragam populasi σ : simpangan baku populasi N : ukuran populasi atau SD : Simpangan Baku x : rata-rata sampel s²: ragam sampel s : simpangan baku sampel n : ukuran sampel SD

Ragam/varians dan simpangan baku Contoh : Data Usia 5 mahasiswa : 18 Hitunglah a.

Ragam/varians dan simpangan baku Contoh : Data Usia 5 mahasiswa : 18 Hitunglah a. , 2, dan b. x, s 2 dan s 19 20 21 22 (anggap data sebagai populasi) (data berupa sampel) xi (xi– ) atau (xi – x) (xi– )2 atau (xi – x)2 xi 2 18 – 2 4 324 19 – 1 0 1 2 1 0 1 4 361 400 441 484 10 20 21 22 100 = 100 = 20 5

Ragam/varians dan simpangan baku Jika data dianggap sebagai sampel maka : xi (xi– )

Ragam/varians dan simpangan baku Jika data dianggap sebagai sampel maka : xi (xi– ) atau (xi – x) (xi– )2 atau (xi – x)2 xi 2 18 – 2 4 324 19 – 1 0 1 2 1 0 1 4 361 400 441 484 10 20 21 22 100 x = 100 = 20 5

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU b. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi) untuk Data

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU b. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi) untuk Data Kelompok Ragam (Varians) SD POPULASI SAMPEL xi : Titik tengah kelas k : banyaknya kelas μ : rata-rata populasi σ²: ragam populasi σ : simpangan baku populasi N : ukuran populasi SD : Simpangan Baku fi : frekuensi kelas ke i x : rata-rata sampel s²: ragam sampel s : simpangan baku sampel n : ukuran sampel

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU Dari data berikut diketahui rata-rata = 33, 58. Tentukan Varians

RAGAM/VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU Dari data berikut diketahui rata-rata = 33, 58. Tentukan Varians dan standar deviasi jika a. Datanya berupa data populasi b. Data berupa data sampel Kelas 16 -23 24 -31 32 -39 40 -47 48 -55 56 -63 Titik Frek tengah fi xi 10 19, 5 17 27, 5 7 35, 5 10 43, 5 3 51, 5 3 59, 5 Data berupa populasi fi. xi (xi – ) atau (xi – x) 195 – 14, 08 467, 4 – 6, 08 1, 92 248, 5 9, 92 435 154, 5 17, 92 178, 5 25, 92 1697 (xi – )2 atau (xi – x)2 198, 2464 36, 9664 3, 6864 98, 4064 321, 1264 671, 8464 Data berupa sampel fi. (xi – )2 atau fi. (xi – x)2 1982, 4640 628, 4288 25, 8048 984, 0640 963, 3792 2015, 5392 6599, 6800

Latihan Tentukan Variansi dan simpangan baku dari data : a. 7, 6, 8, 7,

Latihan Tentukan Variansi dan simpangan baku dari data : a. 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5 b. . Nilai Ujian Frekuensi 31 – 40 1 41 – 50 4 51 – 60 6 61 – 70 20 71 – 80 10 81 – 90 8 91 – 100 1

Koefisien variansi (KV) Semakin besar nilai Koefisien Variansi (KV) maka data semakin bervariasi (keragaman

Koefisien variansi (KV) Semakin besar nilai Koefisien Variansi (KV) maka data semakin bervariasi (keragaman data makin tinggi) Data Koefisien Varians Populasi Sampel Contoh : Diketahui x = 33, 58 dan s = 11, 6054 Tentukan Koefisien Variansinya ! Penyelesaian : Koefisien Varians = 34, 56 %

latihan 1. Jika rata-rata nilai ujian di kelas A adalah 80 dengan simpangan standar

latihan 1. Jika rata-rata nilai ujian di kelas A adalah 80 dengan simpangan standar 4, 2. tentukan koefisien variansi kelas tersebut. 2. Suatu lampu model A rata-rata dapat dipakai selama 3. 500 jam dengan simpangan baku 1. 500 jam. Lampu model B dapat digunakan dengan rata pemakaian 10. 000 jam dengan simpangan baku 2. 000 jam. Tentukan koefisien variansi dari lampu model A dan B 3. Diketahui Koefisien variansi suatu data adalah 8% dengan simpangan baku 4, 2. Tentukan rata-rata data tersebut

Angka baku (z-score) • Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi. •

Angka baku (z-score) • Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi. • z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-) • z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi • z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi • z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi z : Angka baku μ: rata-rata populasi x : nilai data σ : simpangan baku populasi

Angka baku (z-score) Contoh 5 : Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam

Angka baku (z-score) Contoh 5 : Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2, 5 km. Hitung angka baku untuk kecepatan lari : a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam a. b.

1. Suatu kelompok data mempunyai nilai rata-rata 43 dengan simpangan baku 5, 39. Jika

1. Suatu kelompok data mempunyai nilai rata-rata 43 dengan simpangan baku 5, 39. Jika salah satu datanya bernilai 50, nyatkaan dalam nilai standar. 2. Diketahui nilai ulangan matematika suatu kelas mempunyai simpangan baku 2. Jika Ayu berada di kelas tersebut mempunyai angka baku 1, 5 dengan nilai ulangan matematika 70, maka rata-rata ulangan di kelas tersebut adalah