Universit Federico II di Napoli Facolt di Scienze

Università Federico II di Napoli Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di laurea in Informatica Fisica Sperimentale I Gruppo 1 Docente Prof. Leopoldo Milano Anno accademico 2010 -2011

Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h e poi per lo stesso tempo alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocità media. Soluzione – La velocità media si ottiene dalla definizione : Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasform da Km/h a m/s.

Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h, percorrendo un cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità 80 km/h. Trovare la velocità media. Soluzione – La velocità media si ottiene dalla definizione : NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!) 2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s.

Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto B alla velocità costante v 1 = 10 Km/h rispetto riva. Successivamente torna indietro alla velocità v 2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motore della barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi, trovare la velocità della corrente e velocità della barca rispetto alla corrente. Soluzione – La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa due casi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si s dalla velocità della barca, nel secondo si somma : NB – Non c’è nessun bisogno di trasformare da Km/h a m/s, ma non è

Esercizio – Stessa situazione del caso precedente Sono note la velocità della corrente (w=2 Km/h) e la velocità della barca rispetto alla corrente (u=10 Km/ Calcolare la velocità media della barca. Soluzione – Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragitto totale 2 S. Il tempo totale è facile da calcolare :

Esercizio – Un’automobile, durante una frenata unifo passa in un minuto dalla velocità di 40 Km/h a quella 28 Km/h. Trovare il valore della accelerazione e lo sp percorso. Soluzione – v 1 = 40 Km/h = 11. 11 m/s; v 2 = 28 Km/h = 7. 78 m/s; a = (v 2 -v 1 ) / t = (7. 78 - 11. 11) / 60 = - 0. 055 m/s 2; [quale è il significato del segno “-” ? ? ? ] s = 1/2 a t 2 + v 1 t = - 0. 5 · 0. 055 · 602 + 7. 78 · 60 = = - 100 + 666. 6 = 566. 6 m.

Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, post 1. 5 Km di distanza. Percorre la prima metà del tragitt moto uniformemente accelerato e la seconda di mot uniformemente ritardato. Data la velocità massima (50 Km/h), calcolare il valore dell’accelerazione e il tempo totale di percorrenza. Soluzione –È sufficiente mettere a sistema le equazioni d spazio e della velocità, e poi risolvere per T e prima bisogna trasformare la velocità in m/s :

Esercizio– In una gara sui 100 m, due atleti impiega lo stesso tempo di 10. 2 s. Il primo impiega 2 s in accelerazione costante, poi mantiene la velocità cos fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poi mantiene la velocità costante. Determinare per ciasc concorrente l’accelerazione e la velocità massima. Soluzione –

Esercizio [ parte 2] – Nella stessa gara dell’es. prece Quale concorrente si trova in testa dopo un tempo di 6 secondi ? Soluzione – È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54. 3 - 5 = 2. 6 m.

Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Vis un ostacolo, il conducente riesce a fermarsi in 110 Quale è l’accelerazione e quanto tempo impiega ? Soluzione –

Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso l’alto con velocità iniziale di 12 m/s. a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più della traiettoria ? b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto c) Dopo quanto tempo ricade a terra ? d) Con che velocità la palla tocca terra ? e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ? Soluzione –

Esercizio – Un oggetto viene lanciato da terra ad un’altezza di 4 m. Il tragitto dura 1. 5 s. Determinare l velocità dell’oggetto : a) al momento del lancio; b) all’istante di arrivo. Soluzione –

Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un palazzo verso l’alto, con una velocità di 12. 25 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo 4. 25 s. Si calcoli : a) l’altezza del palazzo; b) la massima altezza raggiunta dal sasso; c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo. Soluzione –

Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha un corrente di 1 m/s. Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente. Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre a) barca in favore di corrente; b) barca contro corrente; c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente. Soluzione:

Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7. 2 Km/h Direzione perpendicolare alla riva. Però la corrente approdare a 150 m più a valle di un fiume largo 500 Trovare la velocità della corrente e il tempo totale di attraversamento del fiume. Soluzione: I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stes tempo totale T. Pertanto : vy = vmotore = 7. 2 Km/h = 2 m/s; vy = vmotore = s / T T = s / vy = 500 / 2 = 250 s = 4 min 1 vx = vcorrente = d/T = 150 / 250 = 0. 6 m/s.

Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre 25 m, in direzione orizzontale, con velocità 15 m/s. che distanza cade, rispetto al bordo della torre ? In quanto tempo ? Soluzione –

Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velo di 100 m/s. Si calcoli l’angolo rispetto al piano orizzontale che causa la gittata massima e il valore d gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario per colpi un bersaglio a 500 m di distanza. Soluzione –

Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguent a) la Terra che ruota attorno al Sole (assumere moto circolare uniforme); b) la Terra che ruota attorno a se stessa; c) la lancetta delle ore; d) la lancetta dei minuti; e) la lancetta dei secondi. Soluzione – a) w 1 = 2 p / T 1 = 2 p / (365 · 24 · 60) = 1. 99 · 10 -7 rad/s; b) w 2 = 2 p / T 2 = 2 p / (24 · 60) = 7. 27 · 10 -5 rad/s; c) w 3 = 2 p / T 3 = 2 p / (12 · 60) = 1. 45 · 10 -4 rad/s; d) w 4 = 2 p / T 4 = 2 p / (60 · 60) = 1. 7 · 10 -3 rad/s; e) w 5 = 2 p / T 5 = 2 p / 60 = 0. 104 rad/s.

Esercizio – Determinare la velocità ango che deve mantenere un aeroplano all’equatore affinc sole appaia fisso all’orizzonte. L’aereo deve volare verso est o verso ovest ? Soluzione – waereo = - w. Terra = 7. 27· 10 -5 rad/sec (vedi esercizio precede il segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso vaereo = w· r. Terra= 7. 27· 10 -5 · 6. 37· 106 = 463 m/s = 1670 Km

Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggi 150 m, nei 15 s che impiega a percorrere la curva ra da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolare l’accelerazione tangenziale e normale nel momento in cui la velocità 50 Km/h, assumendo che il treno continui a decelera Soluzione – a) trasformiamo da Km/h a m/s : v 1 = 90 Km/h = 25. 0 m/s; v 2 = 50 Km/h = 13. 9 m/s; b) l’accelerazione tangenziale : a. Tmedia = (v 2 - v 1) / T = =-0. 74 m/s 2; c) accelerazione radiale : a. Rcentripeta = v 22 / r = 1. 29 m/s 2; d) accelerazione totale (modulo), poiché a. T e a. R sono ortogonali : NB – se il treno non continuasse a decelerare, a. T=0, at

Singola Massa: Forza agente netta F F O R Z A =0 A T T R I T O P + N =0 F= FNetta = ma

F O R Z A A T T R I T O Singola Massa: Forza agente netta FNetta = F - N 0 N = mg P+N=0 FNetta = F - N = F - mg = ma

Singola Massa Forza agente ad angolo Forza netta agente FNetta = F cos F O R Z A =0 A T T R I T O P + N =0 FNetta = F cos = ma

F O R Z A A T T R I T O Singola Massa Forza agente ad angolo Forza netta agente FNetta = F cos - N 0 P + N =0 FNetta = F cos - N = ma

Doppia Massa Forza netta agente FNetta = (m 1 + m 2 )a F O R Z A =0 A T T R I T O F 2 = m 2 a F 1 = F- F 2 =(m 1 + m 2 )- m 2 a = m 1 a

F O R Z A A T T R I T O Doppia Massa Forza netta agente FNetta = F- (m 1 + m 2 )g= (m 1 + m 2 )a 0

Masse connesse da corde : piano liscio Per esercizio: sviluppare lo stesso esempio con piano scabro: coeff. attrito s

Massa appoggiata su un piano inclinato liscio Scegliamo uno degli assi parallelo al piano inclinato e troviamo le componenti delle forze parallele e al piano

Massa appoggiata su un piano inclinato scabro Scegliamo uno degli assi parallelo al piano inclinato e troviamo le componenti delle forze parallele e al piano NB La massa scende strisciando sul piano inclinato.

Massa appoggiata su piano inclinato liscio e forza esterna F agente non parallela al piano inclinato Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

Massa appoggiata su piano inclinato scabro e forza esterna F agente non parallela al piano inclinato Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

Masse collegate da puleggia: piano liscio Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

Masse collegate da puleggia: piano scabro Diagramma di corpo libero

Macchina di Atwood La tensione T è la stessa per le due masse La puleggia è di massa trascurabile

Massa sospesa Diagramma di corpo libero

Il problema dell’ascensore La forza F esercitata dal pavimento dell’ascensore sull’uomo viene detta ‘peso apparente’: deve essere > mg per accelerare la persona verso l’alto. F dà la sensazione di peso all’uomo nell’ascensore. Cosa succede se si rompe il cavo di sostegno?

Analisi delle situazioni: problema dell’ascensore

Masse collegate da puleggia: piano liscio

Masse collegate da puleggia: piano scabro

Applicazioni Numeriche Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione mas di 4400 N. Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere a oggetto di 400 Kg ? Soluzione: Per il corpo : ma = T – mg; pertanto : T = m (a + g) Tmax = m (amax + g) amax = Tmax /m – g = 4400 / 400 – 9. 8 = 1. 2 m/s 2.

Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connet Masse identiche, una delle quali è libera di muoversi su u piano inclinato di angolo ( = 30°), mentre l’altra penzola ne vuoto. Calcolare l’accelerazione su entrambe le masse. Soluzione: L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bila delle forze dà : (m 1 + m 2) a = m 2 g – m 1 g sin m 1 = m 2 = m a = m g (1 – sin ) / (2 m) = g (1 – sin ) / 2 = 9. 8 × (1 - 0. 5) / 2 = 2. 45 m/s 2; l’accelerazione è diretta verso il basso Per la massa libera e verso l’alto del piano per quella sul piano inclinato. Disegnare il diagramma di corpo libero

Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano inclinato di angolo 30°, lungo 40 m, partendo da fermo Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità fin Soluzione: a = g sin L = ½ a t 2 = ½ g sin t 2 t = [2 L / (g sin )]½ = 4. 04 s; v = a t = g sin t = 19. 8 m/s. Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un dinamico, di coefficiente kd = 0. 5. Determinare il tempo tot del tragitto e la velocità finale. ma = m g sin - kd m g cos a = g sin - kd g cos = g (sin - kdcos ); L = ½ a t 2 = ½ (g sin - kd cos ) t 2 t = [2 L / (gsin - kgcos )]½ = 11. 03 s; v = a t = g (sin - kd cos ) t = 7. 24 m/s.

Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza attrito] Al termine del piano inclinato [senza attrito] c’è un tratto piano, con attrito dinamico di coefficiente kd = 0. Determinare la distanza percorsa dal corpo sul tratto piano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi. Soluzione – ma = F = - kd m g a = - kd g; v(t) = vo - kd g t tfin = vo / kd g = 8. 08 s; Ltot = vo tfin + ½ a tfin 2 = vo tfin - ½ kd g tfin 2 = 80 m.

Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare un corpo di massa 2 Kg dalla velocità di 2 m/s a qu di 5 m/s. Soluzione – L = ½ m vfin 2 - ½ m vini 2 = 0. 5 × 2 × (52 -22)= 21 J. Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un co di massa 2 Kg, che procede alla velocità di 8 m/s. Soluzione – L = - ½ m vini 2 = - 0. 5 × 2 × 82 = - 64 J. [perché “-” ? ]

Esercizio – Un carrello di massa 100 Kg compie il percorso indicato in figura, passando dal punto A al punto C. Nota la velocità iniziale (v. A=0) e le differenze di quota tra A e B (a=20 m) e tra C e B (c=18 m), calcolare Soluzione – il valore dell’energia potenziale in Scegliamo la costante potenziale in modo ch A e della velocità in B edell’energia in C. Epot. B=0. In tal caso : Epot. A=m g a = 100 × 9. 8 × 20 = 1960 Epot. A + ½ m v. A 2 = Epot. B + ½ m v. B 2 = mga = ½ m v. B 2 = 2 g a v. B = (2 × 9. 8 × 20)½ = 19. 8 m/s; m g a = ½ m v. C 2 + mgc v. C 2 = 2 g (a - c) v. C = [2 × 9. 8 × (20 -18)]½ = 6. 26 m/s.

Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 su una molla di costante elastica 200 N/m. Di quanto si ab la molla ? Dopo un po’, le oscillazioni si smorzano. Dove è punto di riposo della molla ? h b Soluzione: mg (h + d) = ½ k d 2 - 2 mgd - 2 mgh = 0 d [scegliere il segno ‘+‘ perche' ? ] Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb b = mg/k = 2 × 9. 8 / 200 = 9. 8 cm.

Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre salita di pendenza 30°; il motore eroga una potenza 9800 W. Calcolare la velocità massima disponibile. Soluzione – In un tempo t : L = W t = m g h=m g s sin s / t = v = W / (m g sin ) = 9800 / (1200 × 9. 8 × 0. 5) = =1. 67 m/s = 6 Km/h.

Supponiamo che una persona che faccia attività fisica sia in grado di esprimere una potenza di 4 W per ogni kg di massa corporea. Supponiamo che essa debba salire i 6 piani di un edificio e che fra un piano e l’altro ci siano 2 rampe di scale con ciascuna 10 gradini, alti ognuno 20 cm. In quanto tempo riesce ad effettuare la salita? Solizione: 20 cm Spostamento: s = 2*10*6*0. 2 m=24 m Forza : F= mg=(1*9. 8) N=9. 8 N Lavoro=F s=(9. 8*24) J =235, 2 J Potenza P=L/t t=L/P=235, 2/4=58, 8 s Conto approssimato assumendo g=10 m/s 2 t=60 s

In una gara di salto con l’asta un atleta, un istante prima di puntare l’asta a terra, per compiere il salto ha una velocità di 36 Km/h. Di quanto riesce ad innalzare il suo baricentro nell’ipotesi che l’energia potenziale gravitazionale derivi solo dalla conversione dell’energia cinetica e che tale conversione sia totale. Soluzione: Epi+Eci=Epf+Ecf Epf =mgh ; Ecf =0 0+ 1/2 mvi 2 =mgh+0 Epi =0 ; Eci =1/2 mvi 2 h=vi 2/(2 g)=(36*1000/3600)2/(2*9. 8)=5. 1 m

Un blocco è sospeso ad una corda che scorre senza attrito attorno ad un piolo ed è collegata ad un altro blocco, poggiato su un tavolo senza attrito. Si trovi l’accelerazione di ciascun blocco e la tensione della corda e calcolarne il valore nel caso in cui m 1 =750 g, m 2 = 0. 8 kg.

SOLUZIONE Le forze agenti sul blocco m 1 sono la tensione della corda la forza peso P 1 = m 1 g e la forza di reazione esercitata da tavolo Fn; le forze agenti sul blocco m 2 sono la tensione d corda T 2 e la forza peso P 2 = m 2 g. T 1= T 2 = T e F n = P 1 Le equazioni del moto (seconda legge di Newton) per i du blocchi sono (assumiamo come positiva la direzione vers basso): T = m 1 a 1 e m 2 g –T = m 2 a 2 Se la corda non si allunga, le due accelerazioni devono necessariamente essere uguali in modulo: Per il caso numerico proposto: a = 5. 1 m/s 2, T = 3. 8 N.

Un quadro che esercita una forza peso di 8 N è retto due fili aventi tensioni T 1 e T 2. Si trovi la tensione dei SOLUZIONE Poiché il quadro non accelera, deve essere nulla la risult delle forze agenti su di esso: il peso mg e le tensioni T 1 e Le componenti orizzontali Deve essere T 1+T 2+mg = ma =0 delle forze devono equilibrarsi tra loro, così come le componenti verticali.

Asse x T 1 x + T 2 x + 0 = T 1 cos 30°- T 2 cos 60° = 0 Asse y T 1 y + T 2 y + 0 = T 1 sin 30°+ T 2 sin 60°-mg = 0 Dove cos 30° = 3/2 = sin 60°; sin 30°= ½ = cos 60° Si risolve il sistema per T 1 e T 2:

Con quale forza orizzontale costante F deve essere s lungo un pavimento di coefficiente di attrito dinamico d =2/7 una cassa di massa m = 50 kg, se si vuole ch acquisti una accelerazione a = 5 m/s 2? SOLUZIONE: Equazione del moto secondo l'asse x: F-Fattrito= ma Fattrito= d mg F = ma + d mg = 390 N

La figura mostra una struttura mobile (scultura di Calder) costituita da 4 pesi appesi a 3 barre di massa trascurabile. Si trovi ciascuno dei pesi sconosciuti se la struttura è in equilibrio.

SOLUZIONE Cominciamo col determinare il peso P 1. Consideriamo per la sbarretta più in basso e i due pesi ad essa attaccati; poi sistema è in equilibrio deve essere nullo il momento delle rispetto al punto A: 0 = (0. 03 m)(2 N)- (0. 04 m)(P 1) P 1 = (0. 03 2)/0. 04 = 1. 5 N (forza peso esercitata); la mass pertanto: 1. 5 N/ 9. 8 m/ s 2 = 0. 153 kg = 153 g Analogamente, considerando la seconda sbarretta, a un'estremità della quale c'è il peso P 2, mentre all'altra vie esercitata una forza peso pari a (2 + 1. 5) N = 3. 5 N, si o P 2 = (0. 04 3. 5)/0. 02 = 7 N, la massa corrispondente è 0. 714 kg Infine: P 3 = (0. 02 10. 5)/0. 06 = 3. 5 N, la massa corrispondent 0. 357 kg.

Una grande cassa appoggiata su rulli, che pesa 500 N, deve essere sollevata fino ad una piattaforma di caricamento situata ad una quota di 3 m rispetto alla strada. La massima forza disponibile è 180 N. Qual è la massima inclinazione di un piano inclinato che può Essere usato per spingere la cassa sulla piattaforma? Quanto deve essere lungo il piano inclinato? SOLUZIONE L? Occorre esercitare una forza che può essere diminuita di un fattore sin se è l’ inclinazione di un piano inclinato :

Un proiettile viene lanciato da un cannone con un ang di 45°rispetto alla direzione orizzontale e con una velo iniziale v 0 pari a 100 m/s. Se il cannone si trova sul bo di un precipizio alto d = 400 m, trovare a quale distanz dal precipizio il proiettile toccherà terra. Scegliamo il sistema di riferimento come indicato in figura, in modo da far coincidere la bocca del cannone con l’origine O. Le componenti della velocità iniziale x) vx=v 0 cosα sono: y) vy=v 0 senα Nella direzione x il moto è uniforme, nella direzione y è uniformemente accelerato (accelerazione di gravità g):

Ponendo y=-d=-400 m si ottiene il risultato richiesto risolvendo la: Completare l’esercizio